Verformungsnachweis - direkte Berechnung

Im Rahmen der Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit ist auch ein Verformungsnachweis zu führen. Dieser kann indirekt über die Biegeschlankheit geführt werden oder über eine direkte Verformungsberechnung. Die direkte Verformungsberechnung ist zwar aufwendiger, ergibt im Vergleich zum indirekten Verformungsnachweis aber genauere Ergebnisse. Auf dieser Seite werden die Einflüsse auf die Verformungen sowie Möglichkeiten der Berechnung von Verformungen vorgestellt.

Allgemeines

Die direkte Verformungsberechnung kann vor allem unter folgenden Bedingungen sinnvoll sein: +schlanke bzw. schwingungsanfällige Bauteile +hoch ausgenutzte Bauteile

• Decken mit hohen Einzellasten bei gleichzeitiger flächiger Verkehrslast
• Bauteile bei denen Verformungen zum Verlust der Funktionsfähigkeit führen können (z.B. Bauteile unter Maschinen, Flachdächer (Entwässerung))
• Bauteile deren Verformungen Schäden an angrenzenden Bauteilen hervorrufen können (z.B. Risse in Wänden auf dem Bauteil, Schäden Glasfassaden bzw. Schaufenstern)

Im Folgenden wird das numerische Verfahren und das Näherungsverfahren näher erläutert, anschließend wird auf die Durchbiegungsberechnung bei statisch unbestimmten Systemen eingegangen. Alle vorgestellten Verfahren sind gemäß EC 2 zulässig für die direkte Verformungsberechnung.

Materialkennwerte

Die Genauigkeit der verwendeten Werkstoffmodelle ist der Genauigkeit der Verformungsberechnung anzupassen. Wird ein genaues Berechnungsmodell verwendet aber die Werkstoffeigenschaften nicht realitätsnah genug beschrieben, entsteht ein hoher Aufwand für ein weniger genaues Ergebnis.

Für das Elastizitätsmodul und die Festigkeitswerte von Beton sind Mittelwerte zu verwenden. Im Bereich von sigma_c<0,4 f_ck kann davon ausgegangen werden, dass sich der Beton linear-elastisch verhält. Da im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit i.d.R. davon ausgegangen werden kann, dass diese Grenze nicht überschritten wird, kann ein linear-elastisches Tragverhalten für den Beton angenommen werden.

Für den Stahl darf eine bilinearen Spannungsdehnungslinie angenommen werden.

Grundlagen

Steifigkeit

Die Verformungen von Stahlbetonbauteilen sind maßgeblich von der Steifigkeit abhängig. Nimmt die Steifigkeit ab, nehmen die Verformungen zu. Diese wird stark vom Stand der Rissbildung abhängig, im Rahmen des Rissbildungsprozesses kommt es zum Abfall der Steifigkeit. Die Steifigkeit eines Bauteils im Zustand II (abgeschlossene Rissbildung) ist geringer als im Zustand I (umgerissen). Näheres zum Prozess der Rissbildung kann der Seite zur Biegebemessung entnommen werden.

Tabelle: Formeln zur Ermittlung der Querschnittswerte im Zustand I und II für bewehrte Betonquerschnitte mit Zugbewehrung

Prinzipdarstellung: Vergleich der wirkenden Belastung und des Rissmomentes zur Beurteilung des Zustandwechsels

Die Verformungsberechnung von Stahlbetonbauteilen wird dadurch erschwert, dass sich nicht das ganze Bauteil im Zustand I bzw. II befindet, sodass die Steifigkeiten abschnittsweise differieren. Vereinfachend wird in der Durchbiegungsberechnung bei der Ermittlung der Steifigkeiten nur zwischen dem umgerissenen und dem vollständig gerissenen Zustand unterschieden. Die Steifigkeit während des Rissbildungsprozesses wird vernachlässigt.

Im Rahmen der Verformungsberechnung wird nur die Steifigkeit für den ungerissenen und den vollständig gerissenen Querschnitt berechnet . Durch die Vernachlässigung des Rissbildungsprozesses bei der Berechnung kommt es an der Grenze zwischen dem Bereich im Zustand I und dem im Zustand II zu einem sprunghaften Abfall der Steifigkeit; würde er berücksichtigt werden, fände der Abfall der Steifigkeit kontinuirlich statt. Vernachlässigt man den Rissbildungsprozess wird die Steifigkeit unterschätzt, sodass die Vernachlässigung auf der sichern Seite liegende Ergebnisse ergibt.

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wobei:

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$\alpha _{II}$ …	untersuchter Dehnungsparameter im Zustand II
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Für ungerissene Querschnitte ist der Verteilungsbeiwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \zeta=0} ; für gerissene Querschnitte ergibt er sich nach folgender Gleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{\sigma_{sr}}{\sigma_s}\right)^2}

wobei:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta} …	Koeffizient zur Berücksichtigung der Belastungsdauer und der Lastwiederholungen (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=0} bei Kurzzeitbelastung; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=0,5} bei Langzeitbelastung oder vielen Zyklen wiederholender Belastung)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_{sr} } …	die Spannung in der Zugbewehrung bei Annahme eines gerissenen Querschnitts unter einer Einwirkungskombination, die zur Erstrissbildung führt
$\sigma _{s}$ …	die Spannung in der Zugbewehrung bei Annahme eines gerissenen Querschnitts (Spannung im Riss)

Eine Zusammenfassung der Querschnittswerte für den Zustand I und Zustand II lässt sich der Literatur entnehmen .

Zusammenhang Belastung - Steifigkeit - Krümmung

Gemäß den allgemeinen Zusammenhängen der Mechanik sind die Krümmung abhängig von der Belastung und der Steifigkeit:

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Die Durchbiegung ergibt sich durch zweifache Integration der Krümmung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w(x) = \int_{}^{} \int_{}^{} \frac{M(x)}{EI(x)}dx}

Die Durchbiegung ist dementsprechend abhängig von der Systemlänge, der Bealstung und der Steifigkeit. Unter Annahme eines zum Krümmungsverlauf affinen Momentenverlaufes lässt sich das Doppelintegral der Krümmung unter zur Hilfenahme des Prinzips der virtuellen Kräfte zu folgendem Ausdruck umstellen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w(x) = \int_{}^{} \frac{\overline{M}(x) \cdot M(x)}{EI(x)}dx = \int_{}^{}(\overline{M}(x) \cdot \kappa) dx \approx k \cdot \kappa \cdot l^{2} = w(l/2)}

$k$ beschreibt dabei einen Beiwert zur Beachtung des Momentenverlaufs und lässt sich herleiten aus den Integraltafeln oder aus der Literatur direkt entnehmen.

Einflüsse auf die Verformung

Im Folgenden wird auf die wichtigsten Einflussfaktoren für die Verformungen eingegangen:

Material

Die Verformung wird maßgeblich durch die Festigkeit und die zeitlich veränderlichen Eigenschaften (z.B. Kriechen und Schwinden) der verwendeten Materialien beeinflusst. Der Einfluss des Betons ist hierbei bedeutender als der der Bewehrung. Von der Zugfestigkeit des Betons ist abhängig, wann das Bauteil in den Zustand II übergeht. Je größer die Zugfestigkeit des Betons ist, desto kleiner ist der Bereich des Bauteils, der sich im Zustand II befindet und desto kleiner ist die Verformung. Auf den Einfluss von Kriechen und Schwinden wird in separaten Abschnitten eingegangen.

Bauteilgeometrie

Die Größe der auftretenden Verformung ist maßgeblich abhängig von den Flächenträgheitsmomenten und somit auch von der Bauteilhöhe und Breite. Mit steigender Bauteilhöhe und Bauteilbreite nehmen die Verformungen ab. Der Einfluss der Bauteilbreite ist dabei geringer als der der Höhe. Dies lässt sich auch an der Gleichung für die Ermittlung des Flächenträgheitsmoments deutlich erkennen.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_y=\frac{b\cdot h^3}{12}}

wobei:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b } …	Breite
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h } …	Höhe

Mit zunehmender Systemlänge nehmen die Verformungen zu.

Bewehrungslage/-menge

Auch die Lage und Menge der Bewehrung hat einen Einfluss auf das Flächenträgheitsmoment und somit auf die Verformungen. Je größer der Abstand der Bewehrung vomSchwerpunkt ist und je mehr Bewehrung vorhanden ist, desto größer wird das Flächenträgheitsmoment. Der Einfluss der Bewehrung auf die Bauteilsteifigkeit spielt allerdings erst im Zustand II eine größere Rolle, im Zustand I ist ihr Einfluss unbedeutend gering.

Belastung

Mit steigender Belastung vergrößert sich der Bereich im Zustand II befindet, sodass die Steifigkeit abnimmt und die Verformungen zunehmen.

Belastungsgeschichte

Wenn ein Bauteil einmal in den gerissenen Zustand übergegangen ist, nimmt die Steifigkeit irreversibel ab. Sinkt die Last wieder unter die Last, bei der es zur Rissbildung kommt, nimmt die Steifigkeit nicht wieder zu. Wenn das Bauteil planmäßig Lasten ausgesetzt ist, welche zur Rissbildung führen oder wenn dies nicht ausgeschlossen werden kann, ist diesem Umstand bei der Verformungsberechnung durch Vergrößerung des Bereichs im Zustand II Rechnung zu tragen, auch wenn unter den Lasten, die der Berechnung zu Grunde liegen keine Risse entstehen.

Kriechen

Unter Kriechen versteht man die zeitabhängige Verformungszunahme unter konstanter Belastung. Auf die Grundlagen für und die Einflüsse auf das Kriechen wird auf einer gesonderten Seite eingegangen. Allgemein lässt sich feststellen, dass je größer der Kriecheinfluss ist, desto mehr nehmen die Verformungen zu. Berücksichtigt werden kann der Kriecheinfluss durch die Abminderung des Elastizitätsmoduls mithilfe der Kriechzahl.

Schwinden

Auch für nähere Informationen zum Schwinden steht eine gesonderte Seite zur Verfügung. Der Einfluss des Schwindens auf die Verformungen resultiert aus der unterschiedlich stark behinderten Schwindverformung durch die Bewehrung über die Querschnittshöhe. Im Zugbereich wird die Schwindverformung durch die Zugbewehrung behindert. Ist im Druckbereich keine oder nur wenig Bewehrung vorhanden, finden die Schwindverformungen ungehindert statt. Durch die unterschiedlichen Dehnungen an Bauteilober- und -unterseite entsteht eine Krümmung und infolgedessen eine Durchbiegung. Die größere Krümmung wird rechnerisch durch einen zusätzlichen Krümmungsanteil berücksichtigt.

Temperatur

Die Temperatur teilt sich in einen konstanten und einen linearen Anteil auf. Der konstante Anteil führt zu einer konstanten Verformung (statisch bestimmte Systeme) bzw. Spannung (statisch unbestimmte Systeme) über die Querschnittshöhe. Der lineare Temperaturanteil entsteht, wenn eine Seite wärmer bzw. kälter ist als die andere, hieraus resultiert eine veränderliche Dehnung über die Querschnittshöhe und somit zu einer Krümmung. Wegen des allgemeinen Zusammenhangs von Krümmung und Durchbiegung, entsteht infolgedessen auch eine Durchbiegung.

Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

Zwischen den Rissen werden die Zugkräfte aus dem Beton wieder in den Beton übertragen, wodurch die Stahldehnung abnimmt. Wird die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen nicht berücksichtigt, wird die Verformung überschätzt, da die Krümmung überschätzt wird. Berücksichtigt werden kann sie über den Verteilungsbeiwert.

Statisch bestimmte Systeme

Die Schnittgrößenermittlung statisch bestimmter Systeme ist vereinfacht durch die Annahme, dass die Steifigkeit eines Bauteils konstant ist. Die Differenzierung nach Zustand I und Zustand II findet aufgrund dieses elastischen Verhaltens in der Schnittgrößenermittlung keine Relevanz. Für die Berechnung der Durchbiegung werden zwei Verfahren vorgeschlagen:

• Näherungsverfahren nach EC2
• Durchbiegungsberechnung durch Integration der Querschnittskrümmungen

Näherungsverfahren nach EC2

Das Ziel des Näherungsverfahrens nach EC2 ist im wesentlichen ein vereinfachter Vorschlag der Krümmung eines Stahlbetonbauteiles und liefert unter Beachtung des Rissverteilungsbeiwertes die mittlere zu erwartende Krümmung des betrachteten Bauteiles.

Die jeweils maximalen zu erwartenden Krümmungen des Zustand I und Zustand II werden berechnet. Dabei findet eine Differenzierung der Krümmung nach den Ursachen Last+Kriechen und Schwinden statt. Folglich ergeben sich vier unterschiedliche Krümmungen – jeweils zwei Größen für den Zustand I und Zustand II.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa = (1/r) = \frac{M}{EI}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa_{cs} = (1/r)_{cs} = \epsilon_{cs} \cdot \alpha_{e} \cdot S/I}

κ	Krümmung unter Last+Kriechen
κ cs	Krümmung unter Schwinden
E	Elastizitätsmodul
I	Flächenmoment 2. Grades
S	Flächenmoment 1. Grades
α e	Verhältnis der Elastizitätsmodule Stahl und Beton
ε cs	Endschwindmaß

Die Querschnittswerte zur Ermittlung der Steifigkeit können der [Tabelle] entnommen werden.

Das Kriechverhalten findet seine Beachtung durch den effektiven Elastizitätsmodul.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+ \phi (\infty , t_{0})}}

E cm	mittlerer Elastizitätsmodul Beton
φ(∞,t0)	Endkriechzahl

Zur Berechnung der mittleren Krümmung wird der Rissverteilungswert benötigt. Der Rissverteilungsbeiwert drückt dabei die Verteilung des Zustand I und Zustand II über die Bauteilachse aus und lässt sich nach folgendem Ansatz berechnen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \zeta = 1- \beta \cdot (\frac{\sigma_{sr}}{\sigma_{s}})^{2}}

β	Beiwert zur Berücksichtigung der Belastungsdauer (=0,5 für Langzeitbelastungen; =1,0 für Kurzzeitbelastungen)
σsr	Stahlspannung unter Rissmoment
σs	Stahlspannung unter Belastung

Alternativ lässt sich der Quotient der Stahlspannungen durch den Quotient aus Rissmoment und Feldmoment ersetzen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \zeta = 1- \beta \cdot (\frac{M_{cr}}{M})^{2}}

β	Beiwert zur Berücksichtigung der Belastungsdauer (=0,5 für Langzeitbelastungen; =1,0 für Kurzzeitbelastungen)
Mcr	Rissmoment
M	Moment aus Belastung

Rissmoment nach DafStb:

$M_{cr}=W_{el}\cdot f_{ctm}$

Wel	elastisches Widerstandsmoment
fctm	mittlere Betonzugfestigkeit

Man differenziert die Art der Belastung nach Kurzzeitbelastungen und Langzeitbelastungen. Langzeitbelastungen weisen dabei eine größere Krümmungsentwicklung auf als Kurzzeitbelastungen.

Prinzipdarstellung: Krümmungsverlauf nach Näherungsverfahren nach EC2

Die mittlere Krümmung des Bauteils lässt sich nachfolgend über Rissverteilungsbeiwert ermitteln. Folglich werden die Krümmungen unter Last+Kriechen und Schwinden addiert.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1/r)_{IIm} = \zeta \cdot (1/r)_{II} \cdot (1-\zeta) \cdot (1/r)_{I}}

ζ	Rissverteilungsbeiwert
(1/r)II	Krümmung im Zustand II
(1/r)I	Krümmung im Zustand I

Abschließend wird die Durchbiegung unter zu Hilfenahme der bereits erwähnten Krümmung unter Abhängigkeit der Systemlänge und dem Beiwert zur Berücksichtigung des Momentenverlaufs zu einer Durchbiegung überführt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w(l/2) = k \cdot \kappa \cdot l^{2}}

k	Beiwert zur Berücksichtigung des Momentenverlaufes
κ	Krümmung in Feldmitte
l	Systemlänge

Numerische Integration

Die numerische Integration stellt ein Hilfsmittel zur Berechnung der Durchbiegungen eines Bauteils dar. Der größere Rechenaufwand ermöglicht eine genauere Differenzierung zwischen den Zuständen I und II des Stahlbetonbauteils. Das Bauteil wird in eine beliebige Anzahl an Intervallen unterteilt, je höher die Anzahl der betrachteten Querschnitte gewählt wird, desto genauer lässt sich die Durchbiegung ermitteln. Für eine genaue Näherung an die Durchbiegung reicht bereits eine Unterteilung in 9 Stützstellen – also 8 Intervallen –, eine Vergrößerung der Einteilung auf bis zu 21 Stützstellen liefert letztlich keine weitere Verbesserung mehr und der erheblich größere Rechenaufwand steht mit dem Ergebnis nicht mehr in einem vertretbaren Rahmen.

Die grundlegende Annahme ist auch hier der Zusammenhang aus Krümmung, Belastung und Steifigkeit des Querschnittes:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa = (1/r) = \frac{M}{EI}}

Durch doppelte Integration lässt sich die Durchbiegung ermitteln:

$w(x)=\int _{}^{}\int _{}^{}{\frac {M(x)}{EI(x)}}dx$

Unter Ansatz des Prinzips der virtuellen Kräfte lässt sich das Doppelintegral vereinfachen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w(x) = \int_{}^{} \frac{\overline{M}(x) \cdot M(x)}{EI(x)}dx = \int_{}^{}(\overline{M}(x) \cdot \kappa) dx}

Mit Hilfe der Simpson-Gleichung und unter Annahme von einer Unterteilung auf Basis von 9 Stützstellen lässt sich Integral in Form eines Summenansatzes lösen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w(x) = \frac{\Delta x}{3} \cdot (2 y_{0} + 8 y_{1} + 4 y_{2} 8 + y_{3} + 2 y_{4})}

Mit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_{n} = \kappa_{n} \cdot \overline{M}_{n}}

Für jeden betrachteten Querschnitt n werden die virtuellen Momentenschnittgrößen ermittelt. Er ergeben sich folgende Momente unter einer virtuellen Last der Größe 1 in Feldmitte:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\overline {M}}_{1}={\frac {1}{16}}l}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{M}_{2} = \frac{1}{8} l}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{M}_{3} = \frac{3}{16} l}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{M}_{4} = \frac{1}{4} l}

Prinzipdarstellung: Krümmungsverlauf nach numerischer Integration

Durch die Symmetrie des Momentenverlaufes und Krümmungsverlaufes genügt die Betrachtung einer Hälfte des Trägers.

Nach Einsetzen in den Ansatz nach der Simpson-Gleichung ergibt sich die Durchbiegung zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w(l/2) = \frac{l^{2}}{96} \cdot (2 \kappa_{1} + 2 \kappa_{2} + 6 \kappa_{3} + 2 \kappa_{4})}

Anhand dieser Gleichung lassen sich die Durchbiegungen beliebiger Einfeldsysteme berechnen. Unbekannte Größen sind dabei nur noch die n Querschnittskrümmungen.

Prinzipdarstellung: Beurteilung des Zustandwechsels anhand der Ordinaten x_cr,1;2

Eine Differenzierung zwischen den Zuständen I und II lässt sich über folgenden Ausdruck ermitteln:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{cr} = \frac{l}{2} \pm \sqrt{\frac{l^{2}}{4} - 2 \cdot \frac{M_{cr}}{p_{k}}}}

Mcr	Rissmoment
pk	Belastung

Der Ansatz liefert zwei Ordinaten: erstere gibt Aufschluss über den Wechsel von Zustand I in den Zustand II; zweitere gibt Aufschluss über den Wechsel von Zustand II in den Zustand I.

Die für die Querschnittskrümmungen relevanten Querschnittswerte lassen sich mit den Formeln nach [Stahlbetonbau-Praxis S. 270,271] ermitteln. Für die Differenzierung der Zustände I und II werden die Lagen der n Krümmungen auf der Bauteilachse betrachtet und errechnet.

Unter Annahme einer konstanten Gleichstreckenlast und Steifigkeit – also unter Vernachlässigung der Zustände I und II – lässt sich die numerische Integration vereinfachen zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w(l/2) = \frac{5}{384} \cdot \frac{p_{k}l^{4}}{EI}}

Mit dieser Vereinfachung lässt sich die Durchbiegung getrennt für die Zustände I und II berechnen und abschließend analog zum Näherungsverfahren unter Annahme des Rissverteilungsbeiwertes zu einer erwarteten mittleren Krümmung errechnen.

Die Abweichungen zwischen dem Näherungsverfahren nach EC2 und der numerischen Integration belaufen sich ungefähr im Rahmen von 4%; für die Baupraxis ist die Berechnung nach dem Näherungsverfahren genau genug.

Statisch unbestimmte Systeme

Prinzipdarstellung: Abhängigkeiten der Krümmungsberechnung statisch unbestimmter Systeme

Die Schnittgrößenermittlung statisch unbestimmter Systeme steht in direktem Zusammenhang zu der Steifigkeitsentwicklung des Bauteiles. Die Differenzierung nach Zustand I und Zustand II hat somit maßgeblich einen Einfluss auf die Schnittgrößenermittlung und folglich gestaltet sich die Ermittlung der Durchbiegung als ein iterativer Prozess. Die Einschätzung nach Zustand I und Zustand II ist direkt gekoppelt an die Schnittgrößen, diese wiederum im Falle statisch unbestimmter Systeme an die Steifigkeiten des Bauteiles, die unter Beachtung der Rissbildung abgeschätzt wird. Folglich muss die Durchbiegung eines statisch unbestimmten Systems in mehreren – iterativen – Rechnungen durchgeführt werden, solange bis die Durchbiegung als abgeschlossen angenommen werden kann.

Quellen

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