Verformungsnachweis - direkte Berechnung - Näherungsverfahren (Bsp.)

Auf dieser Seite wird die Anwendung des Näherungsverfahren zur direkten Verformungsberechnung nach EC2 an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der direkten Verformungsberechnung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 66,5 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.

• l_eff=6m
• $p_{Ed,perm}=66,5{\frac {kN}{m}}$ (Kurzzeitbelastung)
• b/h=35cm/75cm
• d=70cm
• B500A
• Längsbewehrung: 4⌀25 (A_s,vorh=19,64cm²)
• C 20/25
• ε_cs=0,4‰
• φ (∞,t₀)=2

Festigkeiten

$f_{ctm}=2,2{\frac {N}{mm^{2}}}=0,22{\frac {kN}{cm^{2}}}$

Vorbereitende Berechnung

Ermittlung des quasi-ständigen Moments

$M_{Ed,perm}={\frac {p_{Ed,perm}\cdot l^{2}}{8}}={\frac {66,5\cdot 6^{2}}{8}}=299,25kNm$

Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul

$E_{cm}=30000{\frac {N}{mm^{2}}}$

$E_{c,eff}={\frac {E_{cm}}{1+\phi _{\infty ,t_{0}}}}={\frac {30000}{1+2}}=10000{\frac {N}{mm^{2}}}=1000{\frac {kN}{cm^{2}}}$

Ermittlung des Rissbildungsmoments

$z_{I}={\frac {75}{2}}=37,5cm$

$\rho ^{I}={\frac {A_{s1}}{b\cdot h}}={\frac {19,64}{35\cdot 75}}=0,0075$

$\alpha _{e}={\frac {E_{s}}{E_{c,eff}}}={\frac {200000}{10000}}=20$

$\xi ^{I}={\frac {0,5+\alpha _{e}\cdot \rho ^{I}\cdot {\frac {d}{h}}}{1+\alpha _{e}\cdot \rho ^{I}}}={\frac {0,5+20\cdot 0,0075\cdot {\frac {70}{75}}}{1+20\cdot 0,0075}}=0,56$

$k_{I}=1+12\cdot \left(0,5-\xi ^{I}\right)^{2}+12\cdot \alpha _{e}\cdot \rho ^{I}\cdot \left({\frac {d}{h}}-\xi ^{I}\right)^{2}$

$k_{I}=1+12\cdot \left(0,5-0,56\right)^{2}+12\cdot 20\cdot 0,0075\cdot \left({\frac {70}{75}}-0,56\right)^{2}=1,29$

$I_{I}=k_{I}\cdot {\frac {b\cdot h^{3}}{12}}=1,29\cdot {\frac {35\cdot 75^{3}}{12}}=1587304cm^{4}$

$M_{cr}=f_{ctm}\cdot {\frac {I_{I}}{z_{I}}}=0,22\cdot {\frac {1587304}{37,5}}=9312kNcm$

Ermittlung der Druckzonenhöhe

$\rho ^{II}={\frac {A_{s}}{b\cdot d}}={\frac {19,64}{35\cdot 70}}=0,008$

$\rho ^{II}\cdot \alpha _{e}=20\cdot 0,008=0,16$

$x=\xi ^{II}\cdot d=d\cdot \left(-\alpha _{e}\cdot \rho ^{II}+{\sqrt {(\alpha _{e}\cdot \rho ^{II})^{2}+2\cdot \alpha _{e}\cdot \rho ^{II}}}\right)$

$x=70\cdot \left(-0,16+{\sqrt {0,16^{2}+2\cdot 0,16}}\right)$

$x=29,95cm$

Ermittlung der Krümmung

Krümmung im Zustand I

$\kappa _{I}=\left({\frac {1}{r}}\right)_{I}={\frac {M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_{I}}}$

$\kappa _{I}={\frac {29925}{1000\cdot 1587304}}=1,89\cdot 10^{-5}{\frac {1}{cm}}=1,89\cdot 10^{-3}{\frac {1}{m}}$

Krümmung im Zustand II

$\sigma _{s}={\frac {M_{Ed}}{A_{s}\cdot \left(d-{\frac {x}{3}}\right)}}={\frac {29925}{19,64\cdot \left(70-{\frac {29,95}{3}}\right)}}=25,39{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$\varepsilon _{s}={\frac {\sigma _{s}}{E_{s}}}={\frac {25,39}{20000}}=1,27\cdot 10^{-3}$

$\kappa _{II}=\left({\frac {1}{r}}\right)_{II}={\frac {\varepsilon _{s}}{d-x}}$

$\kappa _{II}={\frac {1,27\cdot 10^{-3}}{70-29,95}}=3,17\cdot 10^{-5}{\frac {1}{cm}}=3,17\cdot 10^{-3}{\frac {1}{m}}$

Krümmung - wahrscheinlicher Wert

$\beta =1,0$

$\zeta =1-\beta \cdot \left({\frac {M_{cr}}{M_{Ed}}}\right)^{2}=1-1\cdot \left({\frac {9312}{29925}}\right)^{2}=0,905$

$\kappa _{m}=\left({\frac {1}{r}}\right)_{m}=\zeta \cdot \left({\frac {1}{r}}\right)_{II}+\left(1-\zeta \right)\cdot \left({\frac {1}{r}}\right)_{I}$

$\kappa _{m}=\left({\frac {1}{r}}\right)_{m}=0,905\cdot 3,17\cdot 10^{-3}+\left(1-0,905\right)\cdot 1,89\cdot 10^{-3}$

${\underline {\kappa _{m}=3,05\cdot 10^{-3}}}$

Ermittlung der Krümmung infolge Schwinden

Krümmung im Zustand I

$\kappa _{cs,I}=\left({\frac {1}{r}}\right)_{cs}=\varepsilon _{cs}\cdot \alpha _{e}\cdot {\frac {S_{I}}{I_{I}}}$

$I_{I}=1587304cm^{4}$

$z_{s1}={\frac {h}{2}}-(h-d)={\frac {75}{2}}-(75-70)=32,5cm$

$S_{I}=A_{s}\cdot z_{s1}=19,64\cdot 32,5=638,3cm^{3}$

$\kappa _{cs,I}={\frac {0,4}{1000}}\cdot 20\cdot {\frac {638,3}{1587304}}=3,22\cdot 10^{-6}{\frac {1}{cm}}=3,22\cdot 10^{-4}{\frac {1}{m}}$

Krümmung im Zustand II

$\kappa _{cs,II}=\left({\frac {1}{r}}\right)_{cs}=\varepsilon _{cs}\cdot \alpha _{e}\cdot {\frac {S_{II}}{I_{II}}}$

$\rho ^{II}=0,008$

$\xi ^{II}={\frac {x^{II}}{d}}={\frac {29,95}{70}}=0,43$

$k_{II}=4\cdot 0,43^{3}+12\cdot 20\cdot 0,008\cdot \left(1-0,43\right)^{2}=0,94$

$I_{II}=k_{II}\cdot {\frac {b\cdot d^{3}}{12}}=0,94\cdot {\frac {35\cdot 70^{3}}{12}}=940392cm^{4}$

$S_{II}=A_{s}\cdot \left(d-x\right)=19,64\cdot \left(70-29,95\right)=786,58cm^{3}$

$\kappa _{cs,II}={\frac {0,4}{1000}}\cdot 20\cdot {\frac {786,58}{940392}}=6,69\cdot 10^{-6}{\frac {1}{cm}}=6,69\cdot 10^{-4}{\frac {1}{m}}$

Krümmung - wahrscheinlicher Wert

$\kappa _{cs,m}=\left({\frac {1}{r}}\right)_{cs,m}=\zeta \cdot \left({\frac {1}{r}}\right)_{cs,II}+\left(1-\zeta \right)\cdot \left({\frac {1}{r}}\right)_{cs,I}$

$\kappa _{cs,m}=0,905\cdot 6,69\cdot 10^{-4}+\left(1-0,905\right)\cdot 3,22\cdot 10^{-4}$

${\underline {\kappa _{cs,m}=6,36\cdot 10^{-4}{\frac {1}{m}}}}$

Ermittlung der Gesamtkrümmung

$\kappa _{m,tot}=\left({\frac {1}{r}}\right)_{m,tot}=\left({\frac {1}{r}}\right)_{m}+\left({\frac {1}{r}}\right)_{cs,m}$

$\kappa _{m,tot}=3,05\cdot 10^{-3}+6,36\cdot 10^{-4}$

${\underline {\kappa _{m,tot}=3,69\cdot 10^{-3}}}$

Ermittlung der Durchbiegung

=>Einfeldträger, Gleichlast (Beiwert nach LITZNER vgl. Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile)

$k={\frac {5}{48}}$

$w=k\cdot l^{2}\cdot \left({\frac {1}{r}}\right)_{m,tot}$

$w={\frac {5}{48}}\cdot 6^{2}\cdot 3,69\cdot 10^{-3}$

${\underline {\underline {w=0,0138m=1,38cm}}}$

Vergleich der direkten Verformungsberechnung mit dem Näherungsverfahren und der numerischen Integration

Auf der Seite zur direkten Verformungsberechung mittels numerischer Integration wird das hier vorgestellte Beispiel mit der numerischen Integration wiederholt.

Quellen

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