Biegebemessung (einachsige Biegung): Unterschied zwischen den Versionen

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Ziel der Bemessung bzw. des Nachweises eines überwiegend beanspruchten Bauteils ist nachzuweisen, dass der Querschnitt die äußeren Schnittgrößen (<math>M_{Ed}</math> und <math>N_{Ed}</math>) im Grenzzustand der Tragfähigkeit aufnehmen kann. Bei der Bemessung wird das aufnehmbare Moment durch die Veränderung der Bewehrungsquerschnittsfläche an die vorhandenen äußeren Schnittgrößen angepasst. Beim Nachweis eines biegebeanspruchten Bauteils wird für eine gegebene Bewehrung überprüft, ob die aufnehmbaren Schnittgrößen die einwirkenden Schnittgrößen übersteigt. <br />
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Ziel der Bemessung bzw. des Nachweises eines [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/%C3%9Cberwiegend_biegebeanspruchter_Querschnitt überwiegend beanspruchten Bauteils] ist nachzuweisen, dass der Querschnitt die äußeren Schnittgrößen (<math>M_{Ed}</math> und <math>N_{Ed}</math>) im Grenzzustand der Tragfähigkeit aufnehmen kann. Bei der Bemessung wird das aufnehmbare Moment durch die Veränderung der Bewehrungsquerschnittsfläche an die vorhandenen äußeren Schnittgrößen angepasst. Beim Nachweis eines biegebeanspruchten Bauteils wird für eine gegebene Bewehrung überprüft, ob die aufnehmbaren Schnittgrößen die einwirkenden Schnittgrößen übersteigt. <br />
 
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<math> M_{Ed}\leq M_{Rd} \qquad\qquad N_{Ed}\leq N_{Rd} </math>
 
<math> M_{Ed}\leq M_{Rd} \qquad\qquad N_{Ed}\leq N_{Rd} </math>
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<li>Für die Spannungsdehnungslinie des Betons und der Bewehrung gelten die Zusammenhänge aus Bild … und Bild ….</li>
 
<li>Für die Spannungsdehnungslinie des Betons und der Bewehrung gelten die Zusammenhänge aus Bild … und Bild ….</li>
 
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Die Ermittlung des Bauteilwiderstands erfolgt durch Variation der Dehnungsebenen, bis sich innere und äußere Schnittgrößen im Gleichgewicht befinden. Da dies ein iterativer Prozess ist, der bei einer Handrechnung einen hohen Aufwand bedeutet, werden i.d.R Bemessungshilfsmittel verwendet, diese können gängigen Tabellenwerekn z.B. Schneider Bautabellen<ref Name = "Q4">Albert,A., Bautabellen fü Ingenieure, Auflage 26, Bundesanzeigerverlag, 2024</ref> entnommen werden. Für die Erstellung von Bemessungshilfsmitteln bietet sich die Verwendung von dimensionslosen Beiwerten an.
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Die Ermittlung des Bauteilwiderstands erfolgt durch Variation der Dehnungsebenen, bis sich innere und äußere Schnittgrößen im Gleichgewicht befinden. Da dies ein iterativer Prozess ist, der bei einer Handrechnung einen hohen Aufwand bedeutet, werden i.d.R Bemessungshilfsmittel verwendet, diese können gängigen Tabellenwerekn z.B. Schneider Bautabellen<ref Name = "Q4">Albert,A., Bautabellen fü Ingenieure, Auflage 26, Bundesanzeigerverlag, 2024</ref> entnommen werden. Für die Erstellung von Bemessungshilfsmitteln bietet sich die Verwendung von dimensionslosen Beiwerten an, häufig wird das bezogene Moment <math>\mu_{Eds}</math> als Eingangswert verwendet.
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<math>\mu_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}</math>
  
 
Im Folgenden werden das allgemeine Bemessungsdiagramm, das $\omega$-Verfahren und das $k_d$-Verfahren. Anschließend findet auch noch eine Herleitung der Gleichungen für die Biegebemessung mit einem parabel-rechteckförmigen Spannungsverlauf in der Druckzone (iterative Lösung) und mit dem vereinfachten rechteckförmigen Spannungsblock (geschlossene Lösung) statt.
 
Im Folgenden werden das allgemeine Bemessungsdiagramm, das $\omega$-Verfahren und das $k_d$-Verfahren. Anschließend findet auch noch eine Herleitung der Gleichungen für die Biegebemessung mit einem parabel-rechteckförmigen Spannungsverlauf in der Druckzone (iterative Lösung) und mit dem vereinfachten rechteckförmigen Spannungsblock (geschlossene Lösung) statt.
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==Plattenbalken==
 
==Plattenbalken==
 
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Da bei Plattenbalken nur die stegnahen Bereiche vollständig mitwirken und sich die Platte mit zunehmendem Abstand zum Steg der aufgezwungenen Verformung entzieht, wurde die mitwirkende Plattenbreite eingeführt. In diesem Bereich wird die komplexe Form der Druckverteilung zu einer mit konstantem Verlauf vereinfacht.
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Da bei Plattenbalken nur die stegnahen Bereiche vollständig mitwirken und sich die Platte mit zunehmendem Abstand zum Steg der aufgezwungenen Verformung entzieht, wurde die [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Mitwirkende_Plattenbreite mitwirkende Plattenbreite] eingeführt. In diesem Bereich wird die komplexe Form der Druckverteilung zu einer mit konstantem Verlauf vereinfacht.
 
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Bei der Bemessung von Plattenbalken können abhängig von der Lage der Spannungsnulllinie unterschiedliche Fälle unterschieden werden.
 
Bei der Bemessung von Plattenbalken können abhängig von der Lage der Spannungsnulllinie unterschiedliche Fälle unterschieden werden.
  
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Ist die Druckzonenhöhe kleiner als die Höhe der Platte befindet sich die gesamte Druckzone in der Platte und ist somit rechteckförmig. Die Bemessung kann wie für Rechteckquerschnitte durchgeführt werden, als Querschnittsbreite ist die mitwirkende Plattenbreite anzusetzen.
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Ist die Druckzonenhöhe kleiner als die Höhe der Platte befindet sich die gesamte Druckzone in der Platte und ist somit rechteckförmig (<math> \xi<h_f/d</math>). Die Bemessung kann wie für Rechteckquerschnitte durchgeführt werden, als Querschnittsbreite ist die mitwirkende Plattenbreite anzusetzen.
  
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Übersteigt die Druckzonenhöhe die Plattenhöhe, ist die Druckzone nicht mehr rechteckförmig. Dies muss in der Bemessung berücksichtigt werden. Für diesen Fall stehen gesonderte Bemessungshilfsmittel zur Verfügung.
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Übersteigt die Druckzonenhöhe die Plattenhöhe, ist die Druckzone nicht mehr rechteckförmig (<math> \xi>h_f/d</math>). Dies muss in der Bemessung berücksichtigt werden. Für diesen Fall stehen gesonderte Bemessungshilfsmittel zur Verfügung.
  
 
In Bereichen mit negativen Momenten befindet sich die Druckzone im Steg. Es ergibt sich eine rechteckförmige Druckzone, die Bemessung kann wie für Rechteckquerschnitte durchgeführt werden, als Querschnittsbreite ist die Stegbreite anzusetzen. Wenn bezogene Druckzonenhöhe wie von der Norm gefordert auf 0,45 begrenzt wird, kann der Vergleich der Steghöhe mit der Druckzonenhöhe entfallen, da  Steghöhe in der Regel größer als die Plattenhöhe ist und dadurch von vornherein davon ausgegangen werden kann, dass die Druckzone rechteckförmig ist.
 
In Bereichen mit negativen Momenten befindet sich die Druckzone im Steg. Es ergibt sich eine rechteckförmige Druckzone, die Bemessung kann wie für Rechteckquerschnitte durchgeführt werden, als Querschnittsbreite ist die Stegbreite anzusetzen. Wenn bezogene Druckzonenhöhe wie von der Norm gefordert auf 0,45 begrenzt wird, kann der Vergleich der Steghöhe mit der Druckzonenhöhe entfallen, da  Steghöhe in der Regel größer als die Plattenhöhe ist und dadurch von vornherein davon ausgegangen werden kann, dass die Druckzone rechteckförmig ist.
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==Bemessungshilfsmittel==
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===Allgemeines Bemessungsdiagramm===
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Der Eingangswert für das allgemeine Bemessungsdiagramm ist das bezogene Moment, es handelt sich dementsprechend um eine dimensionsloses Bemessungshilfsmittel. Da alle Eingangswerte dimensionslos sind, kann das $\omega$-Verfahren auch für andere Stähle als B500 verwendet werden, allerdings sind die angegebenen Stahlspannungen dann nicht mehr gültig.
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Bei der Verwendung des allgemeinen Bemessungsdiagramms ist darauf zu achten, dass es unterschiedliche Diagramme für normalfeste und hochfeste Betone gibt.
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Bei diesem Bemessungshilfsmittel ist die Genauigkeit der Bemessungsergebnisse geringer als beim $\omega$- und $k_d$-Verfahren, da die Ablesegenauigkeit beschränkt ist.
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====Rechteckquerschnitt ohne Druckbewehrung====
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Abgelesen werden können die Stahldehnung, die Betonstauchung, die bezogene Druckzonenhöhe und der bezogene Hebelarm der inneren Kräfte.
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Mithilfe der Stahldehnung und den Zusammenhängen aus Bild … lässt sich die Stahlspannung ermitteln. Mit dieser kann in einem nächsten Schritt die erforderliche Bewehrungsmenge ermittelt werden.
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<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds}}{z}+N_{Ed}\right)</math>
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====Rechteckquerschnitt mit Druckbewehrung====
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Verwendet man für die Ermittlung des bezogenen Moments das Grenzmoment, ist auch die Bemessung von Rechteckquerschnitten mit Druckbewehrung möglich. Zusätzlicher Eingagnswert ist das Verhältnis <math>d_2/d</math>, zusätzlicher Ablesewerte ist die Stauchung der Druckbewehrung.
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Die Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsflächen erfolgt mit den folgenden Gleichungen:
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<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds,lim}}{z}+\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}+N_{Ed}\right)</math>
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<math> A_{s2}=\frac{1}{\sigma_{s2d}}\cdot\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}</math>
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===<math>\omega</math>-Verfahren===
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Das <math>\omega</math>-Verfahren stellt die tabellarische Umsetzung des allgemeinen Bemessungsdiagramms dar. Die Ablesewerte können entweder auf der sicheren Seite liegend aufgerundet oder interpoliert werden. Durch die Interpolation werden Ergebnisse werden genauere Ergebnisse im Vergleich zum allgemeinen Bemessungsdiagramm erzielt.
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Der Eingangswert ist das bezogene Moment, es handelt sich dementsprechend um ein dimensionsloses Bemessungshilfsmittel.Da alle Eingangswerte dimensionslos sind, kann das <math>\omega</math>-Verfahren auch für andere Stähle als B500 verwendet werden, allerdings sind die angegebenen Stahlspannungen dann nicht mehr gültig.
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Zusätzlich zu den anderen bezogenen Größen wird der mechanische Bewehrungsgrad <math>\omega</math> eingeführt. Die Ermittlung der Bewehrung erfolgt mithilfe von <math>\omega</math>.
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Bei der Verwendung des <math>\omega</math>-Verfahrens ist darauf zu achten, dass es unterschiedliche Tafeln für normalfeste und hochfeste Betone gibt.
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====Rechteckquerschnitt ohne Druckbewehrung====
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Neben dem mechanischen Bewehrungsgrad können auch die bezogene Betondruckzonenhöhe, der bezogene Hebelarm der inneren Kräfte, die Betonstauchung und die Stahldehnung abgelesen werden. Außerdem können auch die Stahlspannungen abgelesen werden, die sich für einen B500 ergeben. Dabei sind die Stahlspannungen beruhend auf der Spannungs-Dehnungs-Linie mit horizontalem und geneigtem Ast ablesbar.
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<math>A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\omega\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math>
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====Rechteckquerschnitt mit Druckbewehrung====
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Für die Bemessung von Rechteckquerschnitten mit Druckbewehrung stehen gesonderte Bemessungstafeln zur Verfügung. Zusätzliche Eingangswerte sind das Verhältnis <math>d_2/d</math>, die angestrebte bezogene Druckzonenhöhe.
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Außerdem müssen für unterschiedliche Stahlsorten und Teilsicherheitsbeiwerte des Stahls unterschiedliche Tafeln verwendet werden.
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Abgelesen werden können der mechanische Zugbewehrungsgrad und der mechanische Druckbewehrungsgrad, mit welchen die Ermittlung der Querschnittsfläche für Druck- und Zugbewehrung möglich ist.
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<math>A_{s1}=\frac{1}{f{yd}}\cdot\left(\omega_1\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math>
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<math>A_{s2}=\frac{1}{f_{yd}}\cdot\left(\omega_2\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}\right)</math>
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====Plattenbalkenquerschnitte====
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Auch für Plattenbalkenquerschnitte stehen gesonderte Bemessungstafeln zur Verfügung. Diese sind grundsätzlich zu verwendet, wenn die Druckzone des Plattenbalkens nicht rechteckförmig ist, kann aber auch für Plattenbalken mit einer rechteckförmigen Druckzone verwendet werden.
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Für unterschiedliche Stahlsorten und Teilsicherheitsbeiwerte des Stahls müssen unterschiedliche Tafeln verwendet werden. Außerdem wird hier nur der vereinfachte horizontale Verlauf der Spannungs-Dehnungslinie des Stahls verwendet.
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Eingangswerte sind neben dem bezogenen Moment das Verhältnis der Plattenhöhe zur statischen Nutzhöhe und das von mitwirkender Plattenbreite zu Stegbreite. Ablesewert ist der mechanische Bewehrungsgrad <math>\omega</math>.
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Die Anordnung in Druckbewehrung in Plattenbalken kann mit diesem Bemessungshilfsmittel nicht berücksichtigt werden.
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Die Ermittlung der Bewehrung erfolgt wie gewohnt mit <math>\omega</math>. Die für die Bemessung verwendete Querschnittsbreite ist die mitwirkende Plattenbreite.
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<math>A_{s1}=\frac{1}{f{yd}}\cdot\left(\omega_1\cdot b_f\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math>
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===<math>k_d</math>-Verfahren===
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Bei dem <math>k_d</math>-Verfahren handelt es sich um ein dimensionsgebundenes Verfahren, bei der Ermittlung von <math>k_d</math> und <math>A_s1</math> ist daher unbedingt auf die Verwendung der richtigen Einheiten zu achten. Eingangswerte bei Verwendung der Bemessungstafeln ist neben <math>k_d</math> die Betonfestigkeitsklasse.
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<math>k_d=\frac{d[cm]}{\sqrt{\frac{M_{Eds}[kNm]}{b[m]}}}</math>
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Auch hier stehen wieder Bemessungstafeln getrennt für normalfesten und hochfesten Beton zur Verfügung. Diese Tafeln werden ebenfalls für eine bestimmte Stahlsorte und einen bestimmten Teilsicherheitsbeiwert für den Stahl erstellt.
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Die Ablesewerte sind entweder auf der sicheren Seite liegend aufzurunden oder für genauere Ergebnisse zu interpolieren.
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====Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung====
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Abgelesen werden können <math>k_s</math>, die bezogene Druckzonenhöhe, der bezogene Hebelarm der inneren Kräfte sowie die Stauchung des Betons und die Dehnung der Zugbewehrung.
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Die Ermittlung von der Querschnittsfläche der Zugbewehrung erfolgt mithilfe von <math>k_s</math>.
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<math>A_s[cm^2]=k_s\cdot\frac{M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}+\frac{N_{Ed}[kN]}{43,5}</math>
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====Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung====
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Die Bemessung von Rechteckquerschnitten mit Druckbewehrung mit dem <math>k_s</math>-Verfahren ist möglich, hierfür werden die zusätzlichen Beiwerte <math>k_s2</math>,<math>\rho_1</math> und <math>\rho_2</math> eingeführt.
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Zusätzlicher Eingangswert ist die angestrebte bezogene Druckzonenhöhe. Für die Ablesung von <math>\rho_1</math> und <math>\rho_2</math> wird außerdem das Verhältnis von <math>d_2/d</math> benötigt. Die Ablesewerte sind <math>k_{s1}</math>,<math>k_{s2}</math>,<math>\rho_1</math> und <math>\rho_2</math>.
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Die Querschnittsfläche der Zugbewehrung kann mithilfe von <math>k_{s1}</math> und <math>\rho_1</math>, die der Druckbewehrung mithilfe von <math>k_{s2}</math> und <math>\rho_2</math> ermittelt werden.
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<math>A_{s1}[cm^2]=\rho_1\cdot k_{s1}\cdot\frac{M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}+\frac{N_{Ed}[kN]}{43,5}</math>
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<math>A_{s2}[cm^2]=\rho_2\cdot k_{s2}\cdot\frac{M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}</math>
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==Gleichungen für eine Handrechnung bzw. eine computerbasierte Lösung==
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===parabel-rechteck-förmiger Verlauf der Druckspannungen (iterative Lösung)===
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===rechteckförmiger Verlauf der Druckspannungen (geschlossene Lösung)===
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Vorteil der Verwendung des Spannungsblocks für die Bemessung ist, dass eine geschlossene Lösung möglich ist. Hierdurch ist eine einfache Handrechnung ohne Bemessungshilfsmittel möglich ist.
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Für die Verwendung des Spannungsblocks werden folgende Beiwerte eingeführt.
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Die Bemessung kann mit den folgenden Gleichungen erfolgen.
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<math>\mu_{Eds}&=\frac{M_{Eds}}{f_{cd}\cdot d^2\cdot b}</math>
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<math>\xi&=\frac{x\cdot\lambda}{d}=1-\sqrt{1-2\cdot\frac{\mu_{Eds}}{\eta}}</math>
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<math>A_{s}&=\frac{1}{\sigma_s}\cdot\left(\eta\cdot\xi\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math>
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[[Datei:Spannung Beton.PNG]]
 
[[Datei:Spannung Beton.PNG]]

Version vom 10. April 2024, 22:24 Uhr

Ziel der Bemessung bzw. des Nachweises eines überwiegend beanspruchten Bauteils ist nachzuweisen, dass der Querschnitt die äußeren Schnittgrößen (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_{Ed}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N_{Ed}} ) im Grenzzustand der Tragfähigkeit aufnehmen kann. Bei der Bemessung wird das aufnehmbare Moment durch die Veränderung der Bewehrungsquerschnittsfläche an die vorhandenen äußeren Schnittgrößen angepasst. Beim Nachweis eines biegebeanspruchten Bauteils wird für eine gegebene Bewehrung überprüft, ob die aufnehmbaren Schnittgrößen die einwirkenden Schnittgrößen übersteigt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_{Ed}\leq M_{Rd} \qquad\qquad N_{Ed}\leq N_{Rd} }

Tragverhalten

Dehnungsbereiche

Beeinflusst wird die Tragfähigkeit von Biegebauteilen durch die Festigkeiten von Stahl und Beton sowie durch die Querschnittswerte (Breite, Höhe und Form der Druckzone, statische Nutzhöhe, Bewehrungsquerschnittsfläche).

Die Bemessung im Grenzzustand setzt voraus, dass die Bruchdehnung der Bewehrung oder des Betons überschritten wird und dementsprechend ein Stahl- oder Betonversagen eintritt (vgl. Bild… und Bild …). Abhängig von der Beton- und Stahldehnung können dabei fünf Dehnungsbereiche unterschieden werden[1]:

  • Dehnungsbereiche 1: Im gesamten treten ausschließlich Zugdehnungen auf. Die Bewehrung erreicht ihre Bruchdehnung von 25‰, das Versagen findet durch das Versagen der Bewehrung statt. Da vor dem Versagen die Fließgrenze überschritten wird, findet eine Ankündigung des Versagens durch breite Risse statt.

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    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_u>0 }
    wobei:
    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_o } … untere Randspannung
    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_u } … obere Randspannung


  • Dehnungsbereiche 2: Die Grenzdehnung der Zugbewehrung wird erreicht, in der Druckzone sind noch Tragreserven vorhanden. Das Versagen findet durch Versagen der Zugbewehrung mit Vorankündigung statt.

    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_{s1}=\varepsilon_{su} }
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  • Dehnungsbereiche 3: Die Fließgrenze des Stahls wird überschritten, die Bruchdehnung der Bewehrung wird aber nicht erreicht. Die Bruchdehnung der Betondruckzone wird erreicht. Das Versagen findet durch das Versagen der Betondruckzone statt. Trotz des Betonversagens findet eine Versagensankündigung statt, da der Stahl vor dem Bruch plastizieren kann.

    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_{su}>\varepsilon_{s1}>\varepsilon_{y} }
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  • Dehnungsbereiche 4: Der Stahl erreicht die Fließgrenze nicht, die Bruchdehnung des Betons wir überschritten. Die maßgebende Versagensart ist das Betonversagen, da die Stahldehnung unter der Fließgrenze bleibt, findet keine Vorankündigung des Versagens statt. Da wegen der geringen Stahldehnung nicht die volle Zugfestigkeit des Stahls aktiviert wird, ergibt die Bemessung in diesem Bereich große, unwirtschaftliche Bewehrungsquerschnittsflächen.

    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_{y}>\varepsilon_{s1}}
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  • Dehnungsbereiche 5: Im gesamten Querschnitt treten nur Druckbeanspruchungen auf. Das Versagen findet durch Versagen des Betons ohne Vorankündigung statt.

    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_o<0 }
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Für überwiegend biegebeanspruchte Bauteile sind die Dehnungsbereiche 2 bis 4 relevant. Querschnitt im Dehnungsbereich 1 und 5 sind überwiegend längskraftbeansprucht. Bei der Bemessung ist stets ein Versagen mit Vorankündigung anzustreben, die Querschnitte sollten sich dementsprechend in den Dehnungsbereichen 2 oder 3 befinden.

Spannungsdehnungslinie

Unter der Voraussetzung, dass sich der Querschnitt in einem der Dehnungsbereiche 1 bis 3 befindet, kann die Spannungs-Dehnungs-Linie von biegebeanspruchten Stahlbetonbauteilen wie auch die für solche unter Zugbeanspruchung in verschiedene Bereiche bzw. Zustände eingeteilt werden:

  • Zustand I: In diesem Zustand ist der Beton noch ungerissen, die Betonzugfestigkeit wurde noch in keinem Punkt überschritten, er endet mit der erstmaligen Überschreitung der Betonzugfestigkeit und somit mit der Entstehung des Erstrisses. Im Zustand I spielt die Bewehrung, wegen der geringen Dehnung, welche auch nur eine geringe Zugfestigkeit bewirkt, noch keine Rolle. Das Elastizitätsmodul entspricht dem des Betons.
  • Zustand IIa: Dies ist der Bereich, in dem die Rissbildung stattfindet. Er endet, wenn die Rissabstände so gering sind, dass die Zugfestigkeit des Betons zwischen den Rissen nicht mehr überschritten wird. In der Zugzone des Rissquerschnitts beteiligt sich der Beton nicht mehr am Lastabtrag. Die Rissbildung ist mit einem Steifigkeitsabfall verbunden.
  • Zustand IIb: Die Rissbildung ist abgeschlossen, bei zunehmender Stahlspannung treten keine neuen Risse mehr auf. Die mit der zunehmenden Stahlspannung verbundenen Stahldehnungen führen zu einer Verbreiterung der vorhandenen Risse. Zustand II a endet, wenn die Fließgrenze erreicht wird.
  • Zustand III: Der Stahl beginnt nach der Überschreitung der Fließgrenze zu plastizieren. Es findet noch eine leichte Steigerung der Stahlspannungen statt. Zustand III endet mit dem Versagen der Bewehrung oder der Betondruckzone.

Befindet sich der Querschnitt im Dehnungsbereich 4 gelten die gleichen Beziehungen abgesehen davon, dass Zustand III entfällt, da vor der Erreichung der Fließgrenze des Stahls das Betonversagen stattfindet.

Im Zustand I sind die Spannungen noch linear über den Querschnitt verteilt (vgl. Bild…), eine geschlossene Ermittlung der inneren Schnittgrößen ist daher möglich. Im Zustand II und III sind die Spannungen nicht mehr linear über den Querschnitt verteilt; in der Zugzone wird die Betonspannung null, da die Bemessung im Rissquerschnitt stattfindet. Außerdem wird die Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons wegen der höheren Dehnungen nichtlinear[2].

Sicherstellung der Duktilität

Um eine ausreichende Versagensankündigung zu garantieren, ist sicherzustellen, dass die bei der Rissbildung freiwerdenden Zugkräfte durch die Zugbewehrung ohne schlagartiges Versagen aufgenommen werden können. Dies wird durch die Anordnung einer Mindestbewehrung sichergestellt.

Außerdem ist sicherzustellen, dass die Stahldehnung zum Versagenszeitpunkt über der Fließgrenze liegt. Hierfür ist die Druckzonenhöhe zu begrenzen. Wenn die Betonstauchung am oberen Rand der Bruchstauchung des Betons entspricht, findet eine Erhöhung der aufnehmbaren Betondruckkraft nur noch durch die Vergrößerung der Druckzone statt[2], hierdurch sinkt der Hebelarm der inneren Kräfte. Aufgrund der linearen Dehnungsverteilung über die Querschnittshöhe nimmt außerdem mit steigender Druckzonenhöhe x die Dehnung der Zugbewehrung ab. Wenn die Stahldehnung der Zugbewehrung dabei unter die Fließgrenze fällt, kommt es zu unwirtschaftlichen Bemessungsergebnissen und zu einem Versagen ohne Vorankündigung.

Der theoretische Wert der bezogenen Druckzonenhöhe, bei dem die Dehnung der Zugbewehrung die Fließgrenze noch geradeso erreicht, beträgt x/d=0,617. Gemäß DIN EN 1992-1-1/NA 5.4[3] sollte x/d für normalfeste Beton kleiner als 0,45 und für hochfeste Betone kleiner als 0,35 sein.

Um die bezogene Druckzonenhöhe zu begrenzen, gibt es zwei Möglichkeiten. Die erste Möglichkeit ist eine Verbreiterung der Druckzone (vgl. Plattenbalken), die zweite die Anordnung einer Druckbewehrung (vgl. Druckbewehrung).

Bemessung

Die Biegebemessung erfolgt für Bauteile im Zustand II im Rissquerschnitt. Eine geschlossene Lösung ist wegen der Nichtlinearität im Zustand II nicht mehr möglich. Aus demselben Grund ist auch die getrennte Bemessung für Normalkraft und Momente ausgeschlossen, da die Superposition der Auswirkung beider Lastfälle nicht mehr möglich ist[2].

Vorbemessung

äußere Schnittgrößen

In der Regel ist es sinnvoll die äußeren Schnittgrößen auf die Schwerelinie der Bewehrung zu beziehen. Verschiebt man die Normalkraft für die Bemessung auf die Schwerelinie der Bewehrung, ist dies auch beim einwirkdenden Moment zu berücksichtigen.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1} }

wobei:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_{s1} } … Abstand der Schwerelinie der Zugbewehrung zur Schwerelinie des Querschnitts

Grundsätzliche Annahmen

Die folgenden Voraussetzungen werden der Biegebemessung zugrunde gelegt[4]:

  • Die Hypothese von Bernoulli gilt, d.h. dass die angenommen wird, dass die Dehnungen linear über den Querschnitt verteilt sind (Ebenbleiben der Querschnitte). Diese Annahme gilt für schlanke ist für schlanke Bauteile erfüllt (l/h$\geq$2 bzw. für Kragträger $l_k\geq1$), nicht erfüllt ist sie in Bereichen mit konzentrierter Lasteinleitung (z. B. unter Einzellasten oder im Auflagerbereich). Für Bereiche in denen nicht davon ausgegangen werden kann, dass die Dehnungen linear über den Querschnitt verteilt sind, müssen andere Bemessungsverfahren verwendet werden z.B. Stabwerkmodelle.
  • Die Zugfestigkeit des Betons wird in der Bemessung nicht angesetzt, die Bemessung erfolgt im Rissquerschnitt.
  • Zwischen der Bewehrung und dem Beton wird starrer Verbund vorausgesetzt, d.h. die Dehnung der Bewehrung entspricht der der angrenzenden Betonfaser.
  • Für die Spannungsdehnungslinie des Betons und der Bewehrung gelten die Zusammenhänge aus Bild … und Bild ….

Die Ermittlung des Bauteilwiderstands erfolgt durch Variation der Dehnungsebenen, bis sich innere und äußere Schnittgrößen im Gleichgewicht befinden. Da dies ein iterativer Prozess ist, der bei einer Handrechnung einen hohen Aufwand bedeutet, werden i.d.R Bemessungshilfsmittel verwendet, diese können gängigen Tabellenwerekn z.B. Schneider Bautabellen[5] entnommen werden. Für die Erstellung von Bemessungshilfsmitteln bietet sich die Verwendung von dimensionslosen Beiwerten an, häufig wird das bezogene Moment Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_{Eds}} als Eingangswert verwendet.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}}

Im Folgenden werden das allgemeine Bemessungsdiagramm, das $\omega$-Verfahren und das $k_d$-Verfahren. Anschließend findet auch noch eine Herleitung der Gleichungen für die Biegebemessung mit einem parabel-rechteckförmigen Spannungsverlauf in der Druckzone (iterative Lösung) und mit dem vereinfachten rechteckförmigen Spannungsblock (geschlossene Lösung) statt.

Druckbewehrung

Durch die Anordnung einer Druckbewehrung wird die Betondruckzone entlastet und die Druckzonenhöhe reduziert bzw. nicht mehr gesteigert. In der Regel kann bei der Bemessung trotz der Druckbewehrung mit der Bruttofläche der Betondruckzone gerechnet werden, da die Unterschiede im Vergleich zur Bemessung mit der Nettofläche gering sind[2].

Für Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung stehen ebenfalls Bemessungshilfsmittel zur Verfügung[5]. Es können auch die Bemessungshilfsmittel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung verwendet werden, dabei ist dann das einwirkende Moment aufzuteilen (vgl. Bild …).

Zunächst läuft die Biegebemessung wie gewohnt ab. Als bezogenes Moment wird das verwendet, bei dem die angestrebte bezogene Druckzonenhöhe erreicht wird (z.B Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_{Eds}=0,296} für x/d=0,45).

Mithilfe des bezogenen Moments kann das aufnehmbare Moment der so ermittelten Zugbewehrung berechnet werden. Dieses Moment wird im weiteren als Grenzmoment bezeichnet.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle lim\ M_{Eds}=lim\ \mu_{Eds}\cdot b^2\cdot d^2\cdot f_{cd}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{s1,lim\ M}=\frac{1}{f_{yd}}\cdot\left(\frac{lim\ M_{Eds}}{z}+N_{Ed}\right)}

Die Differenz zwischen Gesamtmoment und Grenzmoment muss durch weitere Zugbewehrung und Druckbewehrung aufgenommen werden.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta M_{Eds}=M_{Eds}-lim\ M_{Eds}}

Da dieser Momentenanteil nur durch die Druckbewehrung und die zusätzliche Zugbewehrung aufgenommen wird, liegen für diesen Momentenanteil wieder lineare Dehnungsverhältnisse vor und die erforderliche Bewehrung lässt sich mithilfe der folgenden Gleichung ermitteln.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{s1,\Delta M}=\frac{1}{f_{yd}}\cdot\left(\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}\right)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{s2}=\frac{1}{\sigma_{s2}}\cdot\left(\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}\right)}

Die gesamte Querschnittsfläche der Zugbewehrung ergibt sich durch die Addition beider Anteile, die Querschnittsfläche der Druckbewehrung entspricht der für den zweiten Momentenanteil.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{s1}=A_{s1,lim\ M}+A_{s1,\Delta M}}

Um ein frühzeitiges Ausknicken der Druckbewehrung zu vermeiden, ist diese ausreichend zu umbüglen (vgl. DIN EN 1992-1-1 9.1.2.1[5]). In der Regel ist durch die ohnehin erforderliche Druckbewehrung eine ausreichende Umbügelung gegeben.

Plattenbalken

Da bei Plattenbalken nur die stegnahen Bereiche vollständig mitwirken und sich die Platte mit zunehmendem Abstand zum Steg der aufgezwungenen Verformung entzieht, wurde die mitwirkende Plattenbreite eingeführt. In diesem Bereich wird die komplexe Form der Druckverteilung zu einer mit konstantem Verlauf vereinfacht.

Bei der Bemessung von Plattenbalken können abhängig von der Lage der Spannungsnulllinie unterschiedliche Fälle unterschieden werden.

Ist die Druckzonenhöhe kleiner als die Höhe der Platte befindet sich die gesamte Druckzone in der Platte und ist somit rechteckförmig (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi<h_f/d} ). Die Bemessung kann wie für Rechteckquerschnitte durchgeführt werden, als Querschnittsbreite ist die mitwirkende Plattenbreite anzusetzen.

Übersteigt die Druckzonenhöhe die Plattenhöhe, ist die Druckzone nicht mehr rechteckförmig (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi>h_f/d} ). Dies muss in der Bemessung berücksichtigt werden. Für diesen Fall stehen gesonderte Bemessungshilfsmittel zur Verfügung.

In Bereichen mit negativen Momenten befindet sich die Druckzone im Steg. Es ergibt sich eine rechteckförmige Druckzone, die Bemessung kann wie für Rechteckquerschnitte durchgeführt werden, als Querschnittsbreite ist die Stegbreite anzusetzen. Wenn bezogene Druckzonenhöhe wie von der Norm gefordert auf 0,45 begrenzt wird, kann der Vergleich der Steghöhe mit der Druckzonenhöhe entfallen, da Steghöhe in der Regel größer als die Plattenhöhe ist und dadurch von vornherein davon ausgegangen werden kann, dass die Druckzone rechteckförmig ist.

Bemessungshilfsmittel

Allgemeines Bemessungsdiagramm

Der Eingangswert für das allgemeine Bemessungsdiagramm ist das bezogene Moment, es handelt sich dementsprechend um eine dimensionsloses Bemessungshilfsmittel. Da alle Eingangswerte dimensionslos sind, kann das $\omega$-Verfahren auch für andere Stähle als B500 verwendet werden, allerdings sind die angegebenen Stahlspannungen dann nicht mehr gültig.

Bei der Verwendung des allgemeinen Bemessungsdiagramms ist darauf zu achten, dass es unterschiedliche Diagramme für normalfeste und hochfeste Betone gibt.

Bei diesem Bemessungshilfsmittel ist die Genauigkeit der Bemessungsergebnisse geringer als beim $\omega$- und $k_d$-Verfahren, da die Ablesegenauigkeit beschränkt ist.

Rechteckquerschnitt ohne Druckbewehrung

Abgelesen werden können die Stahldehnung, die Betonstauchung, die bezogene Druckzonenhöhe und der bezogene Hebelarm der inneren Kräfte.

Mithilfe der Stahldehnung und den Zusammenhängen aus Bild … lässt sich die Stahlspannung ermitteln. Mit dieser kann in einem nächsten Schritt die erforderliche Bewehrungsmenge ermittelt werden.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds}}{z}+N_{Ed}\right)}

Rechteckquerschnitt mit Druckbewehrung

Verwendet man für die Ermittlung des bezogenen Moments das Grenzmoment, ist auch die Bemessung von Rechteckquerschnitten mit Druckbewehrung möglich. Zusätzlicher Eingagnswert ist das Verhältnis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_2/d} , zusätzlicher Ablesewerte ist die Stauchung der Druckbewehrung.

Die Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsflächen erfolgt mit den folgenden Gleichungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds,lim}}{z}+\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}+N_{Ed}\right)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{s2}=\frac{1}{\sigma_{s2d}}\cdot\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} -Verfahren

Das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} -Verfahren stellt die tabellarische Umsetzung des allgemeinen Bemessungsdiagramms dar. Die Ablesewerte können entweder auf der sicheren Seite liegend aufgerundet oder interpoliert werden. Durch die Interpolation werden Ergebnisse werden genauere Ergebnisse im Vergleich zum allgemeinen Bemessungsdiagramm erzielt.

Der Eingangswert ist das bezogene Moment, es handelt sich dementsprechend um ein dimensionsloses Bemessungshilfsmittel.Da alle Eingangswerte dimensionslos sind, kann das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} -Verfahren auch für andere Stähle als B500 verwendet werden, allerdings sind die angegebenen Stahlspannungen dann nicht mehr gültig.

Zusätzlich zu den anderen bezogenen Größen wird der mechanische Bewehrungsgrad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} eingeführt. Die Ermittlung der Bewehrung erfolgt mithilfe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} .

Bei der Verwendung des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} -Verfahrens ist darauf zu achten, dass es unterschiedliche Tafeln für normalfeste und hochfeste Betone gibt.

Rechteckquerschnitt ohne Druckbewehrung

Neben dem mechanischen Bewehrungsgrad können auch die bezogene Betondruckzonenhöhe, der bezogene Hebelarm der inneren Kräfte, die Betonstauchung und die Stahldehnung abgelesen werden. Außerdem können auch die Stahlspannungen abgelesen werden, die sich für einen B500 ergeben. Dabei sind die Stahlspannungen beruhend auf der Spannungs-Dehnungs-Linie mit horizontalem und geneigtem Ast ablesbar.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\omega\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)}

Rechteckquerschnitt mit Druckbewehrung

Für die Bemessung von Rechteckquerschnitten mit Druckbewehrung stehen gesonderte Bemessungstafeln zur Verfügung. Zusätzliche Eingangswerte sind das Verhältnis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_2/d} , die angestrebte bezogene Druckzonenhöhe.

Außerdem müssen für unterschiedliche Stahlsorten und Teilsicherheitsbeiwerte des Stahls unterschiedliche Tafeln verwendet werden.

Abgelesen werden können der mechanische Zugbewehrungsgrad und der mechanische Druckbewehrungsgrad, mit welchen die Ermittlung der Querschnittsfläche für Druck- und Zugbewehrung möglich ist.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{s1}=\frac{1}{f{yd}}\cdot\left(\omega_1\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{s2}=\frac{1}{f_{yd}}\cdot\left(\omega_2\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}\right)}

Plattenbalkenquerschnitte

Auch für Plattenbalkenquerschnitte stehen gesonderte Bemessungstafeln zur Verfügung. Diese sind grundsätzlich zu verwendet, wenn die Druckzone des Plattenbalkens nicht rechteckförmig ist, kann aber auch für Plattenbalken mit einer rechteckförmigen Druckzone verwendet werden.

Für unterschiedliche Stahlsorten und Teilsicherheitsbeiwerte des Stahls müssen unterschiedliche Tafeln verwendet werden. Außerdem wird hier nur der vereinfachte horizontale Verlauf der Spannungs-Dehnungslinie des Stahls verwendet.

Eingangswerte sind neben dem bezogenen Moment das Verhältnis der Plattenhöhe zur statischen Nutzhöhe und das von mitwirkender Plattenbreite zu Stegbreite. Ablesewert ist der mechanische Bewehrungsgrad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} .

Die Anordnung in Druckbewehrung in Plattenbalken kann mit diesem Bemessungshilfsmittel nicht berücksichtigt werden.

Die Ermittlung der Bewehrung erfolgt wie gewohnt mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} . Die für die Bemessung verwendete Querschnittsbreite ist die mitwirkende Plattenbreite.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{s1}=\frac{1}{f{yd}}\cdot\left(\omega_1\cdot b_f\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_d} -Verfahren

Bei dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_d} -Verfahren handelt es sich um ein dimensionsgebundenes Verfahren, bei der Ermittlung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_d} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_s1} ist daher unbedingt auf die Verwendung der richtigen Einheiten zu achten. Eingangswerte bei Verwendung der Bemessungstafeln ist neben die Betonfestigkeitsklasse.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_d=\frac{d[cm]}{\sqrt{\frac{M_{Eds}[kNm]}{b[m]}}}}

Auch hier stehen wieder Bemessungstafeln getrennt für normalfesten und hochfesten Beton zur Verfügung. Diese Tafeln werden ebenfalls für eine bestimmte Stahlsorte und einen bestimmten Teilsicherheitsbeiwert für den Stahl erstellt.

Die Ablesewerte sind entweder auf der sicheren Seite liegend aufzurunden oder für genauere Ergebnisse zu interpolieren.

Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung

Abgelesen werden können Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_s} , die bezogene Druckzonenhöhe, der bezogene Hebelarm der inneren Kräfte sowie die Stauchung des Betons und die Dehnung der Zugbewehrung.

Die Ermittlung von der Querschnittsfläche der Zugbewehrung erfolgt mithilfe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_s} .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_s[cm^2]=k_s\cdot\frac{M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}+\frac{N_{Ed}[kN]}{43,5}}

Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung

Die Bemessung von Rechteckquerschnitten mit Druckbewehrung mit dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_s} -Verfahren ist möglich, hierfür werden die zusätzlichen Beiwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_s2} ,Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_2} eingeführt.

Zusätzlicher Eingangswert ist die angestrebte bezogene Druckzonenhöhe. Für die Ablesung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_2} wird außerdem das Verhältnis von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_2/d} benötigt. Die Ablesewerte sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_{s1}} ,Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_{s2}} , und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_2} .

Die Querschnittsfläche der Zugbewehrung kann mithilfe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_{s1}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_1} , die der Druckbewehrung mithilfe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_{s2}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_2} ermittelt werden.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{s1}[cm^2]=\rho_1\cdot k_{s1}\cdot\frac{M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}+\frac{N_{Ed}[kN]}{43,5}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{s2}[cm^2]=\rho_2\cdot k_{s2}\cdot\frac{M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}}

Gleichungen für eine Handrechnung bzw. eine computerbasierte Lösung

parabel-rechteck-förmiger Verlauf der Druckspannungen (iterative Lösung)

rechteckförmiger Verlauf der Druckspannungen (geschlossene Lösung)

Vorteil der Verwendung des Spannungsblocks für die Bemessung ist, dass eine geschlossene Lösung möglich ist. Hierdurch ist eine einfache Handrechnung ohne Bemessungshilfsmittel möglich ist.

Für die Verwendung des Spannungsblocks werden folgende Beiwerte eingeführt.

Die Bemessung kann mit den folgenden Gleichungen erfolgen.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_{Eds}&=\frac{M_{Eds}}{f_{cd}\cdot d^2\cdot b}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi&=\frac{x\cdot\lambda}{d}=1-\sqrt{1-2\cdot\frac{\mu_{Eds}}{\eta}}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{s}&=\frac{1}{\sigma_s}\cdot\left(\eta\cdot\xi\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)}


Spannung Beton.PNG Spannung Stahl.PNG Dehnungsverteilung Stahlbeton.PNG Beiwerte.PNG Dimensionslos.PNG Dimensionsgebunden.PNG

Quellen

  1. ↑ Wommelsdorff,O., Albert,A., Fischer,J., Stahlbetonbau-Bemessung und Konstruktion Teil 1, 11. Auflage, Köln: Bundesanzeiger Verlag, 2017
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 Zilch,K., Zehetmaier,G., Bemessung im konstruktiven Betonbau, 2. Auflage, Berlin/Heidelberg: Springer Verlag, 2006
  3. ↑ DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013
  4. ↑ DIN EN 1992-1-1, Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2011
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 Albert,A., Bautabellen fü Ingenieure, Auflage 26, Bundesanzeigerverlag, 2024
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