Riss-vor-Bruch-Kriterium (Bsp.)

Auf dieser Seite wird der Nachweis Riss-vor-Bruch an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen des Nachweises werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Aufgabenstellung

Der Nachweis Riss-vor-Bruch soll für den Haupträger mit Rechteckquerschnitt (b=100cm; h=100cm) einer 20m langen Straßenbrücke durchgeführt werden. Bei dem statischen System handelt es sich um einen Einfeldträger. Die verwendeten Materialien sind der nachfolgenden Auflistung zu entnehmen. Die Vorspannung erfolgte mit sofortigem Verbund

Lastanordnung und statisches System

• l_eff=20m (Einfeldträger)
• b=100cm
• h=100cm
• d_s=93cm
• d_p=85cm
• A_s1=31,42cm² (BSt IV; f_yk=550 N/mm²)
• A_p=65cm² (Hennigsdorfer Spannstahl St 140/160; f_pk=1370 N/mm²)
• E_p=205000 N/mm²
• σ_pp=800 N/mm²
• B 600 (f_ck=33 N/mm²; f_ctm=3,6 N/mm²)

Folgende Lasten sind anzusetzen:

Eigenlast$\qquad \qquad \qquad$	$g_{k}=25{\frac {kN}{m}}$
Ausbaulast	$g_{k}=3,75{\frac {kN}{m}}$
Verkehrslast (Gleichlast)	$q_{k}=12{\frac {kN}{m}}$
Verkehrslast (Einzellast)	$F_{qk}=300kN$

Die Einzellasten werden als Wanderlast angesetzt.

Temperaturlasten und statisch unbestimmte Vorspannmomente sind wegen des statischen Systems nicht zu berücksichtigen.

Materialkennwerte

f_ck=33 N/mm²=3,3 kN/cm²

f_ctm=3,6 N/mm²=0,36 kN/cm²

f_yk=550 N/mm²=55 kN/cm²

f_pk=1370 N/mm²=137 kN/cm²

Querschnittswerte

$A_{b}=b\cdot h=100\cdot 100=10000cm^{2}$

$I_{I}={\frac {b\cdot h^{3}}{12}}={\frac {100\cdot 100^{3}}{12}}=8333333cm^{4}$

$W_{b}={\frac {I_{I}}{z}}={\frac {8333333}{50}}=166666cm^{3}$

$y_{bz}=35cm$

Schnittgrößenermittlung

ständige Lasten:

charakteristisch$\qquad \qquad \qquad$	$g_{k}=25+3,75=28,75{\frac {kN}{m}}$
häufig	$g_{d,frequ}=25+3,75=28,75{\frac {kN}{m}}$
selten	$g_{d,inf}=(25+3,75)\cdot 1,1=31,63{\frac {kN}{m}}$

veränderliche Lasten:

Gleichlasten:

charakteristisch$\qquad \qquad \qquad$	$q_{k}=12{\frac {kN}{m}}$
häufig	$q_{d,frequ}=12\cdot 0,5=6{\frac {kN}{m}}$
selten	$q_{d,inf}=12\cdot 1,1=13,2{\frac {kN}{m}}$

Einzellasten:

charakteristisch$\qquad \qquad \qquad$	$F_{qk}=300kN$
häufig	$F_{qd,frequ}=300\cdot 0,5=150kN$
selten	$F_{qd,inf}=300\cdot 1,1=330kN$

Momente in den Nachweisquerschnitten [kNm]

Nachweis

Der Nachweis wird in den Zehntelspunkten des Trägers geführt, sodass sich 11 Nachweisquerschnitte ergeben.

Der Nachweis wird im Folgenden nur für den Nachweisquerschnitt in Bauteilmitte ausführlich dargestellt. Die Darstellung der Ergebnisse der übrigen Schnitte findet tabellarisch statt.

Ermittlung der Restspannstahlfläche

Die Betonspannung am gezogenen Rand kann vor der Rissbildung linear-elastisch ermittelt werden:

$\sigma _{b,\Delta p}={\frac {M}{I_{I}}}\cdot z_{I,c1}$

$\sigma _{b,\Delta p}={\frac {143750+171000}{8333333}}\cdot 50=1,89{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$\varepsilon _{v,\infty }^{(0)}\cdot E_{p}=800{\frac {N}{mm^{2}}}=80{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$A_{Z,r}={\frac {\sigma _{b,\Delta p}-f_{ctm}+{\frac {M_{VX,\infty }}{W_{b}}}+{\frac {M_{\Delta T,freq}}{W_{b}}}}{\varepsilon _{v,\infty }^{(0)}\cdot E_{p}\cdot \left({\frac {1}{A_{b}}}+{\frac {y_{bz}}{W_{b}}}\right)}}$

$A_{Z,r}={\frac {1,89-0,36}{80\cdot \left({\frac {1}{10000}}+{\frac {35}{166666}}\right)}}=61,69cm^{2}$

Ermittlung der Bruchsicherheit

Zunächst ist das Tragmoment der Bewehrung zu ermitteln. Hierbei sind gemäß der Handlungsanweisung Spannungsrisskorrosion die charakteristischen Materialkennwerte zu verwenden. In diesem Beispiel wird davon ausgegangen, dass die volle Festigkeit der Bewehrung aktiviert wird.

Die Tragfähigkeit wird mit den ω-Tafeln ermittelt.

$\omega ={\frac {A_{Z,r}\cdot f_{pd}+A_{s}\cdot f_{sd}}{b\cdot d_{p}\cdot f_{cd}}}$

$\omega ={\frac {61,69\cdot 137+31,42\cdot 55}{100\cdot 85\cdot 3,3}}=0,363$

$\mu _{Rdp}=0,295$

$M_{Rdp}=\mu _{Edp}\cdot b\cdot d^{2}\cdot f_{cd}=0,295\cdot 100\cdot 85^{2}\cdot 3,3$

$M_{Rdp}=703354kNcm=7033,54kNm$

$M_{Rd}=M_{Rdp}-A_{s1}\cdot f_{yk}\cdot \left(d_{p}-d_{s}\right)=7033,54-31,42\cdot 55\cdot (85-93)=7171,79kNm$

Die Bruchsicherheit ergibt sich anschließend wie folgt:

$\gamma _{P}={\frac {M_{AZ,r}+M_{As}-M_{\Delta T}-M_{VX,\infty }-\gamma _{g}\cdot M_{g}}{M_{q}}}\geq 1,1$

$\gamma _{P}={\frac {7171,79-1581,5}{3420}}=1,63$

Nachweis

In Bauteilmitte ist der Nachweis erfüllt:

${\underline {\underline {\gamma _{p,vorh}=1,63\geq 1,1=\gamma _{p,erf}}}}$

Auch in den Übrigen Querschnitten ist der Nachweis erfüllt. Dies ist vor allem auf die vorhandene schlaffe Bewehrung zurückzuführen.

Quellen

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