Verankerung am Kragarmende (Bsp.): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 2. April 2022, 20:34 Uhr

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende

Aufgabenstellung

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Für den dargestellten Träger mit Kragarm ist die Verankerungslänge am Kragarmende zu bestimmen. Gegeben sind folgende Daten:

Beton: $C30/37$
Betondeckung: $c_{nom}=50mm$
Nutzhöhe obere Bewehrungslage: $d=64cm$
Gewählte Bewehrung oben am Kragarmende: $2\emptyset 16$
Druckstrebenneigungswinkel: ${\theta }=18,4$ ° → $cot{\theta }=3,00$

Lösung

Verbundfestigkeit

Bewehrung oben → mäßiger Verbund

→ C30/37 -> $f_{bd}=0,7\cdot 3,0N/mm^{2}=2,1N/mm^{2}=0,21kN/cm^{2}$

Versatzmaß

$z=0,9\cdot d=0,9\cdot 64cm=57,6cm$

Bei seitlich ausgelagerter Bewehrung ist das Versatzmaß um den Abstand $x$ der ausgelagerten Stäbe vom Stegrand zu erhöhen. Dieser Wert beträgt hier $x=10cm$ .

$a_{L}=z\cdot (cot{\theta }+cot{\alpha })/2+x<math>a_{L}=57,6cm\cdot (3,0+0)/2+10cm=96,4cm$

Randzugkraft

Die Randzugkraft wird hier über das Verschieben der Zugkraftlinie um das Versatzmaß

a_{L}

ermittelt. Dazu wird das Moment an der Stelle

x_{0}

berechnet.

$p_{Ed}=1,35\cdot 40kN/m+1,5\cdot 25kN/m=91,5kN/m$

$D_{min}=4\cdot \emptyset _{s}=4\cdot 1,6cm=6,4cm$

$x_{0}=c_{nom}+\emptyset _{s}+D_{min}/2=5,0cm+1,6cm+6,4cm/2=9,8cm$

$M_{Ed,x0}=p_{Ed}\cdot {\frac {(x_{0}+a_{L})^{2}}{2}}=91,5kN/m\cdot {\frac {(0,098m+0,964m)^{2}}{2}}$

$F_{sd}={\frac {M_{Ed,x0}}{z}}={\frac {51,60kN/m}{0,576m}}=89,58kN$

Erforderliche Bewehrung

$A_{s,erf}={\frac {F_{sd}}{f_{yd}}}={\frac {89,58kN}{43,5kN/cm^{2}}}=2,06cm^{2}$

Stahlspannung

Vorhanden: $2\emptyset 16$ → $A_{s,vorh}=4,02cm^{2}$

${\sigma }_{sd}=f_{yd}\cdot {\frac {A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}}=43,5kN/cm^{2}\cdot {\frac {2,06cm^{2}}{4,02cm^{2}}}=22,28kN/cm^{2}$

Grundwert der Verankerungslänge

$l_{b,rqd}={\frac {\emptyset _{s}}{4}}\cdot {\frac {{\sigma }_{sd}}{f_{bd}}}={\frac {1,6cm}{4}}\cdot {\frac {22,28kN/cm^{2}}{0,21kN/cm^{2}}}=42,45cm$

Bemessungswert der Verankerungslänge

$l_{bd}={\alpha }_{1}\cdot {\alpha }_{3}\cdot {\alpha }_{4}\cdot {\alpha }_{5}\cdot l_{b,rqd}$

Formgebung: Gerades Stabende → ${\alpha }_{1}=1,0$

Querbewehrung: Vernachlässigbar → ${\alpha }_{3}=1,0$

Angeschweißte Querstäbe: Keine → ${\alpha }_{4}=1,0$

Querdruck: Nicht vorhanden → ${\alpha }_{5}=1,0$

$l_{bd}=1,0\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 42,45cm=42,45cm$

Mindestverankerungslänge

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}0,3\cdot {\alpha }_{1}\cdot {\alpha }_{4}\cdot {\alpha }_{5}\cdot \left({\frac {\emptyset _{s}}{4}}\cdot {\frac {f_{yd}}{f_{bd}}}\right)\\10\cdot {\alpha }_{5}\cdot \emptyset _{s}\end{matrix}}\right\}$

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}0,3\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot \left({\frac {1,6cm}{4}}\cdot {\frac {43,5kN/cm^{2}}{0,21kN/cm^{2}}}\right)\\10\cdot 1,0\cdot 1,6cm\end{matrix}}\right\}$

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}24,86cm\\16cm\end{matrix}}\right\}$

Nachweis der Verankerungslänge

Als Verankerungslänge soll hier gewählt werden: $l_{b,vorh}=45cm$ .

<math>l_{bd} = 42,45 cm \leq 45,00 cm = l_{b,vorh}

Überprüfung

Der errechnete Wert lässt sich nicht mit Hilfe von Tragwerksplanungsprogrammen überprüfen.

Bild aus Programm einfügen

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 === Randzugkraft ===
+Die Randzugkraft wird hier über das Verschieben der Zugkraftlinie um das Versatzmaß <math>a_L</math> ermittelt. Dazu wird das Moment an der Stelle <math>x_0</math> berechnet.
+<math>p_{Ed} = 1,35 \cdot 40 kN/m + 1,5 \cdot 25 kN/m = 91,5 kN/m</math>
+<math>D_{min} = 4 \cdot \O_s = 4 \cdot 1,6 cm = 6,4 cm</math>
+<math>x_0 = c_{nom} + \O_s + D_{min}/2 = 5,0 cm + 1,6 cm + 6,4 cm / 2 = 9,8 cm</math>
+<math>M_{Ed,x0} = p_{Ed} \cdot \frac{(x_0 + a_L)^2}{2} = 91,5 kN/m \cdot \frac{(0,098 m + 0,964 m)^2}{2}</math>
+<math>F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z} = \frac{51,60 kN/m}{0,576 m} = 89,58 kN</math>
+=== Erforderliche Bewehrung ===
+<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{89,58 kN}{43,5 kN/cm^2} = 2,06 cm^2</math>
+=== Stahlspannung ===
+Vorhanden: <math>2 \O 16</math> → <math>A_{s,vorh} = 4,02 cm^2</math>
+<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5 kN/cm^2 \cdot \frac{2,06 cm^2}{4,02 cm^2} = 22,28 kN/cm^2</math>
+=== Grundwert der Verankerungslänge ===
+<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{22,28 kN/cm^2}{0,21 kN/cm^2} = 42,45 cm</math>
+=== Bemessungswert der Verankerungslänge ===
+<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>
+Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>
+Querbewehrung: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_3 = 1,0</math>
+Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>
+Querdruck: Nicht vorhanden → <math>{\alpha}_5 = 1,0</math>
+<math>l_{bd} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 42,45 cm = 42,45 cm</math>
+=== Mindestverankerungslänge ===
+<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right)  \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>
+<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot  \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,21 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,0 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>
+<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 24,86 cm \\ 16 cm \end{matrix}} \right\} </math>
+=== Nachweis der Verankerungslänge ===
+Als Verankerungslänge soll hier gewählt werden: <math>l_{b,vorh} = 45 cm</math>.
+<math>l_{bd} = 42,45 cm \leq 45,00 cm = l_{b,vorh}
+=== Überprüfung ===
+Der errechnete Wert lässt sich nicht mit Hilfe von Tragwerksplanungsprogrammen überprüfen.
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