Biegebemessung mit dem omega-Verfahren (Bsp.): Unterschied zwischen den Versionen
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=Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung= | =Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung= | ||
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Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm; h=75cm) wird durch ein Moment <math>M_{gk} = 80,0kNm</math> sowie eine Normalkraft <math>N_{gk}=30kN</math> aus ständigen Lasten und ein Moment <math>M_{qk} = 180,0kNm</math> sowie eine Normalkraft <math>N_{qk}=50kN</math> aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Statische_Nutzh%C3%B6he_(Bsp.) statische Nutzhöhe] beträgt 71cm. | Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm; h=75cm) wird durch ein Moment <math>M_{gk} = 80,0kNm</math> sowie eine Normalkraft <math>N_{gk}=30kN</math> aus ständigen Lasten und ein Moment <math>M_{qk} = 180,0kNm</math> sowie eine Normalkraft <math>N_{qk}=50kN</math> aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Statische_Nutzh%C3%B6he_(Bsp.) statische Nutzhöhe] beträgt 71cm. | ||
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Da <math>\mu_{Eds}<0,296</math> ist keine Druckbewehrung erforderlich. | Da <math>\mu_{Eds}<0,296</math> ist keine Druckbewehrung erforderlich. | ||
− | Der Wert für <math>\omega</math> wird aus der Tafel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abgelesen. Die <math>\omega</math> lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen<ref Name = "Q1">Albert,A., Bautabellen fü Ingenieure, Auflage 26, Bundesanzeigerverlag, 2024</ref> finden. | + | Der Wert für <math>\omega</math> wird aus der Tafel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abgelesen. Die <math>\omega</math>-Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen<ref Name = "Q1">Albert,A., Bautabellen fü Ingenieure, Auflage 26, Bundesanzeigerverlag, 2024</ref> finden. |
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=Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung= | =Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung= | ||
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+ | Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm;h=75cm) wird durch ein Moment <math>M_{gk} = 160,0 kNm</math> sowie eine Normalkraft <math>N_{gk}=-30kN</math> aus ständigen Lasten und ein Moment <math>M_{qk} = 360,0 kNm</math> sowie eine Normalkraft <math>N_{qk}=-50kN</math> aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Statische_Nutzh%C3%B6he_(Bsp.) statische Nutzhöhe] beträgt 71cm. | ||
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+ | <math>M_{Ed}=\gamma_g\cdot M_{gk}+\gamma_q\cdot M_{qk}</math> | ||
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+ | <math>M_{Ed}=1,35\cdot160+1,5\cdot 360=756kNm=75600kNcm</math> | ||
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+ | <math>N_{Ed}=\gamma_g\cdot N_{gk}+\gamma_q\cdot N_{qk}</math> | ||
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+ | <math>N_{Ed}=-1,35\cdot30-1,5\cdot 50=-115,5kN</math><br> | ||
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+ | Es handelt sich um einen [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/%C3%9Cberwiegend_biegebeanspruchter_Querschnitt überwiegend biegebanspruchten] Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden. | ||
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+ | <math>f_{cd}=\alpha_{cc}\cdot\frac{f_{ck}}{\gamma_c}=0,85\cdot\frac{20}{1,5}=11,33\frac{N}{mm^2}=1,13\frac{kN}{cm^2}</math> | ||
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+ | <math>f_{yd}=\frac{f_{yk}}{\gamma_s}=\frac{500}{1,15}=435\frac{N}{mm^2}=43,5\frac{kN}{cm^2}</math> | ||
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+ | ==Bemessung== | ||
+ | <math> M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1} </math> | ||
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+ | <math> M_{Eds}=79469,25kNcm </math> | ||
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+ | <math>\mu_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}</math> | ||
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+ | Der Werte für <math>\omega_1</math> und <math>\omega_2</math> werden aus der Tafel für Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung abgelesen. Die <math>\omega</math>-Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen<ref Name = "Q1"></ref> finden. Um den Anforderungen zur Sicherstellung der Duktilität nach DIN EN 1992-1-1<ref Name = "Q3">DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013</ref> zu entsprechen, wird eine Tafel mit <math>\xi=0,45</math> verwendet. | ||
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+ | <math>\frac{d_2}{d}=\frac{4}{71}=0,056\thickapprox0,05</math> | ||
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+ | <math>\omega_1=0,474</math> | ||
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+ | <math>\omega_2=0,109</math> | ||
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+ | <math>A_{s1}=\frac{1}{f{yd}}\cdot\left(\omega_1\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math> | ||
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+ | <math>A_{s1}=\frac{1}{43,5}\cdot\left(0,474\cdot 35\cdot 71\cdot 1,13-115,5\right)</math> | ||
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+ | <math>\underline{\underline{A_{s1}=27,94cm^2}}</math> | ||
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+ | <math>A_{s2}=\frac{1}{f_{yd}}\cdot\left(\omega_2\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}\right)</math> | ||
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+ | <math>A_{s2}=\frac{1}{43,5}\cdot\left(0,109\cdot 35\cdot 71\cdot 1,13\right)</math> | ||
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+ | <math>\underline{\underline{A_{s2}=7,04cm^2}}</math> | ||
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+ | Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der [[Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität (Bsp.)|Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel]] erläutert. | ||
=Plattenbalkenquerschnitte= | =Plattenbalkenquerschnitte= | ||
+ | ==Aufgabenstellung== | ||
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+ | Ein Balken mit Plattenbalkenquerschnitt wird durch ein Moment aus ständigen Lasten <math>M_{gk} = 300 kNm</math> und ein Moment aus veränderlichen Lasten <math>M_{qk} = 450 kNm</math> beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Statische_Nutzh%C3%B6he_(Bsp.) statische Nutzhöhe] beträgt 71cm. | ||
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+ | Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung. | ||
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+ | ==Beanspruchungen und Festigkeiten== | ||
+ | <math>M_{Ed}=\gamma_g\cdot M_{gk}+\gamma_q\cdot M_{qk}</math> | ||
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+ | <math>M_{Ed}=1,35\cdot300+1,5\cdot 450=1080kNm=108000kNcm</math> | ||
+ | <br> | ||
+ | Es handelt sich um einen [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/%C3%9Cberwiegend_biegebeanspruchter_Querschnitt überwiegend biegebanspruchten] Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden. | ||
+ | <br> | ||
+ | <math>f_{cd}=\alpha_{cc}\cdot\frac{f_{ck}}{\gamma_c}=0,85\cdot\frac{20}{1,5}=11,33\frac{N}{mm^2}=1,13\frac{kN}{cm^2}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>f_{yd}=\frac{f_{yk}}{\gamma_s}=\frac{500}{1,15}=435\frac{N}{mm^2}=43,5\frac{kN}{cm^2}</math> | ||
+ | ==Querschnittswerte== | ||
+ | <math>d=71cm</math> | ||
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+ | Auf die Ermittlung der [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Mitwirkende_Plattenbreite mitwirkenden Plattenbreite] soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden. Es wird angenommen, dass die mitwirkende Plattenbreite der Plattenbreite entspricht. | ||
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+ | <math>b_eff=80cm</math> | ||
+ | ==Bemessung== | ||
+ | <math> M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1} </math> | ||
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+ | <math> M_{Eds}=M_{Ed}=108000kNcm</math> | ||
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+ | Die Ermittlung des bezogenen Moments erfolgt mit derselben Gleichung wie für Rechteckquerschnitte. Die Breite entspricht dabei der mitwirkenden Plattenbreite. | ||
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+ | <math>\mu_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b_{eff}\cdot d^2\cdot f_{cd}}</math> | ||
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+ | <math>\mu_{Eds}=\frac{108000}{80\cdot 71^2\cdot 1,13}</math> | ||
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+ | <math>\mu_{Eds}=0,24<0,296</math> | ||
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+ | Da <math>\mu_{Eds}<0,296</math> ist keine Druckbewehrung erforderlich. | ||
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+ | Für die Überprüfung der Lage der Nulllinie im Querschnitt wird <math>\xi</math> aus der Tafel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abgelesen und mit dem Verhältnis von Plattenhöhe zu statischer Nuthöhe <math>h_f/d</math> verglichen | ||
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+ | <math>\xi=0,24<0,346</math> | ||
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+ | <math>\frac{h_f}{d}=\frac{20}{71}=0,282</math> | ||
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+ | <math>\frac{h_f}{d}=0,282>0,346=\xi</math> => die Nullinie liegt im Steg | ||
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+ | Da die Spannungsverteilung in der Druckzone nicht mehr rechteckförmig ist, da die Spannungsnulllinie im Steg liegt, ist der Wert für <math>\omega</math> aus der Tafel für Plattenbalkenquerschnitte abzulesen. Die <math>\omega</math>-Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen<ref Name = "Q1">Albert,A., Bautabellen fü Ingenieure, Auflage 26, Bundesanzeigerverlag, 2024</ref> finden. | ||
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+ | <math>\frac{h_f}{d}=\frac{20}{71}=0,28\thickapprox0,3</math> | ||
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+ | <math>\frac{b_{eff}}{b_w}=\frac{80}{30}=2,6\thickapprox3</math> | ||
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+ | <math>\Rightarrow\omega_1=0,2801</math> | ||
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+ | <math>A_{s1}=\frac{1}{f{yd}}\cdot\left(\omega_1\cdot b_{eff}\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math> | ||
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+ | <math>A_{s1}=\frac{1}{43,5}\cdot\left(0,2801\cdot 80\cdot 71\cdot 1,13\right)</math> | ||
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+ | <math>\underline{\underline{A_{s1}=41,33cm^2}}</math> | ||
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+ | Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der [[Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität (Bsp.)|Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel]] erläutert. | ||
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Aktuelle Version vom 14. August 2024, 22:27 Uhr
Auf dieser Seite wird die Anwendung des ω-Verfahrens an ausgewählten Beispielen dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der Biegebemessung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.
Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung
Aufgabenstellung
Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm; h=75cm) wird durch ein Moment sowie eine Normalkraft aus ständigen Lasten und ein Moment sowie eine Normalkraft aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die statische Nutzhöhe beträgt 71cm.
Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.
Beanspruchungen und Festigkeiten
Es handelt sich um einen überwiegend biegebanspruchten Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.
Querschnittswerte
Bemessung
Da ist keine Druckbewehrung erforderlich. Der Wert für wird aus der Tafel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abgelesen. Die -Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen[1] finden.
Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der vereinfachten Stahlkennlinie
Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der genaueren Stahlkennlinie
Der genauere Wert für kann ebenfalls in Abhängigkeit von abgelesen werden.
Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.
Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung
Aufgabenstellung
Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm;h=75cm) wird durch ein Moment sowie eine Normalkraft aus ständigen Lasten und ein Moment sowie eine Normalkraft aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die statische Nutzhöhe beträgt 71cm.
Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.
Beanspruchungen und Festigkeiten
Es handelt sich um einen überwiegend biegebanspruchten Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.
Querschnittswerte
Bemessung
Da ist Druckbewehrung erforderlich. Der Werte für und werden aus der Tafel für Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung abgelesen. Die -Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen[1] finden. Um den Anforderungen zur Sicherstellung der Duktilität nach DIN EN 1992-1-1[2] zu entsprechen, wird eine Tafel mit verwendet.
Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.
Plattenbalkenquerschnitte
Aufgabenstellung
Ein Balken mit Plattenbalkenquerschnitt wird durch ein Moment aus ständigen Lasten und ein Moment aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die statische Nutzhöhe beträgt 71cm.
Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.
Beanspruchungen und Festigkeiten
Es handelt sich um einen überwiegend biegebanspruchten Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.
Querschnittswerte
Auf die Ermittlung der mitwirkenden Plattenbreite soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden. Es wird angenommen, dass die mitwirkende Plattenbreite der Plattenbreite entspricht.
Bemessung
Die Ermittlung des bezogenen Moments erfolgt mit derselben Gleichung wie für Rechteckquerschnitte. Die Breite entspricht dabei der mitwirkenden Plattenbreite.
Da ist keine Druckbewehrung erforderlich.
Für die Überprüfung der Lage der Nulllinie im Querschnitt wird aus der Tafel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abgelesen und mit dem Verhältnis von Plattenhöhe zu statischer Nuthöhe verglichen
=> die Nullinie liegt im Steg
Da die Spannungsverteilung in der Druckzone nicht mehr rechteckförmig ist, da die Spannungsnulllinie im Steg liegt, ist der Wert für aus der Tafel für Plattenbalkenquerschnitte abzulesen. Die -Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen[1] finden.
Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.
Seiteninfo
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- ↑ 1,0 1,1 1,2 Albert,A., Bautabellen fü Ingenieure, Auflage 26, Bundesanzeigerverlag, 2024
- ↑ DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013