Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen (Bsp.)

Auf dieser Seite wird beispielhaft die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen ermittelt, die Theorie hierfür wird auf einer gesonderten Seite dargestellt (vgl. Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen.

Aufgabenstellung

Für eine Platte mit Rechteckquerschnitt und gegebener Bewehrung sollen die Mitwirkung des Betons im ungerissenen Zustand, bei Erreichung der Streckgrenze und zum Zeitpunkt des Bruchs berechnet werden. Als Festigkeiten sind die rechnerischen Mittelwerte anzusetzen

• b/h=100cm/25cm
• d=23cm
• B500A
• Längsbewehrung: R524 (A_s,vorh=5,24cm²)
• C 20/25
• $E_{cm}=10000{\frac {N}{mm^{2}}}=1000{\frac {kN}{cm^{2}}}$ (Mit der Berücksichtigung von Kriecheinflüssen)
• Kurzzeitbelastung

Modifizierung der Arbeitslinie des Stahls

Festigkeiten

$f_{yR}=1,1\cdot 500=550{\frac {N}{mm^{2}}}=55{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$f_{tR}=1,05\cdot 550=577,5{\frac {N}{mm^{2}}}=57,75{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$f_{ctm}=2,2{\frac {N}{mm^{2}}}=0,22{\frac {kN}{cm^{2}}}$

Vorbereitende Berechnung

Ermittlung des Rissbildungsmoments

$I_{I}={\frac {b\cdot h^{3}}{12}}={\frac {100\cdot 25^{3}}{12}}=130208cm^{4}$

$z_{I,c1}=12,5cm$

$M_{cr}={\frac {0,22\cdot 130208}{12,5}}=2292kNcm$

Ermittlung der Stahldehnung im Riss unter den Rissschnittgrößen

$\alpha _{e}={\frac {200000}{10000}}=20$

$x={\frac {\alpha _{e}\cdot A_{s1}}{b}}\cdot \left(-1+{\sqrt {1+{\frac {2\cdot b\cdot d}{\alpha _{e}\cdot A_{s1}}}}}\right)$

$x={\frac {20\cdot 5,24}{100}}\cdot \left(-1+{\sqrt {1+{\frac {2\cdot 100\cdot 23}{20\cdot 5,24}}}}\right)=5,97cm$

$z=d-{\frac {x}{3}}=23-{\frac {5,97}{3}}=21,01cm$

$\sigma _{s,cr2}={\frac {M_{cr}}{z\cdot A_{s1}}}={\frac {2292}{21,01\cdot 5,24}}=20,82{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$\varepsilon _{s,cr2}={\frac {20,92}{20000}}=1,041{\dot {1}}0^{-3}$

Ermittlung der mittleren Stahldehnungen im ungerissenen Zustand

$\varepsilon _{c1,cr1}=\varepsilon _{c2,cr1}={\frac {f_{ctm}}{E_{cm}}}={\frac {0,22}{1000}}=0,22\cdot 10^{-3}$

$\varepsilon _{s,cr1}=\varepsilon _{c1,cr1}\cdot {\frac {d-z_{I,c2}}{z_{I,c1}}}=0,22\cdot 10^{-3}\cdot {\frac {23-12,5}{12,5}}=0,185\cdot 10^{-3}$

${\underline {\underline {\varepsilon _{sm1}=\varepsilon _{s,cr1}=0,185\cdot 10^{-3}}}}$

Da im Zustand I noch keine Risse vorhanden sind, entspricht die mittlere Stahldehnung der Stahldehnung.

Ermittlung der mittleren Stahldehnung bei Erreichen der Streckgrenze

Dehnung an der Streckgrenze: $\varepsilon _{s2}=\varepsilon _{sy}={\frac {55}{20000}}=2,75\cdot 10^{-3}$

$\beta _{t}=0,4$ (Kurzzeitbelastung)

$\varepsilon _{smy}=\varepsilon _{s2}-\beta _{t}\cdot \left(\varepsilon _{s,cr2}-\varepsilon _{s,cr1}\right)$

$\varepsilon _{smy}=2,75\cdot 10^{-3}-0,4\cdot \left(1,041\cdot 10^{-3}-0,185\cdot 10^{-3}\right)$

${\underline {\underline {\varepsilon _{smy}=2,4076\cdot 10^{-3}}}}$

Ermittlung der mittleren Stahldehnung zum Zeitpunkt des Bruchs

Die Stahldehnung im Riss unter den Rissschnittgrößen wurde mithilfe der gegebenen Querschnittsgeometrie und Bewehrung mithilfe der ω-Tafeln ermittelt. Für die Ermittlung wurde die rechnerische Zugfestigkeit verwendet.

$\varepsilon _{s2}=\varepsilon _{st}=20,71\cdot 10^{-3}$

$\varepsilon _{smt}=\varepsilon _{sy}-\beta _{t}\cdot \left(\varepsilon _{s,cr2}-\varepsilon _{s,cr1}\right)+\delta _{t}\cdot \left(1-{\frac {\sigma _{sr}}{f_{y}}}\right)\cdot \left(\varepsilon _{s2}-\varepsilon _{sy}\right)$

$\varepsilon _{smt}=2,75\cdot 10^{-3}-0,4\cdot \left(1,041\cdot 10^{-3}-0,185\cdot 10^{-3}\right)+0,6\cdot \left(1-{\frac {0,185\cdot 10^{-3}\cdot 20000}{55}}\right)\cdot \left(20,71\cdot 10^{-3}-2,75\cdot 10^{-3}\right)$

${\underline {\underline {\varepsilon _{smt}=12,46\cdot 10^{-3}}}}$

Einfluss des Bewehrungsgrads auf die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

Im Folgenden soll der Einfluss des Bewehrungsgrads auf die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen an diesem Beispiel verdeutlich werden. Hierfür wird das Verhältnis der mittleren Stahldehnung zur Stahldehnung im Riss für unterschiedliche Bewehrungsgrade mit den hier vorgestellten Gleichungen ermittelt. Betrachtet werden die Dehnungen bei Erreichen der Streckgrenze.

Der Bewehrungsgrad wird zwischen dem minimal für die Sicherstellung der Duktilität erforderlichen und dem maximal ohne Druckbewehrung möglichen variiert.

Aus dem Diagramm geht hervor, dass der Einfluss der Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen mit steigendem Bewehrungsgrad abnimmt. Außerdem ist zu erkennen, dass Einfluss ab einem gewissen Bewehrungsgrad weniger stark abnimmt bzw. nahezu gleichbleibet.

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