Mitwirkende Plattenbreite

Ideeller Spannungsverlauf

Die mitwirkende Plattenbreite (b_eff) ist eine Ersatzbreite, mit der sich der reelle Verlauf der Druckspannungen innerhalb der Platte eines Plattenbalkens, unter Annahme einer rechteckigen Druckspannungsverteilung, annähern lässt. Die Berechnung im normalen Hochbau erfolgt mittels Annäherungsformel aus dem Eurocode 2, bei Sonderbauten wie Brücken kann eine genauere, computergestützte Berechnung sinnvoll sein.

Einleitung

Im Stahlbetonbau hat sich in den letzten hundert Jahren vor allem die monolithische Bauweise vom Plattenbalken als besonders leistungsfähig und wirtschaftlich herausgestellt. Plattenbalken sind Balken mit einem T-förmigen Querschnitt. In der Biegezugzone des Balkens befindet sich die Längsbewehrung und nimmt den Zug auf. Da bei Plattenbalken wegen der Bügel- und Mattenbewehrung von einem monolithischen Querschnitt ausgegangen werden kann, wird neben der Oberseite des Balkens auch eine bestimmte Breite der Platte für die Aufnahme der Druckspannungen im Biegedruckbereich hinzugezogen. Diese Breite wird als mitwirkende Plattenbreite (b_eff) bezeichnet. Eine genaue Berechnung ist äußerst umständlich, da neben der technischen Biegelehre auch die Elastizitätstheorie beachtet werden muss. Folgende Faktoren haben einen Einfluss:

• Systemabmessungen
  • Dicke der Platte
  • Höhe des Balkens
• Schub- und Biegesteifigkeit der Platte
• Art der Belastung
• Art des Systems
  • Spannweite
  • Abstand zwischen den Stegen
• usw.

Der Eurocode 2 enthält eine Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite, die für den normalen Hochbau ausreichend genaue Ergebnisse darstellt. Ausreichend genau bedeutet hier, dass eine genaue Berechnung oft unwirtschaftlich im Vergleich zur Nutzung der Annäherungsformel wäre.

Berechnungsgrundlagen

Anwendung

Gebrauch findet die mitwirkende Plattenbreite in der Biegebemessung von Plattenbalken. In der Vorbemessung führt eine große mitwirkende Breite zu einem kleineren μ_Eds, was wiederum über Tabellenwerte zu einem kleineren ω führt.

$\mu _{Eds}={\cfrac {M_{Eds}}{b_{eff}\cdot d^{2}\cdot f_{cd}}}$

Bei der Bewehrungswahl führt eine größere mitwirkende Plattenbreite sowie ein kleineres ω anschließend zu weniger erforderlicher Bewehrung.

$A_{s}={\cfrac {1}{f_{yd}}}(\omega \cdot b_{eff}\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed})$

Ein genauer Berechungsablauf wird in Mitwirkende Plattenbreite (Bsp.) aufgezeigt.

Berechnung nach Eurocode 2

Für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit, darf die mitwirkende Plattenbreite wie folgt ermittelt werden:

$b_{eff}=\sum b_{eff,i}+b_{w}\leq b$

mit:

$b_{eff,i}={min}{\begin{cases}0{,}2\cdot b_{i}+0{,}1\cdot l_{0}\\0{,}2\cdot l_{0}\\b_{i}\end{cases}}$

wobei:

beff...	Mitwirkende Plattenbreite
beff,i...	Mitwirkende Plattenbreite je Steg
bi...	Tatsächlich vorhandene Gurtbreite
bw...	Stegbreite
l0...	Wirksame Stützweite (Abstand der Momentennullpunkte)

System

Für kurze Kragarme ($l_{3}/l_{2}<0,3$) gilt $l_{0}=1,5\cdot l_{3}$, ansonsten $l_{0}=0,15\cdot l_{2}+l_{3}$.

Wissenschaftlicher Hintergrund

Die Forschung zur mitwirkenden Plattenbreite hat bereits zum Anfang des 20. Jahrhunderts begonnen (siehe Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung) und sich von sehr groben Formeln zu einer Näherungsberechnung entwickelt, die viele Faktoren berücksichtigt. Jedoch ist der Zweck dieser Näherung eben dieser - ein kompliziertes System vereinfacht darzustellen. Einige Faktoren sind heute innerhalb der Näherung klar definiert und zu anderen gibt es umfassende wissenschaftliche Arbeiten, dessen Erkenntnisse jedoch nur teilweise in den Normen impliziert werden. Die wichtigsten dieser wissenschaftlichen Erkenntnisse, die die mitwirkende Plattenbreite beeinflussen, werden folgend betrachtet.

Berechnung nach Scheibentheorie

Schubspannung T

Die Scheibentheorie befasst sich mit der Berechnung von Spannungen und Verformungen innerhalb von Scheibenelementen. Nach der Theorie wird ein Plattenbalken in zwei Plattenelemente und den Balken aufgeteilt, die jeweils einzeln betrachtet werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass an der Verbindungsfuge eine definierbare Schubspannung T übertragen wird, da es sich beim Plattenbalken bei der heutigen Konstruktionsweise um ein monolithisches Gebilde handelt. Die Scheibe wird als dünnes, ebenes Tragelement betrachtet, welches nur in seiner Ebene beansprucht wird. Biegebeanspruchungen und somit auch alle orthogonal zur Platte stehenden Spannungen werden vernachlässigt, demnach werden nur Spannungen in der Mittelebene der Platte betrachtet. Die genaue Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite erfolgt mittels AIRY'scher Spannungsfunktion, die über Randbedingungen gelöst werden kann. Ein Beispiel liefert hier Literatur von Hake . Der Aufwand ist jedoch groß, sodass eine Berechnung nach technischer Biegelehre meist sinnvoller wird.

Berechnung nach technischer Biegelehre

Realer und ideeller Druckspannungsverlauf im Plattenbalken

Bei der Biegespannungsermittlung nach technischer Biegelehre wird eine konstante Spannungsverteilung über die Querschnittsbreite vorausgesetzt. Um diesen Zustand beim Plattenbalken zu erreichen, wird ein Ersatzsystem definiert, bei dem die tatsächlichen, durch das Mittragen der Platte entstehenden Längsdruckspannungen, in einen idealisierten Spannungskörper umgelagert werden. Wichtig hierbei ist die Betrachtung der maximal auftretenden Spannung direkt über dem Steg (%sigma;_max), die bei Gleichlast maßgebend für den restlichen Verlauf ist. Da über der Stegbreite b_w keine Änderung der Dehnung der obersten Faser bemerkbar ist, ε_x also in dem Bereich konstant bleibt, kann für den restlichen idealisierten Körper, außerhalb des Stegbereiches, diese Größe als maßgebend betrachtet werden.

$b_{eff,1}\cdot {max}\sigma _{x}=\sum \sigma _{x}{dx}$

Der Flächeninhalt der realen Spannungen soll demnach dem der idealisierten Spannungen mit der vorgegebenen Höhe max σ_x entsprechen. Aus der Idealisierung geht eine Veränderung der Spannungsnulllinie hervor. Im reellen Fall nähert sich diese mit steigendem Abstand zum Steg an die Platte an. Zur korrekten Anwendung der technischen Biegelehre hat die Spannung durch Benutzung der maßgebenden Höhe max σ_x an jeder Stelle denselben Abstand zur Nulllinie. Hierdurch verkleinert sich folglich der innere Hebelarm der Kräfte, was zu einer höheren Sicherheit der Näherungsmethode führt.

Schub- und Biegesteifigkeit der Platte

Dass die sich vom Steg entfernenden Bereiche der Platte mit steigender Entfernung vom Mitwirken entziehen, hat seinen Ursprung in der Schub- und Biegesteifigkeit der Platte. Letztere bleibt oft in den Betrachtungen unbeachtet, was dazu führt, dass die Ergebnisse zu sehr auf der sicheren Seite liegen. Einen Ansatz bietet Brendel mit der Unterteilung von b_eff in die jeweiligen Anteile, die in der Platte durch Schubfestigkeit (b_eff,s) und durch die Biegesteifigkeit (b_eff,b) mitwirken.

Schubsicherer Verbund

Eine schubsichere Verbindung zwischen der Platte und dem Balken wird heute mittels Bügeln und ausreichender Bewehrung gewährleistet. Dabei wird der Schubübertrag als so groß angenommen, dass der Plattenbalken als monolithisch angesehen werden darf. Durch diese Verbindung erfahren beide Bauteile an der Anschlussstelle bei Biegung dieselben Längsdehnungen. Während der Belastung auf Biegung kommt es im Zustand II, also bei der Überschreitung der Betonzugfestigkeit innerhalb der Biegezugzone, zu Betondruckstreben zwischen den Rissen und zu Zugstreben der Anschlussbewehrung. Begleiterscheinung von Biegung ist immer eine Längsschubkraft τ. Diese wirkt in horizontaler Richtung in der Verbindungsfuge zwischen Platte und Balken und wurde bereits mit T definiert. Vertikal wirkende Schubkräfte sind vernachlässigbar gering.
Bei vollen Querschnitten ist der Einfluss der Schubkräfte verschwindend gering, je dünner die Querschnitte, desto präsenter sind sie. Der mittragende Anteil aus Schubkräften b_eff,s ergibt sich aus den an der Fuge übertragenden Spannungen, die jedoch mit dem Abstand zum Steg innerhalb der Platte aufgrund von Schubverzerrungen abnehmen. Zusätzlich entzieht sich die Platte umso mehr der Mitwirkung, umso größer das Verhältnis zwischen der Plattenbreite zur effektiven Spannweite ist.

Biegesteifigkeit der Platte

Kraftverlauf in der Platte und im Balken

Da sich durch die Spannungsübertragung an der Verbindungsfuge auch Biegemomente übertragen, wird die Platte neben der Schubsteifigkeit auch auf seine Biege- steifigkeit beansprucht. Die Größe vom Biegemoment steigt proportional zu dem Verhältnis der Plattendicke zur Steghöhe. Nach Marguerre darf b_eff,b bei Plattenbreiten bis zu einem Viertel der Stützweite über die gesamte Breite als wirkend angenommen werden. Die Bewehrungsführung verursacht zumeist eine größere Biegesteifigkeit quer zur Stützweite, was zur Folge hat, dass der wirksame Bereich von b_eff,b in Wirklichkeit größer ist. Ein größeres Verhältnis von Stützweite zu Stegbreite führt dazu, dass sich das Trägheitsmoment stärker auf den Gesamtquerschnitt auswirkt. b_eff,b ist demnach vor allem bei gedrungeneren Stegen Beachtung zu schenken.

Kräfteverlauf

Der Kräfteverlauf innerhalb von Plattenbalken kann mittels Zug- und Druckspannungstrajektoren dargestellt werden. Eine logische Schlussfolgerung aus den vorherigen Betrachtungen ist, dass sich das Mitwirken der Platte mit steigender Belastung erhöht. Bei verteilter Last ist in allen betrachteten Versuchsreihen eine einwandfreie zunehmende Mitwirkung bei zunehmender Beanspruchung zu erkennen. Je nach System und Bewehrungsmenge wird die maximal mögliche mitwirkende Breite kurz vor dem Versagen voll ausgenutzt. Die Gründe dafür sind zum einen die Werkstoffeigenschaften von Beton, der im Druckbereich bei ständiger Beanspruchung nichtlineare Kriecherscheinungen aufweist, und zum anderen jene von Stahl, der nach Überschreiten der Fließgrenze stärkere Dehnungserscheinungen hat. Die Rissbildung und Platzierung haben einen positiven Effekt auf die mitwirkende Plattenbreite, sodass die Berechnung der nach dem Eurocode, der nur für ungerissene Druckgurte gilt, auf der sicheren Seite liegt.

Auflager

Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite am Auflager(oben) und bei Einzellasten(unten)

Bei allen vorherigen Betrachtungen wird von frei aufliegenden Auflagern ausgegangen. Im Auflagerbereich muss sich das Mitwirken der Platte zunächst einstellen, wie in vorheriger Abbildung zu erkennen ist. Grund dafür ist der Spannungsverlauf, der durch die Biegesteifigkeit der Platte entsteht.

Einzellasten

Auch bei Einzellasten kommt es zu einer Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite. Diese nimmt demnach im Bereich von konzentrierten Einzellasten ab. Die Größe der Einschnürung ist nach Schleeh abhängig von dem Verhältnis der Plattenbreite zur Spannweite (${b}/{l_{eff}}$). Je kleiner das Verhältnis, desto geringer fällt die Einschnürung in Breite und Länge aus. Für bestimmte Systeme kommt es hier zu der Besonderheit, dass eine Einzellast in Feldmitte die Einschnürung aus den Auflagerungen abmindert. Kritik gibt es hier jedoch von Chwalla hinsichtlich der konzentrierten Einzellasten aus der Theorie. Diese kommen so in der Praxis nicht vor. Forschungsanstrengungen von Brendel ergeben, dass sich die Einschnürung mit größeren Belastungen verkleinert. Eine Einzellast, die über mehr als ein Zehntel der effektiven Stützweite aufgeteilt ist, erzeugt außerdem auch keine signifikante Einschnürung mehr.

Art des Systems

Je nach Art des Systems bildet sich die Mitwirkung innerhalb der Platte unterschiedlich aus. Zu unterscheiden sind Einzelträger, Durchlaufträger und Kragarme. Nach dem Eurocode gehen diese anhand der Momentennulldurchgänge über den Faktor l₀ in die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite mit ein. Auch macht es einen unterschied, ob es sich um einen einzelnen Plattenbalken oder eine Balkenreihe handelt, da sich die Platte im Falle einer Balkenreihen gegenseitig abstützen kann.

Einfeldträger

Der Einfeldträger ist aufgrund der einfachen Herstellungsvariante das meistgenutzte System und kommt hauptsächlich für Versuchsabläufe zum Einsatz. Die Wirkungsweise ist demnach umfassend erforscht und der Kraftverlauf (siehe oben) wird aus diesem hergeleitet.

Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite am Kragarm

Kragarm

Die Regelungen für den Kragarm nach Eurocode $l_{0}=0,15\cdot l_{2}+l_{3}$ unterscheiden sich nach analytischen Ergebnissen bei sehr kurzen Kragarmen stark vom reellen Zustand, weshalb die Regelung mit $l_{0}=1,5\cdot l_{eff,3}$ erweitert wird, wobei der kleinere beider Werte maßgebend ist. Wie bei einer Einzellast oder im Auflagerbereich muss sich die mitwirkende Eigenschaft der Platte zunächst einmal einstellen.

Durchlaufträger

Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite bei Durchlaufträgern

Über den Zwischenauflagern von Durchlaufträgern ist der obere Bereich des Plattenbalkens auf Zug beansprucht, der üblicherweise über die verlagerte Zugbewehrung aufgenommen wird. Im Eurocode wird dieser Bereich mit der Lage der Momentennulldurchgänge berücksichtigt, wobei $l_{0}=0,85\cdot l_{1}$ für Randfelder und $l_{0}=0,7\cdot l_{2}$ für Mittelfelder gilt.

Einfluss eines Endquerträgers

Kommt die Bauweise mit einem Endquerträger zum Einsatz, so entlastet dieser den Endquerrand der mitwirkenden Plattenbreite nur zu etwa 50%. Schleeh kommt bei seinen Untersuchungen zum Ergebnis, dass ein Endquerträger nur dann sinnvoll auszubilden wäre, wenn Spannungs-Dehnungs-Spitzen im Randbereich der Platte abgemindert werden müssen. Ein Randquerträger ist demnach erst ab einem Verhältnis von $l_{eff}\leq 4b$ sinnvoll, da bei einem größeren Verhältnis die Platte ohnehin in Gänze zur Mitwirkung hinzugezogen wird.

Balkenreihe

Bei einer Aneinanderreihung von Plattenbalken in Querrichtung ist die Querverformung im Gegensatz zum Einzelbalken innerhalb der Platte durch das angrenzende System senkrecht zur Balkenstützweite behindert. Aus diesem Grund erhöht sich die mitwirkende Breite bei Balkenreihen im Gegensatz zu einzelnen Balken nach Brendel um bis zu 15%. Der Abbildung ist zusätzlich zu entnehmen, in welcher Hinsicht sich ein größeres Verhältnis der Plattendicke zur Gesamthöhe auf die Mitwirkung auswirkt. Je dicker die Platte in diesem Verhältnis ist, desto größer ist der Einfluss der Biegesteifigkeit auf das Gesamtsystem. Hier wird mit die Stützweite und die Plattendicke variiert. Auffallend ist, dass vor allem bei großen Stützweiten die Dicke der Platte zu einem größeren mitwirkenden Effekt führt.

Die bezogene mitwirkende Plattenbreite in Feldmitte für Einzelbalken und Balkenreihen (angelehnt an Brendel)

Computerbasierte FE-Berechnung

Die computerbasierte Finite-Elemente-Methode ermöglicht es, Tragwerke computergestützt zu analysieren, die vorher einer Berechnung nicht zugänglich waren. Erste Ergebnisse liefern Arbeiten von Loo & Sutandi aus 1986, die feststellten, dass sich alle Normen weiterentwickelten, nur die Annahme zur mitwirkenden Plattenbreite hätte sich seit 34 Jahren nicht geändert, obwohl die Berechnungsmethoden in der Zeit sehr verfeinert wurden. Für die Methode wird der Plattenbalken in kleine (finite) Elemente unterteilt - die linearen 8-Knoten-Elemente, wobei jeder Knoten 3 Freiheitsgrade erhält. In alle Knoten werden sechs Kraftkomponenten, drei Normalkräfte und drei Querkräfte, eingerechnet. Über diese Methode erhielt zum ersten Mal die Plattendicke einen Einfluss auf die mitwirkende Plattenbreite.
Utku und Aygar haben eine FE-Berechnung für einen Plattenbalken mit dem Computerprogramm SAP2000 durchgeführt. Der Plattenbalken kann aufgrund seiner Symmetrie geviertelt werden. Das Viertel wird in 400 Quader mit jeweils 8 Knoten (lineare 8-Knoten-Elemente) aufgeteilt, wobei die Unterteilung innerhalb der Platte filigraner gewählt wird, da hier die Ergebnisse von größerer Bedeutung sind. Für jeden Knoten werden die Lagerbedingungen sowie der E-Modul vom Beton und die Querkontraktionszahl definiert. Bei Belastung mit einer konstanten Streckenlast lässt sich für verschiedene Abmessungen mittels Regressionsanalyse eine bezogene mitwirkende Plattenbreite in Abhängigkeit der Verhältnisse ${\cfrac {b}{l_{eff}}}$, ${\cfrac {l_{eff}}{h}}$, ${\cfrac {b_{w}}{h}}$ und ${\cfrac {h_{f}}{h}}$ bestimmen. ${\cfrac {b_{eff}}{b}}=0,9450-0,4630\cdot {\cfrac {b}{l_{eff}}}+0,0016\cdot {\cfrac {l_{eff}}{h}}+0,0222\cdot {\cfrac {b_{w}}{h}}+0,1810\cdot {\cfrac {h_{f}}{h}}$
Das Ergebnis dieser Berechnung finden in Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung Anwendung.
Auch in aktueller Literatur wird darauf verwiesen, dass es sich beim Plattenbalken um ein ausgesprochen komplexes, dreidimensionales Problem handelt. Hartmann und Katz verweisen darauf, dass es sich auch bei den finiten Elementen um eine Näherungsmethode handelt, die noch viel zu aufwendig ist und die exakte Ermittlung an der Spannungen für die Bewehrungswahl kaum einen Einfluss hat. Mögliche Modellansätze für Plattenbalken sind folgende:

• Faltwerkmodelle
  • Platte und Balken als Faltwerk (Schalenmodell)
  • Platte als Faltwerk, Unterzug als exzentrischer Balken oder Platte
• Plattenmodelle
  • Platte als Platte und Unterzug als exzentrischer Balken
  • Platte mit zentrischem Balken

Für den Vergleich der Ansätze wird hier auf weiterführende Literatur verwiesen. Hier wird jedoch für Anwendungszwecke im FEM-Programm empfohlen, das Modell exzentrischer Balken am Faltwerk zu wählen, also die Steifigkeit des Unterzugs um den Anteil aus der gesamten Ausmitte e zu erhöhen und dabei die Normalkraftverformungen in der Platte über einen FE-Scheibenansatz zu berücksichtigen.

Fazit

Die Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite soll auf möglichst einfache Art und Weise möglichst viel Faktoren berücksichtigen. Sie wurde im Laufe des letzten Jahrhunderts entwickelt und durch viele wissenschaftliche Arbeiten verbessert. In vielen Ländern außerhalb des Eurocodes werden genau dieselben oder ähnliche Ansätze zur Berechnung vorgeschlagen, einige davon wesentlich ungenauer als im Eurocode. (siehe Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung)

Vergleicht man die verschiedenen Berechnungsmethoden miteinander, lässt sich schließen, dass alle hinreichend genaue Ergebnisse liefern. Die Genauigkeit bei Plattenbalken spielt zudem keine sehr große Rolle, da sich der Hebelarm der inneren Kräfte und damit die erforderliche Bewehrung mit der Größe der mitwirkenden Breite kaum ändert und die Biegedruckzone bei Plattenbalken fast nie ausgenutzt ist. Lediglich bei Sonderbauten oder Optimierungsaufgaben kann die Berechnung mittels Finiten-Elementen präzisere und somit wirtschaftlichere Ergebnisse liefern. Der Mehraufwand durch die Computerberechnung wird sich in den kommenden Jahren durch den Fortschritt der technischen Möglichkeiten dabei minimieren.

Quellen

Seiteninfo Status: Seite in Bearbeitung!