Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten

Aufgabenstellung

Für das dargestellte Einzelfundament ist die Verankerungslänge der Biegezugbewehrung zu bestimmen. Gegeben sind folgende Daten:

• Beton C20/25
• Betonstahlstahl B500B
• Betondeckung: $c_{nom}=55mm$
• Gewählte Bewehrung insgesamt in x-Richtung: 16 Ø 16 mm
• Einwirkende Normalkraft: $N_{Ed}=2.100kN$

Verankerung mit geradem Stabende nach EC 2

Verbundfestigkeit

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C20/25 → $f_{bd}=2,32N/m{m}^2=0,32kN/c{m}^2$

Abstand $x$

$x_{min}=\frac{h}{2}=\frac{0,6m}{2}=0,3m$

Sohlspannung

${\sigma }_0=\frac{N_{Ed}}{b_x}=\frac{2.100kN}{3,0m}=700kN/m$

Resultierende der Sohlspannung unter der Verankerungslänge $R$

$R={\sigma }_0\cdot x=700kN/m\cdot 0,3m=210kN$

Hebelarm der Resultierenden

$z_e=\frac{b_x}{2}-\frac{x}{2}=\frac{3,0m}{2}-\frac{0,6m}{2}=1,20m$

$z_i=0,9\cdot d_x=0,9\cdot 0,54m=0,49m$

Zugkraft

$F_{sd}=R\cdot \frac{z_e}{z_i}=210kN\cdot \frac{1,20m}{0,49m}=514,29kN$

Erforderliche Bewehrung

$A_{s,erf}=\frac{F_{sd}}{f_{yd}}=\frac{514,29kN}{43,5kN/c{m}^2}=11,82c{m}^2$

Stahlspannung

Gegeben sind 16 Ø 16 → $A_{s,vorh}=32,16c{m}^2$:

${\sigma }_{sd}=f_{yd}\cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}=43,5kN/c{m}^2\cdot \frac{11,82c{m}^2}{32,16c{m}^2}=15,99kN/c{m}^2$

Grundwert der Verankerungslänge

$l_{b,rqd}=\frac{{\mathrm{\varnothing }}_s}{4}\cdot \frac{{\sigma }_{sd}}{f_{bd}}=\frac{1,6cm}{4}\cdot \frac{15,99kN/c{m}^2}{0,232kN/c{m}^2}=27,57cm$

Ersatzverankerungslänge

$l_{b,eq}={\alpha }_1\cdot {\alpha }_4\cdot {\alpha }_5\cdot l_{b,rqd}$

Formgebung: Gerades Stabende → ${\alpha }_1=1,0$

Angeschweißte Querstäbe: Keine → ${\alpha }_4=1,0$

Querdruck: Vernachlässigbar → ${\alpha }_5=1,0$

$l_{b,eq}=1,0\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 27,57cm=27,57cm$

Mindestverankerungslänge

$l_{b,min}=max\left\{\begin{array}{c}0,3\cdot {\alpha }_1\cdot {\alpha }_4\cdot {\alpha }_5\cdot (\frac{{\mathrm{\varnothing }}_s}{4}\cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}})\\ 10\cdot {\alpha }_5\cdot {\mathrm{\varnothing }}_s\end{array}\right\}$

$l_{b,min}=max\left\{\begin{array}{c}0,3\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot (\frac{1,6cm}{4}\cdot \frac{43,5kN/c{m}^2}{0,232kN/c{m}^2})\\ 10\cdot 1,0\cdot 1,6cm\end{array}\right\}$

$l_{b,min}=max\left\{\begin{array}{c}22,5cm\\ 16cm\end{array}\right\}$

→ $l_{b,eq}=27,57cm$

Nachweis der Verankerungslänge

$l_{b,vorh}=x-c_{nom}=30cm-5,5cm=24,5cm$

$l_{b,eq}=27,57cm\le 24,5cm=l_{b,vorh}$

→ Verankerung mit geradem Stabende nicht möglich.

Verankerung nach allgemeiner Theorie

Versatzmaß

Für Bauteile ohne Querkraftbewehrung gilt nach EC 2 9.2.1.3(2):

$a_L=d=54cm$

Moment am Beginn der Verankerungslänge

Die Verankerungslänge für den Haken beginnt an der Biegung. Der Mindestbiegerollendurchmesser beträgt nach EC 2 Tab. 8.1DE für ${\mathrm{\varnothing }}_s<20mm$ → $D_{min}=4\cdot {\mathrm{\varnothing }}_s$.

$D_{min}=4\cdot {\mathrm{\varnothing }}_s=4\cdot 1,6cm=6,4cm$

$x_0=c_{nom}+{\mathrm{\varnothing }}_s+D_{min}/2=5,5cm+1,6cm+6,4cm/2=10,3cm$

$M_{Ed,x0}=\frac{N_{Ed}}{b_x}\cdot \frac{(x_0+a_L{)}^2}{2}=\frac{2.100kN}{3,0m}\cdot \frac{(0,1m+0,54m{)}^2}{2}=143,36kNm$

Randzugkraft

$F_{sd}=\frac{M_{Ed,x0}}{z}=\frac{143,36kNm}{0,54m}=265,48kN$

Erforderliche Bewehrung

$A_{s,erf}=\frac{F_{sd}}{f_{yd}}=\frac{265,48kN}{43,5kN/c{m}^2}=6,10c{m}^2$

Stahlspannung

Gegeben sind 16 Ø 16 → $A_{s,vorh}=32,16c{m}^2$:

${\sigma }_{sd}=f_{yd}\cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}=43,5kN/c{m}^2\cdot \frac{6,10c{m}^2}{32,16c{m}^2}=8,25kN/c{m}^2$

Grundwert der Verankerungslänge

$l_{b,rqd}=\frac{{\mathrm{\varnothing }}_s}{4}\cdot \frac{{\sigma }_{sd}}{f_{bd}}=\frac{1,6cm}{4}\cdot \frac{8,25kN/c{m}^2}{0,232kN/c{m}^2}=14,23cm$

Bemessungswert der Verankerungslänge

$l_{bd}={\alpha }_1\cdot {\alpha }_3\cdot {\alpha }_4\cdot {\alpha }_5\cdot l_{b,rqd}$

Formgebung: Gerades Stabende → ${\alpha }_1=1,0$

Querbewehrung: Vernachlässigbar → ${\alpha }_3=1,0$

Angeschweißte Querstäbe: Keine → ${\alpha }_4=1,0$

Querdruck: Vernachlässigbar → ${\alpha }_5=1,0$

$l_{bd}=1,0\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 14,23cm=14,23cm$

Mindestverankerungslänge

$l_{b,min}=max\left\{\begin{array}{c}0,3\cdot {\alpha }_1\cdot {\alpha }_4\cdot {\alpha }_5\cdot (\frac{{\mathrm{\varnothing }}_s}{4}\cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}})\\ 10\cdot {\alpha }_5\cdot {\mathrm{\varnothing }}_s\end{array}\right\}$

$l_{b,min}=max\left\{\begin{array}{c}0,3\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot (\frac{1,6cm}{4}\cdot \frac{43,5kN/c{m}^2}{0,232kN/c{m}^2})\\ 10\cdot 1,0\cdot 1,6cm\end{array}\right\}$

$l_{b,min}=max\left\{\begin{array}{c}22,5cm\\ 16cm\end{array}\right\}$

→ $l_{bd}=22,5cm$

Nachweis der Verankerungslänge

Als Länge des geraden Winkelhakenschenkels wird $l=12,5\cdot {\mathrm{\varnothing }}_s$ gewählt.

$l_{b,vorh}=l+{\mathrm{\varnothing }}_s+D_{min}/2=20cm+1,6cm+3,2cm=24,8cm$

$l_{bd}=22,5cm\le 24,8cm=l_{b,vorh}$

→ Nachweis der Verankerung mit Winkelhaken erfüllt.