Biegebemessung mit dem allgemeinen Bemessungsdiagramm (Bsp.)

Auf dieser Seite wird die Anwendung des allgemeinen Bemssungsdiagramms an ausgewählten Beispielen dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der Biegebemessung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm; h=75cm) wird durch ein Moment $M_{gk}=80,0kNm$ sowie eine Normalkraft $N_{gk}=30kN$ aus ständigen Lasten und ein Moment $M_{qk}=180,0kNm$ sowie eine Normalkraft $N_{qk}=50kN$ aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die statische Nutzhöhe beträgt 71cm.

Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.

Beanspruchungen und Festigkeiten

$M_{Ed}=\gamma _{g}\cdot M_{gk}+\gamma _{q}\cdot M_{qk}$

$M_{Ed}=1,35\cdot 80+1,5\cdot 180=378kNm=37800kNcm$

$N_{Ed}=\gamma _{g}\cdot N_{gk}+\gamma _{q}\cdot N_{qk}$

$N_{Ed}=1,35\cdot 30+1,5\cdot 50=115,5kN$

Es handelt sich um einen überwiegend biegebanspruchten Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.
$f_{cd}=\alpha _{cc}\cdot {\frac {f_{ck}}{\gamma _{c}}}=0,85\cdot {\frac {20}{1,5}}=11,33{\frac {N}{mm^{2}}}=1,13{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$f_{yd}={\frac {f_{yk}}{\gamma _{s}}}={\frac {500}{1,15}}=435{\frac {N}{mm^{2}}}=43,5{\frac {kN}{cm^{2}}}$

Querschnittswerte

$d=71cm$

$z_{s1}=33,5cm$

Bemessung

Rot: Ablesung der Dehnung der Zugbewehrung; Blau: Ablesung des bezogenen inneren Hebelarms

$M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1}$

$M_{Eds}=37800-115,5\cdot 33,5$

$M_{Eds}=33930,75kNcm$

$\mu _{Eds}={\frac {M_{Eds}}{b\cdot d^{2}\cdot f_{cd}}}$

$\mu _{Eds}={\frac {33930,75}{35\cdot 71^{2}\cdot 1,13}}$

$\mu _{Eds}=0,17<0,296$

Da $\mu _{Eds}<0,296$ ist keine Druckbewehrung erforderlich. Mithilfe des bezogenen Moments werden im Folgenden die für die Bemessung relevanten Größen aus dem allgemeinen Bemessungsdiagramm abgelesen.

$\varepsilon _{s1}=11,6$‰

$\zeta ={\frac {z}{d}}=0,9$

$\Rightarrow \ z=0,9\cdot 71=63,9cm$

Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der vereinfachten Stahlkennlinie

$\varepsilon _{s1}$=11,6‰>2,17‰

Da die vorhandene Stahlspannung über der Fließspannung liegt, darf die volle Bemessungszugfestigkeit angesetzt werden.

$\sigma _{sd}=f_{yd}=43,5{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$A_{s1}={\frac {1}{\sigma _{sd}}}\cdot \left({\frac {M_{Eds}}{z}}+N_{Ed}\right)$

$A_{s1}={\frac {1}{43,5}}\cdot \left({\frac {33930,75}{63,9}}+115,5\right)$

${\underline {\underline {A_{s1}=14,86cm^{2}}}}$

Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der genaueren Stahlkennlinie

Der genauere Wert für $\sigma _{sd}$ ergibt sich aus den thoretischen Zusammenhängen der Stahlkennlinie mit geneigtem Ast und der abgelesenen Stahldehnung.

$\sigma _{sd}=44,4{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$A_{s1}={\frac {1}{\sigma _{sd}}}\cdot \left({\frac {M_{Eds}}{z}}+N_{Ed}\right)$

$A_{s1}={\frac {1}{44,4}}\cdot \left({\frac {33930,75}{63,9}}+115,5\right)$

${\underline {\underline {A_{s1}=14,56cm^{2}}}}$

Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.

Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm;h=75cm) wird durch ein Moment $M_{gk}=160,0kNm$ sowie eine Normalkraft $N_{gk}=-30kN$ aus ständigen Lasten und ein Moment $M_{qk}=360,0kNm$ sowie eine Normalkraft $N_{qk}=-50kN$ aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die statische Nutzhöhe beträgt 71cm.

Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.

Beanspruchungen und Festigkeiten

$M_{Ed}=\gamma _{g}\cdot M_{gk}+\gamma _{q}\cdot M_{qk}$

$M_{Ed}=1,35\cdot 160+1,5\cdot 360=756kNm=75600kNcm$

$N_{Ed}=\gamma _{g}\cdot N_{gk}+\gamma _{q}\cdot N_{qk}$

$N_{Ed}=-1,35\cdot 30-1,5\cdot 50=-115,5kN$

Es handelt sich um einen überwiegend biegebanspruchten Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.
$f_{cd}=\alpha _{cc}\cdot {\frac {f_{ck}}{\gamma _{c}}}=0,85\cdot {\frac {20}{1,5}}=11,33{\frac {N}{mm^{2}}}=1,13{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$f_{yd}={\frac {f_{yk}}{\gamma _{s}}}={\frac {500}{1,15}}=435{\frac {N}{mm^{2}}}=43,5{\frac {kN}{cm^{2}}}$

Querschnittswerte

$d=71cm$

$z_{s1}=33,5cm$

$d_{2}=4cm$

Bemessung

Rot: Ablesung der Dehnung der Zugbewehrung;Grün: Ablesung der Dehnung der Druckbewehrung; Blau: Ablesung des bezogenen inneren Hebelarms

$M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1}$

$M_{Eds}=75600-(-115,5)\cdot 33,5$

$M_{Eds}=79469,25kNcm$

$\mu _{Eds}={\frac {M_{Eds}}{b\cdot d^{2}\cdot f_{cd}}}$

$\mu _{Eds}={\frac {79469,25}{35\cdot 71^{2}\cdot 1,13}}$

$\mu _{Eds}=0,40>0,296$

Da $\mu _{Eds}>0,296$ ist Druckbewehrung erforderlich.

$lim\ \mu _{Eds}=0,296$

$lim\ M_{Eds}=lim\ \mu _{Eds}\cdot b\cdot d^{2}\cdot f_{cd}$

$lim\ M_{Eds}=0,296\cdot 35\cdot 71^{2}\cdot 1,13$

$lim\ M_{Eds}=59014kNcm$

$\Delta M_{Eds}=M_{Eds}-lim\ M_{Eds}$

$\Delta M_{Eds}=79469,25-59014$

$\Delta M_{Eds}=20455kNcm$

Mithilfe des bezogenen Grenzmoments werden im Folgenden die für die Bemessung relevanten Größen aus dem allgemeinen Bemessungsdiagramm abgelesen. Um den Anforderungen zur Sicherstellung der Duktilität nach DIN EN 1992-1-1 zu entsprechen, wird die bezogene Druckzonenhöhe auf $\xi =0,45$ begrenzt.

${\frac {d_{2}}{d}}={\frac {4}{71}}=0,056\thickapprox 0,05$

$\varepsilon _{s1}=4,2$‰

$\varepsilon _{s2}=-3,1$‰

Da sowohl die Spannung der Zug- und Druckbewehrung über der Fließgrenze liegen, darf jeweils mit der vollen Bemessungszugfestigkeit gerechnet werden.

$\sigma _{sd}=f_{yd}=43,5{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$\sigma _{s2d}=f_{yd}=43,5{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$\zeta ={\frac {z}{d}}=0,825$

$\Rightarrow \ z=0,825\cdot 71=58,58cm$

$A_{s1}={\frac {1}{\sigma _{sd}}}\cdot \left({\frac {M_{Eds,lim}}{z}}+{\frac {\Delta M_{Eds}}{d-d_{2}}}+N_{Ed}\right)$

$A_{s1}={\frac {1}{43,5}}\cdot \left({\frac {59014}{58,58}}+{\frac {20455}{71-4}}-115,5\right)$

${\underline {\underline {A_{s1}=27,52cm^{2}}}}$

$A_{s2}={\frac {1}{\sigma _{s2d}}}\cdot {\frac {\Delta M_{Eds}}{d-d_{2}}}$

$A_{s2}={\frac {1}{43,5}}\cdot {\frac {20455}{71-4}}$

${\underline {\underline {A_{s2}=7,02cm^{2}}}}$

Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.

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