Direkte Verformungsberechnung - numerische Integration (Bsp.)

Auf dieser Seite wird die Anwendung der numerischen Integration zur direkten Verformungsberechnung nach EC2 an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der direkten Verformungsberechnung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 40 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.

• l_eff=6m
• $p_{Ed,perm}=66,5{\frac {kN}{m}}$ (Kurzzeitbelastung)
• b/h=35cm/75cm
• d=70cm
• B500A
• Längsbewehrung: 4⌀25 (A_s,vorh=19,64cm²)
• C 20/25
• ε_cs=0,4‰
• φ (∞,t₀)=2

Festigkeiten

$f_{ctm}=2,2{\frac {N}{mm^{2}}}=0,22{\frac {kN}{cm^{2}}}$

Berechnung

Der Berechnungsablauf entspricht dem Berechnungsablauf des Näherungsverfahrens mit dem Unterschied, dass die Krümmung nicht nur an einem Punkt sondern an mehreren Stellen ermittelt wird. In diesem Beispiel werden 21 Stützstellen verwendet. Es ist zu beachten, das in jedem Fall eine ungerade Anzahl an Stützstellen zu verwenden ist.

Für die Verformungsberechnung ist außerdem das virtuelle Moment an den Stützstellen zu ermitteln, welches sich ergibt, wenn an der Stelle, an der die Verformung berechnet werden soll (bei einem EInfeldträger unter Gleichlast i.d.R. die Bauteilmitte), eine virtuelle Kraft F=1 angreift.

Das Produkt aus Krümmung und virtuellem Moment wird anschließend mit der Simpsonregel numerisch integriert. Für die numerische Integration wurde in der Tabelle das Produkt aus Krümmung, virtuellem Moment und dem Wert k der sich nach der Simpsonregel ergibt gebildet. Die Summe hieraus kann für den Klammerwert in der Simpsonregel eingesetzt werden.

$\Sigma \kappa _{tot}\cdot {\overline {M}}\cdot k=0,1427$

Das Ergebnis der numerischen Integration ist die Verformung.

$w={\frac {0,3}{3}}\cdot 0,1427$

${\underline {\underline {w=0,01427m=1,427cm}}}$

Variation der Anzahl der Stützstellen

Im Folgenden soll der Einfluss der Anzahl der Stützstellen an diesem Beispiel verdeutlicht werden.

Aus den in der Tabelle aufgeführten Werten wird ersichtlich, dass bei geringet Stützstellenanzahl die Verformungen noch stark schwanken. Die Differnz der Verformungen bei unterschiedlicher Stützstellenanzahl nimmt mit zunehmender Anzahl der Stützstellen ab. Außerdem ist zu erkennen, dass die Genauigkeit mit steigender Stützstellenanzahl steigt.

Vergleich der direkten Verformungsberechnung mit dem Näherungsverfahren und der numerischen Integration

Im folgenden Bild sind die Verformungen nach dem numerischen und dem Näherungsverfahren bei steigender Belastung dargestellt. Es ist zu erkennen, dass auch mit der Näherungslösung bereits eine gute Lösung erhält. Außerdem ist zu sehen, dass die Unterschiede zwischen beiden Ansätzen vor allem vor der Erreichung des Rissmoments bestehen und danach abnehmen. Dies ist darauf zurückzuführen, dass beim Näherungsverfahren nur der höchstbelastete Schnitt in Bauteilmitte betrachtet wird, während beim numerischen Verfahren mehrere Schnitte betrachtet werden, sodass die Verformungen in niedrig beanspruchten Bereichen überschätzt werden.

In der Grafik ist auch zu erkennen, dass das Näherungsverfahren immer auf der sicheren Seite liegende Verformungen ergibt.

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