Verformungsnachweis - direkte Berechnung - Näherungsverfahren (Bsp.)

Auf dieser Seite wird die Anwendung des Näherungsverfahren zur direkten Verformungsberechnung nach EC2 an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der direkten Verformungsberechnung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 40 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.

• l_eff=6m
• $p_{Ed,perm}=66,5\frac{kN}{m}$ (Kurzzeitbelastung)
• b/h=35cm/75cm
• d=70cm
• B500A
• Längsbewehrung: 4⌀25 (A_s,vorh=19,64cm²)
• C 20/25
• ε_cs=0,4‰
• φ (∞,t₀)=2

Festigkeiten

$f_{ctm}=2,2\frac{N}{m{m}^2}=0,22\frac{kN}{c{m}^2}$

Vorbereitende Berechnung

Ermittlung des quasi-ständigen Moments

$M_{Ed,perm}=\frac{p_{Ed,perm}\cdot l^2}{8}=\frac{66,5\cdot 6^2}{8}=299,25kNm$

Ermittlung des Rissbildungsmoments

$z_I=\frac{75}{2}=37,5cm$

$I_I=\frac{b\cdot h^3}{12}=\frac{35\cdot 75^3}{12}=1230468c{m}^4$

$M_{cr}=f_{ctm}\cdot \frac{I_I}{z_I}=0,22\cdot \frac{1230468}{37,5}=7219kNcm$

Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul

$E_{cm}=30000\frac{N}{m{m}^2}$

$E_{c,eff}=\frac{E_{cm}}{1+{\varphi }_{\mathrm{\infty },t_0}}=\frac{30000}{1+2}=10000\frac{N}{m{m}^2}=1000\frac{kN}{c{m}^2}$

Ermittlung der Druckzonenhöhe

${\alpha }_e=\frac{E_s}{E_{c,eff}}=\frac{200000}{10000}=20$

${\rho }_l=\frac{A_s}{b\cdot d}=\frac{19,64}{35\cdot 70}=0,008$

${\rho }_l\cdot {\alpha }_e=20\cdot 0,008=0,16$

$x=\xi \cdot d=d\cdot (-{\alpha }_e\cdot {\rho }_l+\sqrt{({\alpha }_e\cdot {\rho }_l{)}^2+2\cdot {\alpha }_e\cdot {\rho }_l})$

$x=70\cdot (-0,16+\sqrt{0,16^2+2\cdot 0,16})$

$x=29,95cm$

Ermittlung der Krümmung

Krümmung im Zustand I

${\kappa }_I={\left(\frac{1}{r}\right)}_I=\frac{M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_I}$

${\kappa }_I=\frac{29925}{1000\cdot 1230468}=2,43\cdot 10^{-5}\frac{1}{cm}=2,43\cdot 10^{-3}\frac{1}{m}$

Krümmung im Zustand II

${\sigma }_s=\frac{M_{Ed}}{A_s\cdot (d-\frac{x}{3})}=\frac{29925}{19,64\cdot (70-\frac{29,95}{3})}=25,39\frac{kN}{c{m}^2}$

${\epsilon }_s=\frac{{\sigma }_s}{E_s}=\frac{25,39}{20000}=1,27\cdot 10^{-3}$

${\kappa }_{II}={\left(\frac{1}{r}\right)}_{II}=\frac{{\epsilon }_s}{d-x}$

${\kappa }_{II}=\frac{1,27\cdot 10^{-3}}{70-29,95}=3,17\cdot 10^{-5}\frac{1}{cm}=3,17\cdot 10^{-3}\frac{1}{m}$

Krümmung - wahrscheinlicher Wert

$\beta =1,0$

$\zeta =1-\beta \cdot {\left(\frac{M_{cr}}{M_{Ed}}\right)}^2=1-1\cdot {\left(\frac{7219}{29925}\right)}^2=0,942$

${\kappa }_m={\left(\frac{1}{r}\right)}_m=\zeta \cdot {\left(\frac{1}{r}\right)}_{II}+(1-\zeta )\cdot {\left(\frac{1}{r}\right)}_I$

${\kappa }_m={\left(\frac{1}{r}\right)}_m=0,942\cdot 3,17\cdot 10^{-3}+(1-0,942)\cdot 2,43\cdot 10^{-3}$

$\underset{\_}{{\kappa }_m=3,13\cdot 10^{-3}}$

Ermittlung der Krümmung infolge Schwinden

Krümmung im Zustand I

Steifigkeitsbeiwert für den Zustand II

${\kappa }_{cs,I}={\left(\frac{1}{r}\right)}_{cs}={\epsilon }_{cs}\cdot {\alpha }_e\cdot \frac{S_I}{I_I}$

$I_I=1230468c{m}^4$

$z_{s1}=\frac{h}{2}-(h-d)=\frac{75}{2}-(75-70)=32,5cm$

$S_I=A_s\cdot z_{s1}=19,64\cdot 32,5=638,3c{m}^3$

${\kappa }_{cs,I}=\frac{0,4}{1000}\cdot 20\cdot \frac{638,3}{1230468}=4,15\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=4,15\cdot 10^{-4}\frac{1}{m}$

Krümmung im Zustand II

${\kappa }_{cs,II}={\left(\frac{1}{r}\right)}_{cs}={\epsilon }_{cs}\cdot {\alpha }_e\cdot \frac{S_{II}}{I_{II}}$

$k_{II}=1$

$I_{II}=k_{II}\cdot I_I=1\cdot 1230468=1230468$

$S_{II}=A_s\cdot (d-x)=19,64\cdot (70-29,95)=786,58c{m}^3$

${\kappa }_{cs,II}=\frac{0,4}{1000}\cdot 20\cdot \frac{786,58}{1230468}=5,11\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=5,11\cdot 10^{-4}\frac{1}{m}$

Krümmung - wahrscheinlicher Wert

${\kappa }_{cs,m}={\left(\frac{1}{r}\right)}_{cs,m}=\zeta \cdot {\left(\frac{1}{r}\right)}_{cs,II}+(1-\zeta )\cdot {\left(\frac{1}{r}\right)}_{cs,I}$

${\kappa }_{cs,m}=0,942\cdot 5,11\cdot 10^{-4}+(1-0,942)\cdot 4,15\cdot 10^{-4}$

$\underset{\_}{{\kappa }_{cs,m}=5,05\cdot 10^{-4}\frac{1}{m}}$

Ermittlung der Gesamtkrümmung

${\kappa }_{m,tot}={\left(\frac{1}{r}\right)}_{m,tot}={\left(\frac{1}{r}\right)}_m+{\left(\frac{1}{r}\right)}_{cs,m}$

${\kappa }_{m,tot}=3,13\cdot 10^{-3}+5,05\cdot 10^{-4}$

$\underset{\_}{{\kappa }_{m,tot}=3,64\cdot 10^{-3}}$

Ermittlung der Durchbiegung

=>Einfeldträger, Gleichlast (Beiwert nach LITZNER vgl. Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile)

k=0,125

$w=k\cdot l^2\cdot {\left(\frac{1}{r}\right)}_{m,tot}$

$w=0,125\cdot 6^2\cdot 3,64\cdot 10^{-3}$

$\underset{\_}{\underset{\_}{w=0,016m=1,6cm}}$

Quellen

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