Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Sohlplatte (Bsp.)

Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Sohlplatte für eine verringerte Zwangsbeanspruchung

Aufgabenstellung

Querschnitt der Sohlplatte

Für die gegebene Sohlplatte aus Stahlbeton ist zu überprüfen, ob die statisch erforderliche Bewehrung auch die Anforderungen für die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite erfüllt oder ob hier zusätzliche Bewehrung einzulegen ist. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem Zwang betrachtet werden. Die infolge der teilweisen Verschieblichkeit der Sohlplatte auf dem Untergrund verminderte Zwangsspannung wird dabei als Bemessungsgröße verwendet.
Im zugehörigen Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.)" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine vollständige Verschiebungsbehinderung der Platte durchgeführt. Die Berechnungsergebnisse werden miteinander verglichen.

Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1 und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" empfohlen.
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann.

Vorgaben

Sohlplattenabmessungen L / B / h:	17,00 / 15,00 / 0,50 m
Expositionsklasse:	XC2 - Gründungsbauteil
Betonfestigkeitsklasse:	C35/45
Betonzugfestigkeit:	fctm = 3,2 N/mm2
Bewehrung aus der Statik:	ø 16, s = 20 cm
	as,o = as,u = 10,05 cm2/m
Betondeckung:	cv = cnom = 20 + 15 + 20 = 55 mm
Unterkonstruktion:	Unterbeton mit Flügelglättung und 2 Lagen PE-Folie

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden.
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

Lösung

Ermittlung der zulässigen Rissbreite

Die Sohlplatte besteht aus Stahlbeton und ist als Gründungsbauteil der Expositionsklasse XC2 zuzuordnen.
Somit beträgt die zulässige Rissbreite

$w_{k}={\underline {0,3mm}}$.

zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1

	1	2	3	4	5
	Expositionsklasse	Konstruktion
		Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund	Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund	Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
		Einwirkungskombination
		quasi-ständig	häufig	häufig	selten
1	X0, XC1	0,4a)	0,2	0,2	-
2	XC2, XC3, XC4	0,3	0,2b),c)	0,2b)
3	XS1, XS2, XS3 XD1, XD2, XD3d)			Dekompression	0,2
a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.

Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung

Spannung unter der Sohlpatte

Die Spannung unter Sohlplatte setzt sich nur aus dem Eigengewicht zusammen.

$\sigma _{0}=\gamma _{G}\cdot h\cdot \gamma _{\mathrm {Stahlbeton} }=1,35\cdot 0,5\cdot 25={\underline {16,88kN/m^{2}}}$

Reibungsbeiwert

Verwendet wird ein Unterbeton mit Flügelglättung und 2 Lagen PE-Folie als Trennlage.

Reibungsbeiwerte

	1	2	3
	Unterkonstruktion a)	Trennlage	Reibungsbeiwert μ0 für die erste Verschiebung
1	grobkörniger Baugrund ohne Sandbettung	keine	1,4 … 2,1 e)
2	Kies-Sand-Bodenaustausch (nicht bindig)	bei Dicke der Bodenplatte h = 0,2m	> 1,4
3		bei Dicke der Bodenplatte h = 0,8m	≈ 0,9
4	sandiger Baugrund oder grobkörniger Baugrund mit Sandbettung unter der Sohlplatte	keine	0,9 … 1,1 e)
5		Noppenbahn (d ≈ 0,6mm)	0,8 … 1,0 d), e)
6		1 Lage PE-Folie b)	0,5 … 0,7 d), e)
7	Sandbett (Dicke 6 … 10cm, mittlere Korngröße 0,35mm)	keine (Direktauflagerung auf nicht feinkörnigem, bindigem Boden)	0,7
8	Perimeterdämmung auf Unterbeton bei beliebigem Baugrund	bei Dicke der Bodenplatte h ≤ 0,3m	≈ 0,8 d)
9		bei Dicke der Bodenplatte h ≥ 0,8m	≈ 0,5 d)
10	Unterbeton abgezogen (makrorau)	2 Lagen PE-Folie b) je 0,2mm:
11		bei Dicke der Bodenplatte h = 0,3m	≤ 2,0
12		bei Dicke der Bodenplatte h = 1,5m	≤ 1,3
13		Bitumenschweißbahn c)	0,35 … 0,7 d), e)
14		Dickbitumen c)	0,03 … 0,2 d), e)
15		Trennschicht aus 2 Lagen dicker PE-Folie b) mit zwischenliegender Schicht aus Silikonfett als Schmiermittel	≈ 0,8
16	Unterbeton mit Flügelglättung	1 Lage PE-Folie b)	0,8 … 1,4 d), e)
17		2 Lagen PE- Folie b)	≤ 0,8
18		mit PTFE b) beschichtete Folie	0,2 … 0,5 e)
19		Trennschicht aus 2 Lagen dicker PE-Folie b) mit zwischenliegender Schicht aus Silikonfett als Schmiermittel	≈ 0,3
20		1- bis 2-lagige Bitumenschweißbahn c), stumpf gestoßen:
21		bei Dicke der Bodenplatte h = 0,3m	≈ 0,45
22		bei Dicke der Bodenplatte h > 1,0m	≈ 0,2
23	Sicherheitsbeiwert für Reibung h)	γR = 1,35 f)
24		γR =1,25 g)
25	Bemessungswert der Reibung	$\mu _{d}=\gamma _{R}\cdot \mu _{0}$
a) Die Oberfläche der Unterkonstruktion muss den Anforderungen der Ebenheit nach DIN 18202 entsprechen. b) PE = Polyethylen, PTFE = Polytetrafluor- Ethylen c) Bituminöse Trennschichten sind nur bei ausreichender Schichtdicke und Temperaturen in der Trennschicht >10°C wirksam. d) Vorschlag der Autoren der Fachliteraturquellen e) Bewegt sich der Reibungsbeiwert in einer Spannbreite empfehlen die Autoren der Fachliteraturquellen die Annahme des höheren Wertes, wenn kein Einfluss auf die Ausführung besteht. f) nach "Lohmeyer Stahlbetonbau" und "Weiße Wannen einfach und sicher - 9.Auflage" g) nach "Weiße Wannen einfach und sicher - 11.Auflage" h) Die Autoren der Fachliteraturquellen empfehlen mit den angegebenen Sicherheitsbeiwerten zu rechnen, da die Auswahl des Reibungsbeiwertes mit einiger Unsicherheit behaftet ist.

Aus der Tabelle ergibt sich damit ein Bemessungswert der Reibung bei der sicheren Annahme des Sicherheitsbeiwertes γ_R = 1,35 von

$\mu _{d}=1,35\cdot 0,8={\underline {1,08}}$.

Zugspannung in der Sohlplatte

$\sigma _{ct,d}={\cfrac {\gamma _{ct}\cdot \mu _{d}\cdot \sigma _{0}\cdot L}{2\cdot a_{ct}}}={\cfrac {1,0\cdot 1,08\cdot 16,88\cdot 17,0}{2\cdot 0,5\cdot 1}}=309,92kN/m^{2}={\underline {0,31N/mm^{2}}}<f_{ct,eff}=0,75\cdot 3,2=2,4N/mm^{2}$

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σ_ct,d durchgeführt werden.

Abschätzen der erforderlichen Bewehrung

Festigkeits-Zeitbeiwert

Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme

$\beta _{ct,vorh}={\cfrac {\sigma _{ct,d}}{f_{ctm}}}={\cfrac {0,31}{3,2}}={\underline {0,1}}$

Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm

Bewehrung aus dem Diagramm:	$a_{s,o,Diagr}=a_{s,u,Diagr}\approx 15,0cm^{2}/m$
mit	$\beta _{ct,Diagr}=0,5$
	$c_{v,Diagr}=40mm$
	$w_{k,Diagr}=0,2mm$

$a_{s}\approx a_{s,Diagr}\cdot {\sqrt {\cfrac {\beta _{ct,vorh}\cdot c_{v,vorh}\cdot w_{k,Diagr}}{\beta _{ct,Diagr}\cdot c_{v,Diagr}\cdot w_{k,vorh}}}}=15,0\cdot {\sqrt {\cfrac {0,1\cdot 55\cdot 0,2}{0,5\cdot 40\cdot 0,3}}}={\underline {6,42cm^{2}/m}}$

Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

Betondeckung und statische Nutzhöhe

$c_{v}=c_{nom}=55mm$ (aus der Statik)

$d_{1}=55+{\cfrac {16}{2}}=63mm={\underline {6,3cm}}$

$d=h-d_{1}=50-6,3=43,7cm$

Wirkungsbereich der Bewehrung

$a_{c,eff}=2\cdot b\cdot h_{c,ef}$	mit $b=100cm/m$
${\cfrac {h}{d_{1}}}={\cfrac {50}{6,3}}=7,94$	$>5,0$
	$<30,0$
$h_{c,ef}=0,1\cdot h+2,0\cdot d_{1}=0,1\cdot 50+2,0\cdot 6,3=17,6cm$	$<{\cfrac {h}{2}}={\cfrac {50}{2}}=25,0cm$

$a_{c,eff}=2\cdot 100\cdot 17,6={\underline {3520cm^{2}/m}}$

Ermittlung der Beiwerte

$k_{c}=1,0$	für reinen Zug
Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
$k=0,8-20\cdot {\cfrac {0,8-0,5}{80-30}}=0,68$	Interpolation der in der DIN EN 1992-1-1 vorgegebenen Werte.

Ermittlung des Grenzdurchmessers

Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung

$\varnothing _{S}^{*}=\varnothing _{S}\cdot {\cfrac {f_{ct,0}}{\sigma _{ct,d}}}=16\cdot {\cfrac {2,9}{0,31}}=150mm$

$\varnothing _{S}^{*}=\varnothing _{S}\cdot {\cfrac {8\cdot (h-d)}{k\cdot k_{c}\cdot h_{cr}}}\cdot {\cfrac {f_{ct,0}}{\sigma _{ct,d}}}$	mit $(h-d)=d_{1}$
	und $h_{cr}={\cfrac {h}{2}}={\cfrac {50}{2}}=25,0cm$

$\varnothing _{S}^{*}=16\cdot {\cfrac {8\cdot 6,3}{0,68\cdot 1,0\cdot 25}}\cdot {\cfrac {2,9}{0,31}}=444mm$

Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt

$\varnothing _{S}^{*}={\underline {150mm}}$.

Ermittlung der Stahlspannung

$\sigma _{S}={\sqrt {\cfrac {6\cdot w_{k}\cdot E_{S}\cdot f_{ct,0}}{\varnothing _{S}^{*}}}}$	mit $E_{S}=200.000N/mm^{2}$
	und $f_{ct,0}=2,9N/mm^{2}$

$\sigma _{S}={\sqrt {\cfrac {6\cdot 0,3\cdot 200.000\cdot 2,9}{150}}}={\underline {83,43N/mm^{2}}}$

Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

$a_{s,min}$	$={\cfrac {k\cdot k_{c}\cdot a_{ct}\cdot \sigma _{ct,d}}{\sigma _{S}}}$
	$={\cfrac {0,68\cdot 1,0\cdot 50\cdot 100\cdot 0,31}{83,43}}$
	$=12,63cm^{2}/m$

$a_{s,min}$	$={\cfrac {a_{ct,eff}\cdot \sigma _{ct,d}}{\sigma _{S}}}$	$\geq {\cfrac {k\cdot a_{ct}\cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}}}$
	$={\cfrac {3520\cdot 0,31}{83,43}}$	$\geq {\cfrac {0,68\cdot 50\cdot 100\cdot 0,31}{500}}$
	$=13,08cm^{2}/m$	$>2,11cm^{2}/m$

Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen

${\underline {12,63cm^{2}/m}}$

eingelegt werden.

Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung

Bewehrungsanordnung in der Sohlplatte

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet.

$a_{s,o}=a_{s,u}={\cfrac {12,63}{2}}=6,32cm^{2}/m\approx 6,42cm^{2}/m$

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

$a_{s,o}=a_{s,u}=6,32cm^{2}/m<10,05cm^{2}/m$

Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.)"

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten deutlich größer.

$a_{s,min}=12,63cm^{2}/m<34,81cm^{2}/m$

Quellen

Fachliteratur / Normen

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