Direkte Verformungsberechnung - Näherungsverfahren (Bsp.): Unterschied zwischen den Versionen

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Auf dieser Seite wird die Anwendung des Näherungsverfahren zur direkten Verformungsberechnung nach EC2 an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der [[Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile | direkten Verformungsberechnung]] werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.
 
Auf dieser Seite wird die Anwendung des Näherungsverfahren zur direkten Verformungsberechnung nach EC2 an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der [[Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile | direkten Verformungsberechnung]] werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.
 
=Aufgabenstellung=
 
=Aufgabenstellung=
Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 40 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.
+
Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 66,5 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.
  
 
* l<sub>eff</sub>=6m
 
* l<sub>eff</sub>=6m
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<math>M_{Ed,perm}=\frac{p_{Ed,perm}\cdot l^2}{8}=\frac{66,5\cdot6^2}{8}=299,25kNm</math>
 
<math>M_{Ed,perm}=\frac{p_{Ed,perm}\cdot l^2}{8}=\frac{66,5\cdot6^2}{8}=299,25kNm</math>
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'''Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul'''
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<math>E_{cm}=30000\frac{N}{mm^2}</math>
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<math>E_{c,eff}=\frac{E_{cm}}{1+\phi_{\infty,t_0}}=\frac{30000}{1+2}=10000\frac{N}{mm^2}=1000\frac{kN}{cm^2}</math>
  
 
'''Ermittlung des Rissbildungsmoments'''
 
'''Ermittlung des Rissbildungsmoments'''
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<math>z_{I}=\frac{75}{2}=37,5cm</math>
 
<math>z_{I}=\frac{75}{2}=37,5cm</math>
  
<math>I_{I}=\frac{b\cdot h^3}{12}=\frac{35\cdot75^3}{12}=1230468cm^4</math>
+
<math>\rho^I=\frac{A_{s1}}{b\cdot h}=\frac{19,64}{35\cdot75}=0,0075</math>
  
<math>M_{cr}=f_{ctm}\cdot\frac{I_I}{z_I}=0,22\cdot\frac{1230468}{37,5}=7219kNcm</math>
+
<math> \alpha_e=\frac{E_s}{E_{c,eff}}=\frac{200000}{10000}=20 </math>
  
'''Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul'''
+
<math>\xi^I=\frac{0,5+\alpha_e\cdot\rho^I\cdot\frac{d}{h}}{1+\alpha_e\cdot\rho^I}=\frac{0,5+20\cdot0,0075\cdot\frac{70}{75}}{1+20\cdot0,0075}=0,56</math>
 +
 
 +
<math>k_I=1+12\cdot\left(0,5-\xi^I\right)^2+12\cdot\alpha_e\cdot\rho^I\cdot\left(\frac{d}{h}-\xi^I\right)^2</math>
 +
 
 +
<math>k_I=1+12\cdot\left(0,5-0,56\right)^2+12\cdot20\cdot0,0075\cdot\left(\frac{70}{75}-0,56\right)^2=1,29</math>
  
<math>E_{cm}=30000\frac{N}{mm^2}</math>
+
<math>I_{I}=k_I\cdot\frac{b\cdot h^3}{12}=1,29\cdot\frac{35\cdot75^3}{12}=1587304cm^4</math>
  
<math>E_{c,eff}=\frac{E_{cm}}{1+\phi_{\infty,t_0}}=\frac{30000}{1+2}=10000\frac{N}{mm^2}=1000\frac{kN}{cm^2}</math>
+
<math>M_{cr}=f_{ctm}\cdot\frac{I_I}{z_I}=0,22\cdot\frac{1587304}{37,5}=9312kNcm</math>
  
 
'''Ermittlung der Druckzonenhöhe'''
 
'''Ermittlung der Druckzonenhöhe'''
  
<math> \alpha_e=\frac{E_s}{E_{c,eff}}=\frac{200000}{10000}=20 </math>
+
<math> \rho^{II}=\frac{A_s}{b\cdot d}=\frac{19,64}{35\cdot 70}=0,008 </math>
  
<math> \rho_l=\frac{A_s}{b\cdot d}=\frac{19,64}{35\cdot 70}=0,008 </math>
+
<math> \rho^{II}\cdot \alpha_e=20\cdot0,008=0,16 </math>
  
<math> \rho_l\cdot \alpha_e=20\cdot0,008=0,16 </math>
+
<math>x=\xi^{II}\cdot d=d\cdot\left(-\alpha_e\cdot\rho^{II}+\sqrt{(\alpha_e\cdot\rho^{II})^2+2\cdot\alpha_e\cdot\rho^{II}}\right)</math>
 
 
<math>x=\xi\cdot d=d\cdot\left(-\alpha_e\cdot\rho_l+\sqrt{(\alpha_e\cdot\rho_l)^2+2\cdot\alpha_e\cdot\rho_l}\right)</math>
 
  
 
<math>x=70\cdot\left(-0,16+\sqrt{0,16^2+2\cdot0,16}\right)</math>
 
<math>x=70\cdot\left(-0,16+\sqrt{0,16^2+2\cdot0,16}\right)</math>
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<math>\kappa_I = \left(\frac{1}{r}\right)_{I} = \frac{M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_I}</math>
 
<math>\kappa_I = \left(\frac{1}{r}\right)_{I} = \frac{M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_I}</math>
  
<math>\kappa_I = \frac{29925}{1000\cdot1230468 }=2,43\cdot 10^{-5}\frac{1}{cm}=2,43\cdot 10^{-3}\frac{1}{m}</math>
+
<math>\kappa_I = \frac{29925}{1000\cdot1587304 }=1,89\cdot 10^{-5}\frac{1}{cm}=1,89\cdot 10^{-3}\frac{1}{m}</math>
  
 
'''Krümmung im Zustand II'''
 
'''Krümmung im Zustand II'''
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<math>\beta=1,0</math>
 
<math>\beta=1,0</math>
  
<math>\zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{M_{cr}}{M_{Ed}}\right)^2=1-1\cdot\left(\frac{7219}{29925}\right)^2=0,942</math>
+
<math>\zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{M_{cr}}{M_{Ed}}\right)^2=1-1\cdot\left(\frac{9312}{29925}\right)^2=0,905</math>
  
 
<math>\kappa_m=\left(\frac{1}{r}\right)_m=\zeta\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{I}</math>
 
<math>\kappa_m=\left(\frac{1}{r}\right)_m=\zeta\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{I}</math>
  
<math>\kappa_m=\left(\frac{1}{r}\right)_m=0,942\cdot3,17\cdot 10^{-3}+\left(1-0,942\right)\cdot2,43\cdot 10^{-3}</math>
+
<math>\kappa_m=\left(\frac{1}{r}\right)_m=0,905\cdot3,17\cdot 10^{-3}+\left(1-0,905\right)\cdot1,89\cdot 10^{-3}</math>
  
<math>\underline{\kappa_m=3,13\cdot 10^{-3}}</math>
+
<math>\underline{\kappa_m=3,05\cdot 10^{-3}}</math>
  
 
=Ermittlung der Krümmung infolge Schwinden=
 
=Ermittlung der Krümmung infolge Schwinden=
  
 
'''Krümmung im Zustand I'''
 
'''Krümmung im Zustand I'''
 
[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_Näherungsverfahren_(Bsp.)_1.jpg|300px|thumb|right|Steifigkeitsbeiwert für den Zustand II<ref>Deutscher Aussschuss für Stahlbeton: Bemessungshilfen zu Eurocode 2, Teil 1, Planung von Stahlbeton und Spannbetonwerken; DAfStb Heft 425</ref>]]
 
  
 
<math> \kappa_{cs,I}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_I}{I_I} </math>
 
<math> \kappa_{cs,I}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_I}{I_I} </math>
  
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+
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<math> z_{s1}=\frac{h}{2}-(h-d)=\frac{75}{2}-(75-70)=32,5cm </math>
 
<math> z_{s1}=\frac{h}{2}-(h-d)=\frac{75}{2}-(75-70)=32,5cm </math>
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<math> S_I=A_s\cdot z_{s1}=19,64\cdot 32,5=638,3cm^3 </math>
 
<math> S_I=A_s\cdot z_{s1}=19,64\cdot 32,5=638,3cm^3 </math>
  
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'''Krümmung im Zustand II'''
 
'''Krümmung im Zustand II'''
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<math> \kappa_{cs,II}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_{II}}{I_{II}} </math>
 
<math> \kappa_{cs,II}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_{II}}{I_{II}} </math>
  
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 +
 
 +
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+
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 +
 
 +
<math> I_{II}=k_{II}\cdot\frac{b\cdot d^3}{12}=0,94\cdot \frac{35\cdot 70^3}{12}=940392cm^4</math>
  
 
<math> S_{II}=A_s\cdot \left(d-x\right)=19,64\cdot\left(70-29,95\right)=786,58cm^3 </math>
 
<math> S_{II}=A_s\cdot \left(d-x\right)=19,64\cdot\left(70-29,95\right)=786,58cm^3 </math>
  
<math> \kappa_{cs,II}=\frac{0,4}{1000}\cdot20\cdot\frac{786,58}{1230468}=5,11\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=5,11\cdot 10^{-4}\frac{1}{m} </math>
+
<math> \kappa_{cs,II}=\frac{0,4}{1000}\cdot20\cdot\frac{786,58}{940392}=6,69\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=6,69\cdot 10^{-4}\frac{1}{m} </math>
  
 
'''Krümmung - wahrscheinlicher Wert'''
 
'''Krümmung - wahrscheinlicher Wert'''
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<math>\kappa_{cs,m}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}=\zeta\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,I}</math>
 
<math>\kappa_{cs,m}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}=\zeta\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,I}</math>
  
<math>\kappa_{cs,m}=0,942\cdot5,11\cdot 10^{-4}+\left(1-0,942\right)\cdot4,15\cdot 10^{-4}</math>
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+
<math>\underline{\kappa_{cs,m}=6,36\cdot 10^{-4}\frac{1}{m}}</math>
  
 
=Ermittlung der Gesamtkrümmung=
 
=Ermittlung der Gesamtkrümmung=
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<math>\kappa_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m}+\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}</math>
 
<math>\kappa_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m}+\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}</math>
  
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<math>\kappa_{m,tot}=3,05\cdot 10^{-3}+6,36\cdot 10^{-4}</math>
  
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+
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=Ermittlung der Durchbiegung=
 
=Ermittlung der Durchbiegung=
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=>Einfeldträger, Gleichlast (Beiwert nach LITZNER <ref>Litzner, H.-U.: Grundlagen der Bemessung nach Eurocode 2, BK 1995</ref> vgl. [[Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile]])
 
=>Einfeldträger, Gleichlast (Beiwert nach LITZNER <ref>Litzner, H.-U.: Grundlagen der Bemessung nach Eurocode 2, BK 1995</ref> vgl. [[Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile]])
  
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+
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<math>w=k\cdot l^2\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}</math>
  
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<math>w=\frac{5}{48}\cdot 6^2\cdot3,69\cdot 10^{-3}</math>
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=Vergleich der direkten Verformungsberechnung mit dem Näherungsverfahren und der numerischen Integration=
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Auf der Seite zur [[Direkte Verformungsberechnung - numerische Integration (Bsp.)|direkten Verformungsberechung mittels numerischer Integration]] wird das hier vorgestellte Beispiel mit der numerischen Integration wiederholt.
  
<math>\underline{\underline{w=0,016m=1,6cm}}</math>
 
  
 
=Quellen=
 
=Quellen=

Aktuelle Version vom 20. August 2024, 11:58 Uhr

Auf dieser Seite wird die Anwendung des Näherungsverfahren zur direkten Verformungsberechnung nach EC2 an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der direkten Verformungsberechnung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 66,5 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.

  • leff=6m
  • (Kurzzeitbelastung)
  • b/h=35cm/75cm
  • d=70cm
  • B500A
  • Längsbewehrung: 4⌀25 (As,vorh=19,64cm²)
  • C 20/25
  • εcs=0,4‰
  • φ (∞,t0)=2

Festigkeiten

Vorbereitende Berechnung

Ermittlung des quasi-ständigen Moments

Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul

Ermittlung des Rissbildungsmoments

Ermittlung der Druckzonenhöhe

Ermittlung der Krümmung

Krümmung im Zustand I

Krümmung im Zustand II

Krümmung - wahrscheinlicher Wert

Ermittlung der Krümmung infolge Schwinden

Krümmung im Zustand I

Krümmung im Zustand II

Krümmung - wahrscheinlicher Wert

Ermittlung der Gesamtkrümmung

Ermittlung der Durchbiegung

=>Einfeldträger, Gleichlast (Beiwert nach LITZNER [1] vgl. Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile)

Vergleich der direkten Verformungsberechnung mit dem Näherungsverfahren und der numerischen Integration

Auf der Seite zur direkten Verformungsberechung mittels numerischer Integration wird das hier vorgestellte Beispiel mit der numerischen Integration wiederholt.


Quellen

  1. Litzner, H.-U.: Grundlagen der Bemessung nach Eurocode 2, BK 1995


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