Zugkraftdeckung (Bsp.)

Vorgehensweise bei der Zugkraftdeckung an einem praxisnahen Berechnungsbeispiel

Statisches System und Belastung

Betrachtet wird ein Durchlaufträger mit 2 Feldern unterschiedlicher Spannweite. Es handelt sich um einen Plattenbalkenquerschnitt, welcher frei drehbar gelagert ist.

Beton C25/30

Betonstabstahl B500A

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Berechnungsbeispiel händisch

Nachfolgend wird schrittweise die grafische händische Durchführung der Zugkraftdeckung an einem praxisnahen Berechnungsbeispiel erläutert. Hierbei werden auch die beiden Varianten hinsichtlich dem Ansatz der Tragfähigkeit der Bewehrung in der Verankerungslänge berücksichtigt.

Grundlagen

• Momentengrenzlinie

Grundlage ist die Momentengrenzline (Bemessungswerte), welche aufgrund der verschiedenen Möglichkeiten der Laststellungen geeignet zu bestimmen ist (z.B. Schnittprinzip).

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Um die Zugkraftdeckung zeichnerisch durchzuführen, sind schrittweise Einzelne Werte des Verlaufes der Momentengrenzlinie zu Bestimmen. Die Schrittweite ist so zu wählen, dass der Verlauf entsprechend „feinfühlig“ dargestellt wird. Im Falle des Beispiels führt ein Abstand von 0,5m zu einem zufriedenstellenden Ergebnis. Mit der Annahme der Anwendung des Schnittprinzips ist also alle 0,5m entlang der Systemlänge der Bemessungswert des Biegemomentes zu Bestimmen. Aufgrund der Lagerungsbedingung am Zwischenauflager, darf das Stützmoment abgemindert werden (Momentenausrundung). Dies ist ebenfalls zu Berücksichtigen.

• Ergebnisse aus der Biege- und Querkraftbemessung

Aus der Biegebemessung ist Anzahl, Durchmesser und Stahlgüte der Längsbewehrung bekannt.

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Querschnitt des Plattenbalkens mit der gewählten Bewehrungsmenge und deren Anordnung am entsprechenden Betrachtungsschnitt (Querkraftbewehrung nicht dargestellt). Auch die statische Nutzhöhe d lässt sich aus der Grafik entnehmen. Aufgrund der einlagigen Anordnung ist diese im Beispiel stets 70 cm.

Ebenfalls sind die Druckstrebenneigungswinkel aus der bereits vollzogenen Querkraftbemessung bekannt:

Am Auflager A und C ist θ = 18,4°→ cot θ = 3,00

Am Auflager B links ist θ = 25,0°→ cot θ = 2,14

Am Auflager B rechts ist θ = 22,9°→ cot θ = 2,37

Der Neigungswinkel der Bügelbewehrung beträgt α = 90° →cot α = 0

Die Bemessungswerte der Querkräfte an den Endauflagern betragen bei Auflager A = 290,86 kN und bei B = 236,05 kN.

Bestimmen der M/z - Linie (Zugkraft aufgrund von Biegemomenten)

Die M/z Linie lässt sich aus der Momentengrenzline bestimmen. Ziel ist es, den Verlauf der Stahlzugkraft F_sd aufgrund von Biegemomenten in Diagrammform darzustellen. Um die entsprechenden Werte für das Zugkraftdiagramm zu erhalten, ist jeder einzelne Bemessungswert aus der Momentengrenzlinie durch den Hebelarm der inneren Kräfte (z) zu dividieren. Man erhält somit aus dem Moment M_Ed [kNm] die Stahlzugkraft F_sd [kN].

Die Stahlzugkraft F_sd errechnet sich somit zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_\mathrm{sd}=\cfrac{M_\mathrm{Ed}}{z}+N_\mathrm{Ed}}

MEd...	Bemessungswert des einwirkenden Momentes (Wert aus Momentengrenzlinie)
z...	Der Hebelarm der inneren Kräfte errechnet sich im Falle des Beispiels aus der statischen Nutzhöhe zu 0,9 · d.
NEd...	Bemessungswert des einwirkenden Normalkraft (keine einwirkende Normalkraft vorhanden→ entfällt somit)

Aufgrund des sich immer wiederholenden Berechnungsschrittes wird dieser folglich nur einmal exemplarisch am maximalen Biegemoment in Feld 1 veranschaulicht:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_\mathrm{Ed}=413,2 kNm }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=0,9\cdot d = 0,9 \cdot 0,7m = 0,63m}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_\mathrm{sd}=\cfrac{M_\mathrm{Ed}}{z}=\cfrac{413,2}{0,63}=655,90 kN}

Nach dieser Vorgehensweise sind alle Werte aus der Momentengrenzlinie in die entsprechende Stahlzugkraft umzurechnen. Eine Tabelle kann hierfür sehr sinnvoll sein:

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Sind alle Werte bestimmt, lassen sich diese anhand ihrer Koordinaten im Zugkraftdiagramm eintragen. Bei der händischen Durchführung eignet sich hierfür Millimeterpapier. Die Maßstäbe können hierbei prinzipiell frei gewählt werden.

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Sind alle Punkte im Diagramm eingetragen, lassen sich diese entsprechend verbinden, um den Zugkraftverlauf zu erhalten.

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F_sd – Linie (Zugkraft aufgrund von Biegemomenten und Querkraft)

Um den tatsächlichen Verlauf der Stahlzugkraft aufgrund von Biegemoment und Querkraft im Zugkraftdiagramm darzustellen, ist die Zuggurtkraftdifferenz zu berücksichtigen. Bei der zeichnerischen Durchführung erfolgt dies durch horizontales Versetzen der M/z – Linie um das Versatzmaß a_l.

Das Versatzmaß a_l ergibt sich zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(cot \theta-cot \alpha)\cdot z\ge 0}

cot θ...	Druckstrebenneigungswinkel
cot α...	Neigungswinkel der Bügelbewehrung
z...	Der Hebelarm der inneren Kräfte errechnet sich im Falle des Beispiels aus der statischen Nutzhöhe zu 0,9 · d.

Aufgrund der unterschiedlichen Druckstrebenneigungswinkel (cot θ) ist das Versatzmaß für das betrachtete Beispiel drei Mal zu bestimmen.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=0,9\cdot d = 0,9 \cdot 0,7m = 0,63m}

Der Neigungswinkel der Bügelbewehrung beträgt α = 90° →cot α = 0

Am Auflager A und C ist cot θ = 3,00

Somit ergibt sich das Versatzmaß zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(3,00-0)\cdot 0,63=0,945m\ge 0}

Zu beachten:

Am Zwischenauflager (Auflager B) ist die Biegezugbewehrung teilweise aus dem Stegbereich in die Gurtplatte ausgelagert. Hier ist das Versatzmaß um den Abstand der vom Stegrand am weitesten ausgelagerten Bewehrung zu vergrößern (Maß x).

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Am Auflager B links ist cot θ = 2,14

Somit ergibt sich das Versatzmaß zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(2,14-0)\cdot 0,63+0,1=0,77m\ge 0}

Am Auflager B rechts ist cot θ = 2,37

Somit ergibt sich das Versatzmaß zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(2,37-0)\cdot 0,63+0,1=0,85m\ge 0}

Mit den ermittelten Versatzmaßen lassen sich die zuvor im Zugkraftdiagramm ermittelten Punkte horizontal verschieben. Zu beachten ist, dass das jeweils korrekte Versatzmaß an entsprechender Stelle verwendet wird. Hierbei sind die Auflagerlinien und die Extremstellen im Diagramm als Orientierungspunkte für die Anwendung des entsprechenden Versatzmaßes anzusehen.

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Sind alle versetzten Punkte im Diagramm eingetragen, lassen sich diese entsprechend verbinden, um den endgültigen Zugkraftverlauf zu erhalten. Optisch deutlich erkennbar ist nun, das die Zugkraftlinien horizontal um das Versatzmaß parallelverschoben sind.

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Eintragen der Bewehrungshorizonte

Aus der bereits vollzogenen Biegebemessung sind Durchmesser und Anzahl der Bewehrungsstäbe als Biegezugbewehrung bekannt. Jeder einzelne Stab kann aufgrund seiner Querschnittsfläche und der Stahlfestigkeit eine entsprechende Zugkraft F_⌀ aufnehmen.

Die pro Bewehrungsstahl aufnehmbare Zugkraft F_⌀ errechnet sich zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_\mathrm{\varnothing_{}} = A_\mathrm{s\varnothing_{}}\cdot f_\mathrm{yd}}

As⌀...	Querschnittsfläche des Bewehrungsstahls
fyd...	Bemessungswert der Stahlstreckgrenze

Verbaut werden Bewehrungsstähle B500A mit einem Durchmesser von 20 mm.

Daraus ergibt sich eine Querschnittsfläche von A_s⌀ = 3,14 cm² und ein Bemessungswert der Festigkeit von f_yd = 43,5 kN/cm² .

Die aufnehmbare Zugkraft pro Bewehrungsstahl berechnet sich somit zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_\mathrm{\varnothing_{}} = 3,14\cdot 43,5=136,6kN}

Mit zunehmender Anzahl der Bewehrungsstähle kann kontinuierlich mehr Zugkraft aufgenommen werden. In nachfolgender Tabelle wurde die Zugkraft entsprechend der Stabanzahl aufsummiert.

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Im Zugkraftdiagramm sind entsprechend der aufnehmbaren Zugkraft die einzelnen Bewehrungsstähle als sogenannte „Bewehrungshorizonte“ als feine Orientierungslinien einzutragen.

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Auszug aus Feld 2: Die durch 3 Bewehrungsstähle aufnehmbare Zugkraft unterschreitet offensichtlich geringfügig die mit der Zugkraftlinie dargestellte einwirkende Zugkraft. Diese geringe Abweichung ist jedoch akzeptabel. Zurückzuführen ist dies auf den Hebelarm der inneren Kräfte z. Die Biegebemessung und damit die Bewehrungswahl erfolgt mit dem exakten Wert für z. Die Zugkraftlinie hingegen wird auf der sicheren Seite liegend vereinfacht mit z = 0,9 · d bestimmt. Hierdurch wird im Zugkraftdiagramm eine teilweise etwas höhere Stahlzugkraft dargestellt, als tatsächlich auftreten wird.

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Zugkraftdeckungslinie (Abstufen der Biegezugbewehrung)

Betrachtet werden beide Varianten der Zugkraftdeckungslinie.

Abgestuft wird wie folgt:

Untere Bewehrung:

2 Stäbe laufen ohne Abstufung auf gesamter Länge durch

Auflager A → insgesamt 4 Stäbe werden ins Auflager geführt, 1 Stab wird vorher abgestuft

Auflager B links → abgestuft werden 1x 2 Stäbe und 1x 1 Stab

Auflager B rechts → abgestuft wird 1 x 1 Stab

Auflager C → alle 3 Stäbe aus Feld 2 werden ins Auflager geführt

Obere Bewehrung:

abgestuft werden 2 x 2 Stäbe und 1 x 3 Stäbe

Variante a - Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“ (nach DIN 1045-1)

Vollständige Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“ (rote Linie). Orientierungspunkte beim Zeichnen sind die Bewehrungshorizonte und die rechnerischen Endpunkten E der Bewehrung. Abstufungsschritte wie vorab beschrieben.

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Bestimmen der Verankerungslängen (Zwischenschritt)

Für beide Varianten der Zugkraftdeckungslinien ist das Maß der Verankerungslängen erforderlich. Bei Variante b) werden die Verankerungslängen bereits beim Zeichnen der Zugkraftdeckungslinie benötigt. Exemplarisch wird das Errechnen der erforderlichen Verankerungslänge an 2 verschiedenen Positionen veranschaulicht. Am Zwischenauflager läuft die nicht abgestufte untere Bewehrung durch. Der Nachweis der Verankerungslänge entfällt hier somit.

Verankerung am Endauflager

• Ermitteln der Randzugkraft F_Ed (Zugkraft am Endauflager):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_\mathrm{Ed} =V_\mathrm{Ed}\cdot\cfrac{a_\mathrm{l}}{z}+N_\mathrm{Ed}\ge\cfrac{V_\mathrm{Ed}}{2}}

VEd...	entspricht dem Bemessungswert der maximalen Auflagerkraft
al...	Versatzmaß aus Zugkraftdeckung
z...	Hebelarm der inneren Kräfte
NEd...	Bemessungswert der einwirkenden Normalkraft

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_\mathrm{Ed} =290,99\cdot\cfrac{94,5}{63,0}=436,5 kN}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_\mathrm{Ed} =\cfrac{290,99}{2}=145,5 kN}

Maßgebend: 436,50 kN

• Ermitteln, des zur Aufnahme der Randzugkraft erforderlichen Bewehrungsquerschnitt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_\mathrm{s,erf} =\cfrac{F_\mathrm{Ed}}{f_\mathrm{yd}}}

fyd...

Bemessungswert der Stahlstreckgrenze

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_\mathrm{s,erf} =\cfrac{436,50}{43,5}=10,03 cm^2}

• Ermitteln der Stahlspannung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{A_\mathrm{s,erf}}{A_\mathrm{s,vorh}}\cdot f_\mathrm{yd}}

As,vorh...

Querschnittsfläche der ins Auflager geführten Bewehrungsstäbe

4⌀20 werden bis ins Auflager geführt

Hieraus errechnet sich die vorhandene Querschnittsfläche:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_\mathrm{s,vorh} = 4\cdot 3,14=12,56 cm^2}

Somit errechnet sich die Stahlspannung zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{10,03}{12,56}\cdot 43,5=34,74 kN/cm^2}

• Grundwert der Verankerungslänge

Guter Verbund (Bewehrung liegt unten), für Beton C25/30 ist somit f_bd = 2,69 N/mm²

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_{b,rqd} = \frac{\varnothing_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}}

fbd...	Verbundfestigkeit
⌀s...	Stabdurchmesser

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_{b,rqd} = \frac{2}{4} \cdot \frac{34,74}{0,269}=64,57 cm}

• Bemessungswert der Verankerungslänge

Beiwerte:

-Verankerung mit Winkelhaken → α₁=0,7

(Aufgrund der begrenzten Platzverhältnisse zur Verankerung am Endauflager musste die Verankerungsform Winkelhaken gewählt werden)

-Keine angeschweißten Querstäbe → α₄=1,0

-direkte Lagerung → α₅=2/3

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}}

$l_{b,eq}=0,7\cdot 1\cdot {\frac {2}{3}}\cdot 28,61=20,10cm$

• Mindestwert der Verankerungslänge

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_{b,min} = 0,3\cdot 1\cdot\frac{2}{3}\cdot 1 \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{43,5}{0,269}=16,2 cm}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_{b,min} =10\cdot \frac{2}{3}\cdot 2 = 13,3 cm }

→ Mindestverankerungslänge wird nicht Maßgebend

Nachweis:

Unter der Annahme einer Betondeckung von c_nom = 5 cm werden die Bewehrungsstähle auf gesamter Auflagerbreite mit Winkelhaken verankert.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_{b,vorh} = t-c_{nom}=35-5 =30 cm\ge l_{b,eq} = 20,10 cm} → Nachweis erfüllt

Verankerung außerhalb von Auflagern

Verankerung der unteren Bewehrung in Feld 1 !!!!!Bild!!!!

• Ermittlung der Stahlspannung am rechnerischen Endpunkt E

Hierbei ist das Verhältnis aus erforderlicher und vorhandener Bewehrung zu bilden.

2 Stäbe werden noch gebraucht, 5 Stäbe sind insgesamt vorhanden

Somit ist:

A_s,erf=6,28cm² (2⌀20)

A_s,vorh=15,7cm² (5⌀20)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{A_\mathrm{s,erf}}{A_\mathrm{s,vorh}}\cdot f_\mathrm{yd}}

As,vorh...

Querschnittsfläche der ins Auflager geführten Bewehrungsstäbe

Die Stahlspannung errechnet sich zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{6,28}{15,7}\cdot 43,5=17,4 kN/cm^2}

• Grundwert der Verankerungslänge

Guter Verbund (Bewehrung liegt unten), für Beton C25/30 ist somit f_bd = 2,69 N/mm²

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_{b,rqd} = \frac{\varnothing_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}}

fbd...	Verbundfestigkeit
⌀s...	Stabdurchmesser

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_{b,rqd} = \frac{2}{4} \cdot \frac{17,4}{0,269}=32,34 cm}

• Bemessungswert der Verankerungslänge

Beiwerte:

-Verankerung mit geradem Stabende → α₁=1,0

-Keine angeschweißten Querstäbe → α₄=1,0

-direkte Lagerung → α₅=1,0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_{b,eq} = 1,0\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 32,34 = 32,34cm}

• Mindestwert der Verankerungslänge

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_{b,min} = 0,3\cdot 1,0\cdot1,0\cdot 1,0 \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{43,5}{0,269}=24,26 cm}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_{b,min} =10\cdot 1\cdot 2 = 20 cm }

→ Mindestverankerungslänge wird nicht Maßgebend

Nachweis:

gewählte Verankerungslänge → 35 cm

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_{b,vorh} =35 cm\ge l_{b,eq} = 32,34 cm} → Nachweis erfüllt

Nach dieser Vorgehensweise sind die Verankerungen aller Stabenden nachzuweisen.

Mit den errechneten Verankerungslängen lässt sich folglich nun auch die Zugkraftdeckungslinie für Variante b erstellen

Variante b - Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“

Für diese Variante sind die Verankerungslängen bereits vor dem Zeichnen der Zugkraftdeckungslinie anhand der Abstufungsschritte zu ermitteln.

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Vollständige Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“ (rote Linie). Orientierungspunkte beim Zeichnen sind die Bewehrungshorizonte und die rechnerischen Endpunkten E der Bewehrung. Die Bereiche mit linearen Verlauf lassen sich über die entsprechende Verankerungslänge konstruieren. Abstufungsschritte wie eingangs beschrieben.

Bewehrungslängen ermitteln

Über den gewählten Maßstab lassen sich anhand der Zugkraftdeckungslinie die tatsächlichen Stablängen ermitteln. Die Verankerungslängen sind hierbei stets zu berücksichtigen

• Variante a - Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“

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Vollständige Zugkraftdeckung „Stufenfunktion“ mit Auszug der Biegezugbewehrung. Die Verankerungslängen wurden blau gekennzeichnet und beginnt ab dem rechnerischen Endpunkt.

• Variante b - Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“

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Vollständige Zugkraftdeckung „anschmiegende Funktion“ mit Auszug der Biegezugbewehrung. Die Verankerungslängen wurden blau gekennzeichnet. Der Abstand zwischen zwei rechnerischen Endpunkten entspricht der Gesamtlänge eines Stabes.

Abschließende Betrachtung Berechnungsbeispiel

Das Ergebnis der Zugkraftdeckung sind Länge und Position der Abgestuften Bewehrungsstähle. Diese Parameter lassen sich direkt für die Stabstahlliste und den Bewehrungsplan verwenden.

Die händische grafische Durchführung ist verhältnismäßig aufwendig und erfordert viele unterschiedliche Einzelschritte um zu dem endgültigen Ergebnis zu gelangen. Das Verfahren ist hierdurch relativ schnell Fehlerbehaftet und durch zeichnerische Toleranzen teilweise ungenau. Eine händische Durchführung findet heutzutage oftmals nur noch zu Lehrzwecken Anwendung. Dennoch lassen sich brauchbare Ergebnisse erzielen, welche größtenteils auch auf der sicheren Seite liegen.

Betrachtung der Varianten:

Mit dem grafischen Verfahren lassen sich beide Varianten der Zugkraftdeckung vollziehen. Beide Varianten ergeben aufgrund ihrer Unterschiede bezüglich des Ansatzes der Tragfähigkeit in der Verankerungslänge unterschiedliche Bewehrungslängen.

Zum Vergleich:

• Variante a - Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“

Erforderliche Menge an Bewehrungsstahl (Längsbewehrung): 85,39 m Stabstahl ⌀20

Dies entspricht einem Gewicht von 210,9 kg

• Variante b - Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“

Erforderliche Menge an Bewehrungsstahl (Längsbewehrung): 75,84 m Stabstahl ⌀20

Dies entspricht einem Gewicht von 187,3 kg

Resultat:

Mit Variante b lässt sich grundsätzlich noch mehr Bewehrungsstahl einsparen. Am Betrachtungsbeispiel sind dies 23,6 kg. Das entspricht einer Einsparung von circa 11%. Nach aktuellem Stahlpreis (März 2024) würde sich für das Bauteil eine Einsparungssumme von etwa 20,00 € ergeben.

Zugkraftdeckung