Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Rand eines Einzelfundaments nachzuweisen. Hierzu wird zunächst die Verankerung mit geradem Stabende nach dem Berechnungsmodell im EC2 versucht. Falls dies nicht gelingt, wird die Verankerungslänge durch Verschieben der Belastung ermittelt. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zur Verankerung am Rand eines Einzelfundaments werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Aufgabenstellung

Für das dargestellte Einzelfundament ist die Verankerungslänge der Biegezugbewehrung zu bestimmen.

Gegeben sind folgende Daten:

• Beton C20/25
• Betonstahlstahl B500B
• Betondeckung: $c_{nom}=55mm$
• Gewählte Bewehrung insgesamt in x-Richtung: 16 Ø 16 mm
• Einwirkende Normalkraft: $N_{Ed}=2.100kN$

Verankerung mit geradem Stabende nach EC 2

Verbundfestigkeit

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C20/25 → $f_{bd}=2,32N/mm^{2}=0,232kN/cm^{2}$

Abstand x (Beginn der Verankerungslänge)

$x_{min}={\frac {h}{2}}={\frac {0,6m}{2}}=0,3m$

Sohlspannung

${\sigma }_{0}={\frac {N_{Ed}}{b_{x}}}={\frac {2.100kN}{3,0m}}=700kN/m$

Resultierende der Sohlspannung unter der Verankerungslänge

$R={\sigma }_{0}\cdot x=700kN/m\cdot 0,3m=210kN$

Hebelarm der Resultierenden

Der Hebelarm der Resultierenden $z_{e}$ beginnt vom Rand des Fundaments in einer Entfernung von ${\frac {x_{min}}{2}}$ und endet in einer Entfernung von $e=0,15\cdot b_{Stuetze}$ vom Rand des aufkragenden Bauteils (vgl. Grafik Verankerung am Einzelfundament (Modell)):

$z_{e}={\frac {b_{x}}{2}}-{\frac {x}{2}}-(b_{Stuetze}/2-e)={\frac {3,0m}{2}}-{\frac {0,3m}{2}}-({\frac {0,6m}{2}}-0,15\cdot 0,6m)=1,14m$

Hebelarm der inneren Kräfte

$z_{i}=0,9\cdot d_{x}=0,9\cdot 0,54m=0,49m$

Zu verankernde Zugkraft

$F_{sd}=R\cdot {\frac {z_{e}}{z_{i}}}=210kN\cdot {\frac {1,14m}{0,49m}}=488,57kN$

Erforderliche Bewehrung

$A_{s,erf}={\frac {F_{sd}}{f_{yd}}}={\frac {488,57kN}{43,5kN/cm^{2}}}=11,23cm^{2}$

Stahlspannung

Gegeben sind 16 Ø 16 → $A_{s,vorh}=32,16cm^{2}$:

${\sigma }_{sd}=f_{yd}\cdot {\frac {A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}}=43,5kN/cm^{2}\cdot {\frac {11,23cm^{2}}{32,16cm^{2}}}=15,19kN/cm^{2}$

Grundwert der Verankerungslänge

$l_{b,rqd}={\frac {\emptyset _{s}}{4}}\cdot {\frac {{\sigma }_{sd}}{f_{bd}}}={\frac {1,6cm}{4}}\cdot {\frac {15,19kN/cm^{2}}{0,232kN/cm^{2}}}=26,19cm$

Ersatzverankerungslänge

$l_{b,eq}={\alpha }_{1}\cdot {\alpha }_{4}\cdot {\alpha }_{5}\cdot l_{b,rqd}$

Formgebung: Gerades Stabende → ${\alpha }_{1}=1,0$

Angeschweißte Querstäbe: Keine → ${\alpha }_{4}=1,0$

Querdruck: In einem Einzelfundament wirken entlang beider Achsen Zugkräfte. In diesem Beispiel wird die Verankerung in x-Richtung nachgewiesen. Damit wirken die Zugkräfte in y-Richtung als Querzug auf den zu verankernden Stab → ${\alpha }_{5}=1,5$

$l_{b,eq}=1,0\cdot 1,0\cdot 1,5\cdot 26,19cm={\underline {\underline {39,29cm}}}$

Mindestverankerungslänge

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}0,3\cdot {\alpha }_{1}\cdot {\alpha }_{4}\cdot {\alpha }_{5}\cdot \left({\frac {\emptyset _{s}}{4}}\cdot {\frac {f_{yd}}{f_{bd}}}\right)\\10\cdot {\alpha }_{5}\cdot \emptyset _{s}\end{matrix}}\right\}$

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}0,3\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 1,5\cdot \left({\frac {1,6cm}{4}}\cdot {\frac {43,5kN/cm^{2}}{0,232kN/cm^{2}}}\right)\\10\cdot 1,5\cdot 1,6cm\end{matrix}}\right\}$

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}33,75cm\\24cm\end{matrix}}\right\}$

Die Mindestverankerungslänge ist nicht maßgebend.

Nachweis der Verankerungslänge

$l_{b,vorh}=x-c_{nom}=30cm-5,5cm=24,5cm$

$l_{b,eq}=39,29cm\leq 24,5cm=l_{b,vorh}$

→ Nachweis nicht erfüllt. → Verankerung mit geradem Stabende nicht möglich.

Verankerung nach allgemeiner Theorie

Versatzmaß

Für Bauteile ohne Querkraftbewehrung gilt nach DIN EN 1992-1-1 9.2.1.3(2) :

$a_{L}=d=54cm$

Moment am Beginn der Verankerungslänge

Die Verankerungslänge für den Haken beginnt an der Biegung. Der Mindestbiegerollendurchmesser beträgt nach DIN EN 1992-1-1/NA Tab. 8.1 für $\emptyset _{s}<20mm$ → $D_{min}=4\cdot \emptyset _{s}$ (vgl. Mindestbiegerollendurchmesser).

$D_{min}=4\cdot \emptyset _{s}=4\cdot 1,6cm=6,4cm$

$x_{0}=c_{nom}+\emptyset _{s}+D_{min}/2=5,5cm+1,6cm+6,4cm/2=10,3cm$

$M_{Ed,x0}={\frac {N_{Ed}}{b_{x}}}\cdot {\frac {(x_{0}+a_{L})^{2}}{2}}={\frac {2.100kN}{3,0m}}\cdot {\frac {(0,1m+0,54m)^{2}}{2}}=143,36kNm$

Randzugkraft

$F_{sd}={\frac {M_{Ed,x0}}{z}}={\frac {143,36kNm}{0,54m}}=265,48kN$

Erforderliche Bewehrung

$A_{s,erf}={\frac {F_{sd}}{f_{yd}}}={\frac {265,48kN}{43,5kN/cm^{2}}}=6,10cm^{2}$

Stahlspannung

Gegeben sind 16 Ø 16 → $A_{s,vorh}=32,16cm^{2}$:

${\sigma }_{sd}=f_{yd}\cdot {\frac {A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}}=43,5kN/cm^{2}\cdot {\frac {6,10cm^{2}}{32,16cm^{2}}}=8,25kN/cm^{2}$

Grundwert der Verankerungslänge

$l_{b,rqd}={\frac {\emptyset _{s}}{4}}\cdot {\frac {{\sigma }_{sd}}{f_{bd}}}={\frac {1,6cm}{4}}\cdot {\frac {8,25kN/cm^{2}}{0,232kN/cm^{2}}}=14,23cm$

Bemessungswert der Verankerungslänge

$l_{bd}={\alpha }_{1}\cdot {\alpha }_{3}\cdot {\alpha }_{4}\cdot {\alpha }_{5}\cdot l_{b,rqd}$

Formgebung: Gerades Stabende → ${\alpha }_{1}=1,0$

Querbewehrung: Vernachlässigbar → ${\alpha }_{3}=1,0$

Angeschweißte Querstäbe: Keine → ${\alpha }_{4}=1,0$

Querdruck: Siehe oben, Querzug vorhanden → ${\alpha }_{5}=1,5$

$l_{bd}=1,0\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 1,5\cdot 14,23cm=21,35cm$

Mindestverankerungslänge

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}0,3\cdot {\alpha }_{1}\cdot {\alpha }_{4}\cdot {\alpha }_{5}\cdot \left({\frac {\emptyset _{s}}{4}}\cdot {\frac {f_{yd}}{f_{bd}}}\right)\\10\cdot {\alpha }_{5}\cdot \emptyset _{s}\end{matrix}}\right\}$

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}0,3\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 1,5\cdot \left({\frac {1,6cm}{4}}\cdot {\frac {43,5kN/cm^{2}}{0,232kN/cm^{2}}}\right)\\10\cdot 1,5\cdot 1,6cm\end{matrix}}\right\}$

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}33,75cm\\24cm\end{matrix}}\right\}$

Die Mindestverankerungslänge ist maßgebend.

→ ${\underline {\underline {l_{bd}=33,75cm}}}$

Nachweis der Verankerungslänge

Als Länge des geraden Winkelhakenschenkels wird $l=20\cdot \emptyset _{s}$ gewählt.

$l_{b,vorh}=l+\emptyset _{s}+D_{min}/2=32cm+1,6cm+3,2cm=36,8cm$

${\underline {\underline {l_{bd}=33,75cm\leq 36,8cm=l_{b,vorh}}}}$

→ Nachweis der Verankerung mit Winkelhaken erfüllt.

Quellen

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