Aktuelle Version vom 14. August 2024, 21:23 Uhr

Auf dieser Seite wird die Anwendung des allgemeinen Bemssungsdiagramms an ausgewählten Beispielen dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der Biegebemessung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm; h=75cm) wird durch ein Moment $M_{g k} = 80, 0 k N m$ sowie eine Normalkraft $N_{g k} = 30 k N$ aus ständigen Lasten und ein Moment $M_{q k} = 180, 0 k N m$ sowie eine Normalkraft $N_{q k} = 50 k N$ aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die statische Nutzhöhe beträgt 71cm.

Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.

Beanspruchungen und Festigkeiten

$M_{E d} = γ_{g} \cdot M_{g k} + γ_{q} \cdot M_{q k}$

$M_{E d} = 1, 35 \cdot 80 + 1, 5 \cdot 180 = 378 k N m = 37800 k N c m$

$N_{E d} = γ_{g} \cdot N_{g k} + γ_{q} \cdot N_{q k}$

$N_{E d} = 1, 35 \cdot 30 + 1, 5 \cdot 50 = 115, 5 k N$

Es handelt sich um einen überwiegend biegebanspruchten Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.
$f_{c d} = α_{c c} \cdot \frac{f_{c k}}{γ_{c}} = 0, 85 \cdot \frac{20}{1, 5} = 11, 33 \frac{N}{m m^{2}} = 1, 13 \frac{k N}{c m^{2}}$

$f_{y d} = \frac{f_{y k}}{γ_{s}} = \frac{500}{1, 15} = 435 \frac{N}{m m^{2}} = 43, 5 \frac{k N}{c m^{2}}$

Querschnittswerte

$d = 71 c m$

$z_{s 1} = 33, 5 c m$

Bemessung

$M_{E d s} = M_{E d} - N_{E d} \cdot z_{s 1}$

$M_{E d s} = 37800 - 115, 5 \cdot 33, 5$

$M_{E d s} = 33930, 75 k N c m$

$μ_{E d s} = \frac{M_{E d s}}{b \cdot d^{2} \cdot f_{c d}}$

$μ_{E d s} = \frac{33930, 75}{35 \cdot 7 1^{2} \cdot 1, 13}$

$μ_{E d s} = 0, 17 < 0, 296$

Da $μ_{E d s} < 0, 296$ ist keine Druckbewehrung erforderlich. Mithilfe des bezogenen Moments werden im Folgenden die für die Bemessung relevanten Größen aus dem allgemeinen Bemessungsdiagramm abgelesen.

$ε_{s 1} = 11, 6$ ‰

$ζ = \frac{z}{d} = 0, 9$

$\Rightarrow z = 0, 9 \cdot 71 = 63, 9 c m$

Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der vereinfachten Stahlkennlinie

$ε_{s 1}$ =11,6‰>2,17‰

Da die vorhandene Stahlspannung über der Fließspannung liegt, darf die volle Bemessungszugfestigkeit angesetzt werden.

$σ_{s d} = f_{y d} = 43, 5 \frac{k N}{c m^{2}}$

$A_{s 1} = \frac{1}{σ_{s d}} \cdot (\frac{M_{E d s}}{z} + N_{E d})$

$A_{s 1} = \frac{1}{43, 5} \cdot (\frac{33930, 75}{63, 9} + 115, 5)$

$\underline{\underline{A_{s 1} = 14, 86 c m^{2}}}$

Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der genaueren Stahlkennlinie

Der genauere Wert für $σ_{s d}$ ergibt sich aus den thoretischen Zusammenhängen der Stahlkennlinie mit geneigtem Ast und der abgelesenen Stahldehnung.

$σ_{s d} = 44, 4 \frac{k N}{c m^{2}}$

$A_{s 1} = \frac{1}{σ_{s d}} \cdot (\frac{M_{E d s}}{z} + N_{E d})$

$A_{s 1} = \frac{1}{44, 4} \cdot (\frac{33930, 75}{63, 9} + 115, 5)$

$\underline{\underline{A_{s 1} = 14, 56 c m^{2}}}$

Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.

Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm;h=75cm) wird durch ein Moment $M_{g k} = 160, 0 k N m$ sowie eine Normalkraft $N_{g k} = - 30 k N$ aus ständigen Lasten und ein Moment $M_{q k} = 360, 0 k N m$ sowie eine Normalkraft $N_{q k} = - 50 k N$ aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die statische Nutzhöhe beträgt 71cm.

Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.

Beanspruchungen und Festigkeiten

$M_{E d} = γ_{g} \cdot M_{g k} + γ_{q} \cdot M_{q k}$

$M_{E d} = 1, 35 \cdot 160 + 1, 5 \cdot 360 = 756 k N m = 75600 k N c m$

$N_{E d} = γ_{g} \cdot N_{g k} + γ_{q} \cdot N_{q k}$

$N_{E d} = - 1, 35 \cdot 30 - 1, 5 \cdot 50 = - 115, 5 k N$

Es handelt sich um einen überwiegend biegebanspruchten Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.
$f_{c d} = α_{c c} \cdot \frac{f_{c k}}{γ_{c}} = 0, 85 \cdot \frac{20}{1, 5} = 11, 33 \frac{N}{m m^{2}} = 1, 13 \frac{k N}{c m^{2}}$

$f_{y d} = \frac{f_{y k}}{γ_{s}} = \frac{500}{1, 15} = 435 \frac{N}{m m^{2}} = 43, 5 \frac{k N}{c m^{2}}$

Querschnittswerte

$d = 71 c m$

$z_{s 1} = 33, 5 c m$

$d_{2} = 4 c m$

Bemessung

$M_{E d s} = M_{E d} - N_{E d} \cdot z_{s 1}$

$M_{E d s} = 75600 - (- 115, 5) \cdot 33, 5$

$M_{E d s} = 79469, 25 k N c m$

$μ_{E d s} = \frac{M_{E d s}}{b \cdot d^{2} \cdot f_{c d}}$

$μ_{E d s} = \frac{79469, 25}{35 \cdot 7 1^{2} \cdot 1, 13}$

$μ_{E d s} = 0, 40 > 0, 296$

Da $μ_{E d s} > 0, 296$ ist Druckbewehrung erforderlich.

$l i m μ_{E d s} = 0, 296$

$l i m M_{E d s} = l i m μ_{E d s} \cdot b \cdot d^{2} \cdot f_{c d}$

$l i m M_{E d s} = 0, 296 \cdot 35 \cdot 7 1^{2} \cdot 1, 13$

$l i m M_{E d s} = 59014 k N c m$

$Δ M_{E d s} = M_{E d s} - l i m M_{E d s}$

$Δ M_{E d s} = 79469, 25 - 59014$

$Δ M_{E d s} = 20455 k N c m$

Mithilfe des bezogenen Grenzmoments werden im Folgenden die für die Bemessung relevanten Größen aus dem allgemeinen Bemessungsdiagramm abgelesen. Um den Anforderungen zur Sicherstellung der Duktilität nach DIN EN 1992-1-1^[1] zu entsprechen, wird die bezogene Druckzonenhöhe auf $ξ = 0, 45$ begrenzt.

$\frac{d_{2}}{d} = \frac{4}{71} = 0, 056 \approx 0, 05$

$ε_{s 1} = 4, 2$ ‰

$ε_{s 2} = - 3, 1$ ‰

Da sowohl die Spannung der Zug- und Druckbewehrung über der Fließgrenze liegen, darf jeweils mit der vollen Bemessungszugfestigkeit gerechnet werden.

$σ_{s d} = f_{y d} = 43, 5 \frac{k N}{c m^{2}}$

$σ_{s 2 d} = f_{y d} = 43, 5 \frac{k N}{c m^{2}}$

$ζ = \frac{z}{d} = 0, 825$

$\Rightarrow z = 0, 825 \cdot 71 = 58, 58 c m$

$A_{s 1} = \frac{1}{σ_{s d}} \cdot (\frac{M_{E d s, l i m}}{z} + \frac{Δ M_{E d s}}{d - d_{2}} + N_{E d})$

$A_{s 1} = \frac{1}{43, 5} \cdot (\frac{59014}{58, 58} + \frac{20455}{71 - 4} - 115, 5)$

$\underline{\underline{A_{s 1} = 27, 52 c m^{2}}}$

$A_{s 2} = \frac{1}{σ_{s 2 d}} \cdot \frac{Δ M_{E d s}}{d - d_{2}}$

$A_{s 2} = \frac{1}{43, 5} \cdot \frac{20455}{71 - 4}$

$\underline{\underline{A_{s 2} = 7, 02 c m^{2}}}$

Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.

Seiteninfo

Status: in Bearbeitung

↑ DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013

[Q3-1] DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013

[1]

@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 <math>z_{s1}=33,5cm</math>
 ==Bemessung==
+[[File:Biegebemssung mit dem allgemeinen Bemessungsdiagrmm (Bsp.)1.png|right|thumb|250px| Rot: Ablesung der Dehnung der Zugbewehrung; Blau: Ablesung des bezogenen inneren Hebelarms]]
 <math> M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1} </math>
@@ Zeile 39: / Zeile 40: @@
 <math>\mu_{Eds}=0,17<0,296</math>
-Da <math>\mu_{Eds}<0,296</math> ist keine Druckbewehrung erforderlich.
+Da <math>\mu_{Eds}<0,296</math> ist keine Druckbewehrung erforderlich. Mithilfe des bezogenen Moments werden im Folgenden die für die Bemessung relevanten Größen aus dem allgemeinen Bemessungsdiagramm abgelesen.
-Der Wert für <math>\omega</math> wird aus der Tafel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abgelesen. Die <math>\omega</math>-Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen<ref Name = "Q1">Albert,A., Bautabellen fü Ingenieure, Auflage 26, Bundesanzeigerverlag, 2024</ref> finden.
-<math>\omega=0,1882</math>
+<math>\varepsilon_{s1}=11,6</math>&permil;
+<math>\zeta=\frac{z}{d}=0,9</math>
+<math>\Rightarrow \ z=0,9\cdot71=63,9cm</math>
 ===Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der vereinfachten Stahlkennlinie===
-<math>A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\omega\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math>
+<math>\varepsilon_{s1}</math>=11,6&permil;>2,17&permil;
+Da die vorhandene Stahlspannung über der Fließspannung liegt, darf die volle Bemessungszugfestigkeit angesetzt werden.
+<math>\sigma_{sd}=f_{yd}=43,5\frac{kN}{cm^2}</math>
-<math>A_{s1}=\frac{1}{43,5}\cdot\left(0,1882\cdot 35\cdot 71\cdot 1,13+115,5\right)</math>
+<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds}}{z}+N_{Ed}\right)</math>
-<math>\underline{\underline{A_{s1}=14,8cm^2}}</math>
+<math> A_{s1}=\frac{1}{43,5}\cdot\left(\frac{33930,75}{63,9}+115,5\right)</math>
+<math>\underline{\underline{A_{s1}=14,86cm^2}}</math>
 ===Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der genaueren Stahlkennlinie===
-Der genauere Wert für <math>\sigma_{sd}</math> kann ebenfalls in Abhängigkeit von <math>\mu_{Eds}</math>abgelesen werden.
+Der genauere Wert für <math>\sigma_{sd}</math> ergibt sich aus den thoretischen Zusammenhängen der Stahlkennlinie mit geneigtem Ast und der abgelesenen Stahldehnung.
 <math>\sigma_{sd}=44,4\frac{kN}{cm^2}</math>
-<math>A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\omega\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math>
+<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds}}{z}+N_{Ed}\right)</math>
-<math>A_{s1}=\frac{1}{44,4}\cdot\left(0,1882\cdot 35\cdot 71\cdot 1,13+115,5\right)</math>
+<math> A_{s1}=\frac{1}{44,4}\cdot\left(\frac{33930,75}{63,9}+115,5\right)</math>
-<math>\underline{\underline{A_{s1}=14,5cm^2}}</math>
+<math>\underline{\underline{A_{s1}=14,56cm^2}}</math>
-=Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung=
-Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.
+Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der [[Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität (Bsp.)|Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel]] erläutert.
+=Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung=
 ==Aufgabenstellung==
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 <math>d_2=4cm</math>
 ==Bemessung==
+[[File:Biegebemssung mit dem allgemeinen Bemessungsdiagrmm (Bsp.)2.png|right|thumb|250px| Rot: Ablesung der Dehnung der Zugbewehrung;Grün: Ablesung der Dehnung der Druckbewehrung; Blau: Ablesung des bezogenen inneren Hebelarms]]
 <math> M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1} </math>
@@ Zeile 107: / Zeile 118: @@
 Da <math>\mu_{Eds}>0,296</math> ist Druckbewehrung erforderlich.
-Der Werte für <math>\omega_1</math> und <math>\omega_2</math> werden aus der Tafel für Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung abgelesen. Die <math>\omega</math>-Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen<ref Name = "Q1"></ref> finden. Um den Anforderungen zur Sicherstellung der Duktilität nach DIN EN 1992-1-1<ref Name = "Q3">DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013</ref> zu entsprechen, wird eine Tafel mit <math>\xi=0,45</math> verwendet.
+<math>lim\ \mu_{Eds}=0,296</math>
+<math>lim\ M_{Eds}=lim\ \mu_{Eds}\cdot b\cdot d^2\cdot f_{cd}</math>
+<math>lim\ M_{Eds}=0,296\cdot 35\cdot 71^2\cdot 1,13</math>
+<math>lim\ M_{Eds}=59014kNcm</math>
+<math>\Delta M_{Eds}=M_{Eds}-lim\ M_{Eds}</math>
+<math>\Delta M_{Eds}=79469,25-59014</math>
+<math>\Delta M_{Eds}=20455kNcm</math>
+Mithilfe des bezogenen Grenzmoments werden im Folgenden die für die Bemessung relevanten Größen aus dem allgemeinen Bemessungsdiagramm abgelesen. Um den Anforderungen zur Sicherstellung der Duktilität nach DIN EN 1992-1-1<ref Name = "Q3">DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013</ref> zu entsprechen, wird die bezogene Druckzonenhöhe auf <math>\xi=0,45</math> begrenzt.
 <math>\frac{d_2}{d}=\frac{4}{71}=0,056\thickapprox0,05</math>
-<math>\omega_1=0,474</math>
+<math>\varepsilon_{s1}=4,2</math>&permil;
+<math>\varepsilon_{s2}=-3,1</math>&permil;
+Da sowohl die Spannung der Zug- und Druckbewehrung über der Fließgrenze liegen, darf jeweils mit der vollen Bemessungszugfestigkeit gerechnet werden.
-<math>\omega_2=0,109</math>
+<math>\sigma_{sd}=f_{yd}=43,5\frac{kN}{cm^2}</math>
-<math>A_{s1}=\frac{1}{f{yd}}\cdot\left(\omega_1\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math>
+<math>\sigma_{s2d}=f_{yd}=43,5\frac{kN}{cm^2}</math>
-<math>A_{s1}=\frac{1}{43,5}\cdot\left(0,474\cdot 35\cdot 71\cdot 1,13-115,5\right)</math>
+<math>\zeta=\frac{z}{d}=0,825</math>
-<math>\underline{\underline{A_{s1}=27,94cm^2}}</math>
+<math>\Rightarrow \ z=0,825\cdot71=58,58cm</math>
-<math>A_{s2}=\frac{1}{f_{yd}}\cdot\left(\omega_2\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}\right)</math>
+<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds,lim}}{z}+\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}+N_{Ed}\right)</math>
-<math>A_{s2}=\frac{1}{43,5}\cdot\left(0,109\cdot 35\cdot 71\cdot 1,13\right)</math>
+<math> A_{s1}=\frac{1}{43,5}\cdot\left(\frac{59014}{58,58}+\frac{20455}{71-4}-115,5\right)</math>
-<math>\underline{\underline{A_{s2}=7,04cm^2}}</math>
+<math>\underline{\underline{A_{s1}=27,52cm^2}}</math>
-Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.
+<math> A_{s2}=\frac{1}{\sigma_{s2d}}\cdot\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}</math>
+<math> A_{s2}=\frac{1}{43,5}\cdot\frac{20455}{71-4}</math>
+<math>\underline{\underline{A_{s2}=7,02cm^2}}</math>
+Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der [[Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität (Bsp.)|Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel]] erläutert.
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+[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Biegebemessung mit dem allgemeinen Bemessungsdiagramm (Bsp.): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 14. August 2024, 21:23 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Beanspruchungen und Festigkeiten

Querschnittswerte

Bemessung

Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der vereinfachten Stahlkennlinie

Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der genaueren Stahlkennlinie

Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Beanspruchungen und Festigkeiten

Querschnittswerte

Bemessung

Navigationsmenü

Biegebemessung mit dem allgemeinen Bemessungsdiagramm (Bsp.): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 14. August 2024, 21:23 Uhr

Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Beanspruchungen und Festigkeiten

Querschnittswerte

Bemessung

Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der vereinfachten Stahlkennlinie

Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der genaueren Stahlkennlinie

Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Beanspruchungen und Festigkeiten

Querschnittswerte

Bemessung

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