Im Rahmen der Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit ist auch ein Verformungsnachweis zu führen. Dieser kann indirekt über die Biegeschlankheit geführt werden oder über eine direkte Verformungsberechnung. Die indirekte Verformungsberechnung ist die einfachere der beiden Methoden, ist allerdings auch ungenauer.

Allgemeines

Der Verformungsnachweis kann immer dann über die Biegeschlankheit geführt werden, wenn keine erhöhten Anforderungen an die Durchbiegungsbegrenzung gestellt werden und folgende Voraussetzungen erfüllt sind^[1]:

Es handelt sich um einen Stahlbetonbalken bzw. eine Stahlbetonplatte des „üblichen“ Hochbaus.
Das Bauteil wird nur durch Gleichlasten belastet.
Das Bauteil unterliegt nur statische Beanspruchungen.

Das Verfahren darf nicht für Spannbetonbauteile und Bauteile, bei denen große Normalkräfte angreifen verwendet werden^[1].

Der Verformungsnachweis über eine indirekte Verformungsberechnung kann mit zwei unterschiedlichen Varianten erfolgen. Beide werden im Folgenden näher vorgestellt.

Verfahren nach EC 2

In diesem Verfahren werden die wesentlichen Einflussfaktoren auf die Verformung näherungsweise erfasst. Die Einflussfaktoren auf die Verformungen, die berücksichtigt werden, sind Folgende^[2]:

Spannweite des Bauteils
statisches System
Trägheitsmoment (über die statische Nutzhöhe)
Elastizitätsmodul des Betons (über die Betondruckfestigkeit)
Ausdehnung des gerissenen Bereichs
Bewehrungsgrad

Die letzten beiden Faktoren gehen durch die Unterscheidung in gering- und hochbeanspruchte Bauteile in die Berechnung ein. Die Unterscheidung findet über den Längsbewehrungsgrad statt. Liegt der Längsbewehrungsgrad über dem von der Betondruckfestigkeit abhängigen Referenzbewehrungsgrad, handelt es sich um ein hochbeanspruchtes Bauteil; liegt er darunter, ist das Bauteil als gering bzw. mäßig beansprucht einzustufen. Für beide Varianten steht jeweils eine separate Gleichung zur Verfügung^[3]:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{wenn }\rho\leq\rho_0\qquad\qquad\frac{l}{d}\leq K\cdot\left[11+1,5\cdot\sqrt{f_{ck}}\cdot\frac{\rho_0}{\rho}+3,2\cdot\sqrt{f_{ck}}\cdot\left(\frac{\rho_0}{\rho}-1\right)^{\frac{3}{2}}\right]\leq\left(\frac{l}{d}\right)_{max}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{wenn }\rho>\rho_0\qquad\qquad\frac{l}{d}\leq K\cdot\left[11+1,5\cdot\sqrt{f_{ck}}\cdot\frac{\rho_0}{\rho-\rho'}+\frac{1}{12}\cdot\sqrt{f_{ck}}\cdot\left(\frac{\rho'}{\rho_0}\right)^{\frac{1}{2}}\right]\leq\left(\frac{l}{d}\right)_{max}}

Beiwert zur Berücksichtigung des statischen Systems

wobei:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho=\frac{A_{s1,erf}}{b\cdot d} } …	erforderlicher ZUgbewehrungsgrad in Feldmitte (bei Kragträgern an der Einspannstelle)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho'=\frac{A_{s2,erf}}{b\cdot d} } …	erforderlicher Druckbewehrungsgrad in Feldmitte (bei Kragträgern an der Einspannstelle)
$\rho _{0}=f_{ck}\cdot 10^{-3}$ …	Referenzbewehrungsgrad
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l } …	effektive Stützweite
$d$ …	statische Nutzhöhe
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K } …	Beiwert zur Berücksichtigung des statischen Systems
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_{ck} } …	charakteristische Druckfestigkeit des Betons Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{N}{mm^2}}

Da der Längsbewehrungsgrad in den Gleichungen den Einfluss der Beanspruchung wiederspiegeln soll, ist mit dem erforderlichen und nicht mit dem vorhandenen Bewehrungsgrad zu rechnen. Würde mit dem vorhandenen gerechnet werden, würden ungünstigere Ergebnisse erzielt werden, da die Beanspruchung überschätzt würde.

Die Gleichungen können bzw. müssen im Folgenden mit weiteren Faktoren modifiziert werden. Diese Faktoren resultieren aus Abweichungen zwischen den Eigenschaften des betrachteten Bauteils und den Eigenschaften der Bauteile, welche für die Kalibrierung der Gleichungen verwendet wurden^[3].

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_1=\frac{310\frac{N}{mm^2}}{\sigma_s [\frac{N}{mm^2}]}\qquad}	wenn die vorhandene Stahlspannung unter der Bemessungslast $\neq 310{\frac {N}{mm^{2}}}$
$k_{2}=0,8\qquad$	bei gegliederten Querschnitten (z.B. Plattenbalken, I-Profile)
$k_{3}={\frac {7,0}{l_{eff}[m]}}\qquad$	bei Balken und Platten mit $l\geq 7m$ und erhöhten Anforderungen
$k_{3}={\frac {8,5}{l_{eff}[m]}}\qquad$	bei Flachdecken mit $l\geq 8,5m$ und erhöhten Anforderungen

Grenzwerte der Biegeschlankheiten ohne Druckbewehrung (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho'=0}

Aus der grafischen Auswertung der Gleichung ist deutlich erkennbar, dass die zulässige Biegeschlankheit mit steigendem Längsbewehrungsgrad und somit mit sinkender Beanspruchung zunimmt. Außerdem ist zu sehen, dass durch die zunehmende Biegesteifigkeit infolge zunehmender Betondruckfestigkeit, die zulässige Biegeschlankheit zunimmt. Beides stimmt mit den allgemeinen Zusammenhängen bezüglich der Bauteilverformungen überein.

Um bei gering bewehrten Bauteilen konstruktiv unsinnigen bzw. unterdimensionierten Bauteildicken vorzubeugen, werden außerdem obere Grenzwerte für die zulässige Biegeschlankheit definiert^[1]:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{max}\leq K\cdot 35}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{max}\leq K^2\cdot \frac{150}{l [m]}}

Ist die zulässige Biegeschlankheit größer als die maximale, ist sie auf diese zu beschränken. Die Maximalwerte der zulässigen Biegeschlankheit dürfen nicht durch weiteren Faktoren modifiziert werden.

Quellen

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Deutscher Aussschuss für Stahlbeton: Erläuterungen zu DIN EIN 1992-1-1 und DIN EN 1992-1-1/NA (Eurocode 2); DAfStb Heft 600
↑ Zilch,K., Zehetmaier,G.: Bemessung im konstruktiven Betonbau; 2. Auflage, Berlin/Heidelberg: Springer Verlag, 2006
↑ ^3,0 ^3,1 DIN EN 1992-1-1, Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2011

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[DAfStb600-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Deutscher Aussschuss für Stahlbeton: Erläuterungen zu DIN EIN 1992-1-1 und DIN EN 1992-1-1/NA (Eurocode 2); DAfStb Heft 600

[Q2-2] Zilch,K., Zehetmaier,G.: Bemessung im konstruktiven Betonbau; 2. Auflage, Berlin/Heidelberg: Springer Verlag, 2006

[Q5-3] 3,0 ^3,1 DIN EN 1992-1-1, Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2011

[1]

[2]

[3]

Verformungsnachweis - indirekte Berechnung

Allgemeines

Verfahren nach EC 2

Quellen

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