Biegebemessung (einachsige Biegung): Unterschied zwischen den Versionen

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Beeinflusst wird die Tragfähigkeit von Biegebauteilen durch die Festigkeiten von Stahl und Beton sowie durch die Querschnittswerte (Breite, Höhe und Form der Druckzone, statische Nutzhöhe, Bewehrungsquerschnittsfläche).
 
Beeinflusst wird die Tragfähigkeit von Biegebauteilen durch die Festigkeiten von Stahl und Beton sowie durch die Querschnittswerte (Breite, Höhe und Form der Druckzone, statische Nutzhöhe, Bewehrungsquerschnittsfläche).
  
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Die Bemessung im Grenzzustand setzt voraus, dass die Bruchdehnung der Bewehrung oder des Betons überschritten wird und dementsprechend ein Stahl- oder Betonversagen eintritt (vgl. Bild… und Bild …). Abhängig von der Beton- und Stahldehnung können dabei fünf Dehnungsbereiche unterschieden werden:
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Die Bemessung im Grenzzustand setzt voraus, dass die Bruchdehnung der Bewehrung oder des Betons überschritten wird und dementsprechend ein Stahl- oder Betonversagen eintritt (vgl. Bild… und Bild …). Abhängig von der Beton- und Stahldehnung können dabei fünf Dehnungsbereiche unterschieden werden<ref Name = "Q1">Wommelsdorff,O., Albert,A., Fischer,J., Stahlbetonbau-Bemessung und Konstruktion Teil 1, 11. Auflage, Köln: Bundesanzeiger Verlag, 2017</ref>:
  
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'''Dehnungsbereiche 1:'''
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<ul>
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Im gesamten treten ausschließlich Zugdehnungen auf. Die Bewehrung erreicht ihre Bruchdehnung von 25\textperthousand, das Versagen findet durch das Versagen der Bewehrung statt. Da vor dem Versagen die Fließgrenze überschritten wird, findet eine Ankündigung des Versagens durch breite Risse statt.
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<li>'''Dehnungsbereiche 1:'''
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Im gesamten treten ausschließlich Zugdehnungen auf. Die Bewehrung erreicht ihre Bruchdehnung von 25&permil;, das Versagen findet durch das Versagen der Bewehrung statt. Da vor dem Versagen die Fließgrenze überschritten wird, findet eine Ankündigung des Versagens durch breite Risse statt.<br />
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<math> \varepsilon_o>0 </math> <br />
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<math> \varepsilon_u>0 </math>
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wobei:
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:{|
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|-
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| <math> \varepsilon_o </math> … || untere Randspannung
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|-
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| <math> \varepsilon_u </math> … || obere Randspannung
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|}</li>
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<br />     
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<li>'''Dehnungsbereiche 2:'''
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Die Grenzdehnung der Zugbewehrung wird erreicht, in der Druckzone sind noch Tragreserven vorhanden. Das Versagen findet durch Versagen der Zugbewehrung mit Vorankündigung statt.<br />
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<math> \varepsilon_{s1}=\varepsilon_{su} </math> <br />
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<math> 0>\varepsilon_c>\varepsilon_{c2u} </math></li> 
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<li>'''Dehnungsbereiche 3:'''
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Die Fließgrenze des Stahls wird überschritten, die Bruchdehnung der Bewehrung wird aber nicht erreicht. Die Bruchdehnung der Betondruckzone wird erreicht. Das Versagen findet durch das Versagen der Betondruckzone statt. Trotz des Betonversagens findet eine Versagensankündigung statt, da der Stahl vor dem Bruch plastizieren kann.<br />
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<math> \varepsilon_{su}>\varepsilon_{s1}>\varepsilon_{y} </math> <br />
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<math> \varepsilon_c=\varepsilon_{c2u} </math></li> 
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<li>'''Dehnungsbereiche 4:'''
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Der Stahl erreicht die Fließgrenze nicht, die Bruchdehnung des Betons wir überschritten. Die maßgebende Versagensart ist das Betonversagen, da die Stahldehnung unter der Fließgrenze bleibt, findet keine Vorankündigung des Versagens statt. Da wegen der geringen Stahldehnung nicht die volle Zugfestigkeit des Stahls aktiviert wird, ergibt die Bemessung in diesem Bereich große, unwirtschaftliche Bewehrungsquerschnittsflächen.<br /><br />
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<math> \varepsilon_{y}>\varepsilon_{s1}</math> <br />
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<math> \varepsilon_c=\varepsilon_{c2u} </math></li> 
 +
<br />
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<li>'''Dehnungsbereiche 5:'''
 +
Im gesamten Querschnitt treten nur Druckbeanspruchungen auf. Das Versagen findet durch Versagen des Betons ohne Vorankündigung statt.<br />
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<math> \varepsilon_o<0 </math> <br />
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<math> \varepsilon_u<0 </math></li>
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<br /> 
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</ul>
 +
Für überwiegend biegebeanspruchte Bauteile sind die Dehnungsbereiche 2 bis 4 relevant. Querschnitt im Dehnungsbereich 1 und 5 sind überwiegend längskraftbeansprucht. Bei der Bemessung ist stets ein Versagen mit Vorankündigung anzustreben, die Querschnitte sollten sich dementsprechend in den Dehnungsbereichen 2 oder 3 befinden.
  
−
Dehnungsbereiche 2:
+
==Spannungsdehnungslinie==
−
Die Grenzdehnung der Zugbewehrung wird erreicht, in der Druckzone sind noch Tragreserven vorhanden. Das Versagen findet durch Versagen der Zugbewehrung mit Vorankündigung statt.
+
Unter der Voraussetzung, dass sich der Querschnitt in einem der Dehnungsbereiche 1 bis 3 befindet, kann die Spannungs-Dehnungs-Linie von biegebeanspruchten Stahlbetonbauteilen wie auch die für solche unter Zugbeanspruchung in verschiedene Bereiche bzw. Zustände eingeteilt werden:
  
−
Dehnungsbereiche 3:
+
<ul>
−
Die Fließgrenze des Stahls wird überschritten, die Bruchdehnung der Bewehrung wird aber nicht erreicht. Die Bruchdehnung der Betondruckzone wird erreicht. Das Versagen findet durch das Versagen der Betondruckzone statt. Trotz des Betonversagens findet eine Versagensankündigung statt, da der Stahl vor dem Bruch plastizieren kann.
+
<li>'''Zustand I:''' In diesem Zustand ist der Beton noch ungerissen, die Betonzugfestigkeit wurde noch in keinem Punkt überschritten, er endet mit der erstmaligen Überschreitung der Betonzugfestigkeit und somit mit der Entstehung des Erstrisses. Im Zustand I spielt die Bewehrung, wegen der geringen Dehnung, welche auch nur eine geringe Zugfestigkeit bewirkt, noch keine Rolle. Das Elastizitätsmodul entspricht dem des Betons.</li>
 +
<li>'''Zustand IIa:''' Dies ist der Bereich, in dem die Rissbildung stattfindet. Er endet, wenn die Rissabstände so gering sind, dass die Zugfestigkeit des Betons zwischen den Rissen nicht mehr überschritten wird. In der Zugzone des Rissquerschnitts beteiligt sich der Beton nicht mehr am Lastabtrag. Die Rissbildung ist mit einem Steifigkeitsabfall verbunden.</li>
 +
<li>'''Zustand IIb:''' Die Rissbildung ist abgeschlossen, bei zunehmender Stahlspannung treten keine neuen Risse mehr auf. Die mit der zunehmenden Stahlspannung verbundenen Stahldehnungen führen zu einer Verbreiterung der vorhandenen Risse. Zustand II a endet, wenn die Fließgrenze erreicht wird.</li>
 +
<li>'''Zustand III:''' Der Stahl beginnt nach der Überschreitung der Fließgrenze zu plastizieren. Es findet noch eine leichte Steigerung der Stahlspannungen statt. Zustand III endet mit dem Versagen der Bewehrung oder der Betondruckzone.</li>
 +
</ul>
  
−
Dehnungsbereiche 4:
+
Befindet sich der Querschnitt im Dehnungsbereich 4 gelten die gleichen Beziehungen abgesehen davon, dass Zustand III entfällt, da vor der Erreichung der Fließgrenze des Stahls das Betonversagen stattfindet.
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Der Stahl erreicht die Fließgrenze nicht, die Bruchdehnung des Betons wir überschritten. Die maßgebende Versagensart ist das Betonversagen, da die Stahldehnung unter der Fließgrenze bleibt, findet keine Vorankündigung des Versagens statt. Da wegen der geringen Stahldehnung nicht die volle Zugfestigkeit des Stahls aktiviert wird, ergibt die Bemessung in diesem Bereich große, unwirtschaftliche Bewehrungsquerschnittsflächen.
 
  
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Dehnungsbereiche 5:
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Im Zustand I sind die Spannungen noch linear über den Querschnitt verteilt (vgl. Bild…), eine geschlossene Ermittlung der inneren Schnittgrößen ist daher möglich. Im Zustand II und III sind die Spannungen nicht mehr linear über den Querschnitt verteilt; in der Zugzone wird die Betonspannung null, da die Bemessung im Rissquerschnitt stattfindet. Außerdem wird die Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons wegen der höheren Dehnungen nichtlinear<ref Name = "Q2">Zilch,K., Zehetmaier,G., Bemessung im konstruktiven Betonbau, 2. Auflage, Berlin/Heidelberg: Springer Verlag, 2006</ref>.
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Im gesamten Querschnitt treten nur Druckbeanspruchungen auf. Das Versagen findet durch Versagen des Betons ohne Vorankündigung statt.
 
  
−
Für überwiegend biegebeanspruchte Bauteile sind die Dehnungsbereiche 2 bis 4 relevant. Querschnitt im Dehnungsbereich 1 und 5 sind überwiegend längskraftbeansprucht. Bei der Bemessung ist stets ein Versagen mit Vorankündigung anzustreben, die Querschnitte sollten sich dementsprechend in den Dehnungsbereichen 2 oder 3 befinden.
+
==Sicherstellung der Duktilität==
  
 +
Um eine ausreichende Versagensankündigung zu garantieren, ist sicherzustellen, dass die bei der Rissbildung freiwerdenden Zugkräfte durch die Zugbewehrung ohne schlagartiges Versagen aufgenommen werden können. Dies wird durch die Anordnung einer Mindestbewehrung sichergestellt.
  
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Die Biegebemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit hat die Aufgaben,  
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Außerdem ist sicherzustellen, dass die Stahldehnung zum Versagenszeitpunkt über der Fließgrenze liegt. Hierfür ist die Druckzonenhöhe zu begrenzen. Wenn die Betonstauchung am oberen Rand der Bruchstauchung des Betons entspricht, findet eine Erhöhung der aufnehmbaren Betondruckkraft nur noch durch die Vergrößerung der Druckzone statt<ref name = "Q2"></ref>, hierdurch sinkt der Hebelarm der inneren Kräfte. Aufgrund der linearen Dehnungsverteilung über die Querschnittshöhe nimmt außerdem mit steigender Druckzonenhöhe x die Dehnung der Zugbewehrung ab. Wenn die Stahldehnung der Zugbewehrung dabei unter die Fließgrenze fällt, kommt es zu unwirtschaftlichen Bemessungsergebnissen und zu einem Versagen ohne Vorankündigung.
  
−
*nachzuweisen, dass der vorab gewählte Betonquerschnitt in der Lage ist die vorhandenen Druckspannungen aufzunehmen und  
+
Der theoretische Wert der bezogenen Druckzonenhöhe, bei dem die Dehnung der Zugbewehrung die Fließgrenze noch geradeso erreicht, beträgt x/d=0,617. Gemäß DIN EN 1992-1-1/NA 5.4<ref Name = "Q3">DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013</ref> sollte x/d für normalfeste Beton kleiner als 0,45 und für hochfeste Betone kleiner als 0,35 sein.
  
−
*die erforderliche Stahlquerschnittsfläche der Biegezugbewehrung an den Stellen der maximalen Biegebeanspruchung zu bestimmen.
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Um die bezogene Druckzonenhöhe zu begrenzen, gibt es zwei Möglichkeiten. Die erste Möglichkeit ist eine Verbreiterung der Druckzone (vgl. Plattenbalken), die zweite die Anordnung einer Druckbewehrung (vgl. Druckbewehrung).
  
 +
=Bemessung=
 +
Die Biegebemessung erfolgt für Bauteile im Zustand II im Rissquerschnitt. Eine geschlossene Lösung ist wegen der Nichtlinearität im Zustand II nicht mehr möglich. Aus demselben Grund ist auch die getrennte Bemessung für Normalkraft und Momente ausgeschlossen, da die Superposition der Auswirkung beider Lastfälle nicht mehr möglich ist<ref name = "Q2"></ref>.
  
−
Um eine Bemessung des Querschnitts im Grenzzustand der Tragfähigkeit zu ermöglichen, werden im Voraus folgende grundlegende Annahmen getroffen:<ref Name = "Name der Quelle">Schneider Bautabellen für Ingenieure, 20. Auflage, Köln: Werner Verlag, 2012</ref><br />
+
==Vorbemessung==
  
−
*Querschnitte, die vor der Verformung eben waren, bleiben eben (Bernoulli Hypothese)
+
==äußere Schnittgrößen==
 +
In der Regel ist es sinnvoll die äußeren Schnittgrößen auf die Schwerelinie der Bewehrung zu beziehen. Verschiebt man die Normalkraft für die Bemessung auf die Schwerelinie der Bewehrung, ist dies auch beim einwirkdenden Moment zu berücksichtigen.
  
 +
<math> M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1} </math>
  
−
*Es liegt vollkommener Verbund vor, das heißt die Dehnungen des Betons entsprechen den Dehnungen des Betonstahls
+
wobei:
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:{|
 +
|-
 +
| <math> z_{s1} </math> … || Abstand der Schwerelinie der Zugbewehrung zur Schwerelinie des Querschnitts
 +
|}<br />
  
 +
==Grundsätzliche Annahmen==
  
−
*Die Zugfestigkeit des Betons darf im Grenzzustand der Tragfähigkeit nicht berücksichtigt werden, das heißt sämtliche Zugkräfte müssen durch den Betonstahl aufgenommen werden
+
Die folgenden Voraussetzungen werden der Biegebemessung zugrunde gelegt:
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<ul>
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<li>Die Hypothese von Bernoulli gilt, d.h. dass die angenommen wird, dass die Dehnungen linear über den Querschnitt verteilt sind (Ebenbleiben der Querschnitte). Diese Annahme gilt für schlanke ist für schlanke Bauteile erfüllt (l/h$\geq$2 bzw. für Kragträger $l_k\geq1$), nicht erfüllt ist sie in Bereichen mit konzentrierter Lasteinleitung (z. B. unter Einzellasten oder im Auflagerbereich). Für Bereiche in denen nicht davon ausgegangen werden kann, dass die Dehnungen linear über den Querschnitt verteilt sind, müssen andere Bemessungsverfahren verwendet werden z.B. Stabwerkmodelle.</li>
  
 +
<li>Die Zugfestigkeit des Betons wird in der Bemessung nicht angesetzt, die Bemessung erfolgt im Rissquerschnitt.</li>
  
−
*Für die Spannungs-Stauchungs- Verknüpfung im Beton gilt im Regelfall folgendes vereinfachtes Diagramm:
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<li>Zwischen der Bewehrung und dem Beton wird starrer Verbund vorausgesetzt, d.h. die Dehnung der Bewehrung entspricht der der angrenzenden Betonfaser.</li>
  
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:::[[Datei:Spannung Beton.PNG]]
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<li>Für die Spannungsdehnungslinie des Betons und der Bewehrung gelten die Zusammenhänge aus Bild … und Bild ….</li>
  
−
Gilt für Betone der Festigkeitsklasse bis C50/60 bzw. Leichtbetone bis C50/55
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<li>Die Ermittlung des Bauteilwiderstands erfolgt durch Variation der Dehnungsebenen, bis sich innere und äußere Schnittgrößen im Gleichgewicht befinden. Da dies ein iterativer Prozess ist, der bei einer Handrechnung einen hohen Aufwand bedeutet, werden i.d.R Bemessungshilfsmittel verwendet. Für die Erstellung von Bemessungshilfsmitteln bietet sich die Verwendung von dimensionslosen Beiwerten an.</li>
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−
 
 
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*Die Spannungs-Dehnungs/Stauchungs-Verhältnisse im Stahlbeton werden für die Bemessung wie folgt beschrieben:
 
  
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<li>Im Folgenden werden das allgemeine Bemessungsdiagramm, das $\omega$-Verfahren und das $k_d$-Verfahren. Anschließend findet auch noch eine Herleitung der Gleichungen für die Biegebemessung mit einem parabel-rechteckförmigen Spannungsverlauf in der Druckzone (iterative Lösung) und mit dem vereinfachten rechteckförmigen Spannungsblock (geschlossene Lösung) statt.</li>
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</ul>
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[[Datei:Spannung Beton.PNG]]
 
[[Datei:Spannung Stahl.PNG]]
 
[[Datei:Spannung Stahl.PNG]]
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Linie I: Zur Vereinfachung wird ein horizontal weiterlaufender Ast angenommen f<sub>yk</sub>=500N/mm²
 
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Linie II: Ansteigender Ast zugelassen zur Querschnittsbemessung, wenn die Dehnung maximal &epsilon;<sub>ud</sub>=25 &permil; beträgt
 
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*Es gelten folgende möglichen Dehnungsverteilungen im Stahlbetonquerschnitt:<ref Name = "Name der Quelle1">Avak,R., Conchon,R., Aldejohann,M., Stahlbetonbau in Beispielen Teil 1, 7. Auflage, Nürnberg/Düsseldorf: Bundesanzeiger Verlag, 2016</ref><br />
 
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[[Datei:Dehnungsverteilung Stahlbeton.PNG]]
 
[[Datei:Dehnungsverteilung Stahlbeton.PNG]]
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Für Betone bis zur Festigkeitsklasse C50/60 gelten die Grenzstauchungen:
 
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−
&epsilon;<sub>c2</sub>=-3,5&permil; bei Biegebeanspruchung und
 
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&epsilon;<sub>c2</sub>=&epsilon;<sub>c1</sub>=-2,2&permil; bei zentrischem Druck
 
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Der Betonstahl versagt bei einer Grenzdehnung von &epsilon;<sub>s1</sub>=&epsilon;<sub>s2</sub>=25&permil;
 
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==Nachweisführung und Bewehrungsermittlung mit Bemessungshilfen==
 
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Eine iterative Handrechnung ist in der Praxis sehr umständlich und daher nicht üblich.
 
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Der Nachweis der Grenztragfähigkeit und die Ermittlung der Längsbewehrung erfolgen im Allgemeinen mit Bemessungstafeln, wie sie beispielsweise in [Schneider Bautabellen für Ingenieure 20.Auflage Abs.5.6 Tafeln 1-9] zu finden sind.<ref>Goris,A., Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1, 5. Auflage, Siegen: Beuth, 2014</ref><br />
 
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Um mit den Bemessungshilfen arbeiten zu können, müssen die Bauteilabmessungen und Materialparameter bekannt sein.
 
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Die statische Nutzhöhe d kann für den Fall, dass sie vor der Bewehrungsermittlung noch unbekannt ist über eine Vorbemessung
 
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abgeschätzt werden und gegebenenfalls nach der Bewehrungswahl noch einmal korrigiert werden und für eine erneute Bemessung verwendet werden.
 
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Mit Hilfe der Bemessungstafeln bzw. Diagrammen kann nun bei bekanntem maximalen einwirkenden Moment die erforderliche Bewehrung,
 
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oder bei bekanntem Bewehrungsquerschnitt das maximal aufnehmbare Moment ermittelt werden.
 
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Um die Verwendung der Hilfsmittel '''Querschnittsunabhängig''' und damit '''allgemein anwendbar''' zu machen, werden verschiedene dimensionslose bezogene Parameter entwickelt:<ref name="Name der Quelle1" /><ref Name = "Name der Quelle2">Bolle,G., Skript Stahlbetonbau 1, Themenkomplex 5- Bemessung bei überwiegender Biegung im Grenzzustand der Tragfähigkeit (Rechteckquerschnitt), Wismar, 2014</ref><br />
 
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[[Datei:Beiwerte.PNG]]
 
[[Datei:Beiwerte.PNG]]
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Einwirkende Schnittgrößen müssen auf die mit Hilfe von zs1 auf den Schwerpunkt der Bewehrung übertragen werden:
 
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<math>M_\mathrm{Eds}=M_\mathrm{Ed}-N_\mathrm{Ed}\cdot z\mathrm{s1}~</math> (entfällt im Modul S340.de, da keine Normalkraft definierbar)
 
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Das bezogene Moment in der Höhe der gesuchten Bewehrung ergibt sich zu:
 
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<math>\mu_\mathrm{Eds}=\cfrac{M_\mathrm{Eds}}{b\cdot d^2 \cdot f_\mathrm{cd}}~</math>
 
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Die Betondruckkraft Fcd ergibt sich, indem die Fläche der Druckspannungen <math>\sigma_\mathrm{cd}~</math> über die Druckzonenhöhe <math>x~</math> integriert wird:
 
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<math>F_\mathrm{cd}=\int_0^x \sigma_\mathrm{cd}\cdot b \cdot dz~</math>
 
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−
 
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Mit dem Völligkeitsbeiwert <math>\alpha_{R}~</math>, der das Verhältnis der integrierten Fläche zur einhüllenden Rechteckfläche beschreibt, ergbibt sich:
 
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<math>F_{cd}=\alpha_{R}\cdot b\cdot x\cdot f_{cd}~</math>
 
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Es wird eine bezogene Druckzonenhöhe eingeführt: <math>\xi = \cfrac{x}{d}~</math> bzw. <math>x=\xi\cdot d~</math>
 
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<math>F_{cd}=\alpha_{R}\cdot b\cdot \xi\cdot d\cdot f_{cd}~</math>oder auch: <math>\cfrac{F_{cd}}{b\cdot d\cdot f_{cd}}= \alpha_{R}\cdot \xi ~</math>
 
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−
 
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Mit dem Bauteilwiderstand <math>M_{Rds}=F{cd}\cdot z~</math> und der Aussage: <math>M_{Eds}=M_{Rds}~</math>und dem bezogenen Moment:
 
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<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}=\cfrac{F_{cd}}{b\cdot d\cdot f_{cd}}\cdot \cfrac{z}{d}~</math>
 
−
 
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Es wird ein bezogener innerer Hebelarm <math>\zeta~</math> eingeführt aus:
 
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<math>a=k\cdot x=k_{a}\cdot \xi \cdot d~</math> und <math>z= d- a= (1- k_{a}\cdot \xi)\cdot d= \zeta\cdot d~</math>
 
−
 
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<math>a=~</math> Abstand von <math>F_{cd}~</math> zur oberen Bauteilkante
 
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Aus allen jetzt bekannten Beziehungen ergibt sich:
 
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<math>\mu_{Eds}= \cfrac{\alpha_{R}\cdot b\cdot \xi\cdot d\cdot f_{cd}}{b\cdot d\cdot f_{cd}}\cdot \cfrac{(1-k_{a}\cdot \xi)\cdot d}{d}~</math>
 
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&rArr; <math>\underline{\mu_{Eds}= \alpha_{R}\cdot \xi\cdot \zeta}~</math>
 
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−
Die erforderliche Bewehrung lässt sich wie folgt ermitteln:
 
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<math>N_{Rd}= F_{sd}- F_{cd}~</math> mit <math>N_{Ed}= N_{Rd}~</math>
 
−
 
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&rArr;<math>F_{sd}= F_{cd}+ N_{Ed}~</math>
 
−
 
−
 
−
Mit bekanntem <math>M_{Eds}= F_{cd}\cdot z~</math> ergibt sich <math>F_{sd}=\cfrac{M_{Eds}}{z}+N_{Ed}~</math>
 
−
 
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<math>F_{sd}= \sigma_{sd}\cdot A_{s}~</math> unter der Annahme <math>\sigma_{sd}=f_{yd}~</math>
 
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−
 
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&rArr;<math>\underline{A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}}\cdot (\cfrac{M_{Eds}}{z}+N_{Ed})}~</math>
 
−
 
−
 
−
Die hergeleiteten dimensionslosen Parameter hängen nur von dem vorgegebenen Dehnungsverhältnis ab, nicht aber von den Abmessungen des Bauteils.
 
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Werden die Beziehungen für alle zulässigen Dehnungsverhältnisse ausgewertet, können Bemessungshilfen erstellt werden,
 
−
 
−
mit denen bei bekanntem Dehnungsverhältnis, das aufnehmbare Moment und die erforderliche Bewehrung, ermittelt werden können.
 
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===Allgemeines Bemessungsdiagramm===
 
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[[Allgemeines Bemessungsdiagramm|Allgemeines Bemessungsdiagramm]]<ref name="Name der Quelle" />
 
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Das allgemeine Bemessungsdiagramm ist für alle Normalbetone bis zur Festigkeitsklasse '''C50/60''' anwendbar.
 
−
 
−
Als Eingangswert dient entweder das bezogene Moment
 
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−
<math>\mu_{Eds}= \cfrac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}~</math>
 
−
 
−
 
−
Es können alle dazugehörigen Parameter und die Dehnungsverteilung abgelesen werden und die erforderliche Bewehrung mit:
 
−
 
−
<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}}\cdot (\cfrac{M_{Eds}}{z}+ N_{Ed})~</math>  ermittelt werden.
 
−
 
−
 
−
Oder, bei bekannter Bewehrungsquerschnittsfläche, der Druckzonenparameter:
 
−
 
−
<math>\nu_{cd}=\cfrac{f_{yd}\cdot A_{s}}{f_{cd}\cdot b\cdot d}~</math>
 
−
 
−
 
−
Damit kann das bezogene Moment abgelesen und die Tragfähigkeit durch umstellen der Formel zu
 
−
 
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<math>M_{Eds}=\mu_{Eds}\cdot f_{cd}\cdot b\cdot d~</math> ermittelt werden.
 
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−
 
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'''Hinweis''': Bei Verwendung des Diagramms sind immer geringe Ableseungenauigkeiten zu erwarten
 
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===Bemessungstafeln mit dimensionslosen Beiwerten (Omega-Verfahren)===
 
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Die Bemessungstafeln zeigen das allgemeine Bemessungsdiagramm in tabellierter Form, erweitert um den mechanischen Bewehrungsgrad <math>\omega~</math> <ref name="Name der Quelle1" />
 
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<math>\omega=\cfrac{A_{s}\cdot \sigma_{sd} - N_{Ed}}{b\cdot d\cdot f_{cd}}~</math>
 
−
 
−
 
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Mit bekanntem Moment dient wieder das bezogene Moment <math>\mu_{Eds}~</math> als Einganswert und <math>\omega~</math> kann abgelesen werden (Entweder ungünstigerer Wert oder interpolieren)
 
−
 
−
und über die Formel <math>A_{s}=\cfrac{1}{\sigma_{sd}}\cdot (\omega\cdot b\cdot d\cdot f_{cd} + N_{Ed})~</math> der erforderliche Bewehrungsquerschnitt ermittelt werden.
 
−
 
−
Bei bekanntem Querschnitt kann durch umstellen der Formel zu <math>\omega= \cfrac{A_{s}\cdot f_{yd}}{f_{cd}\cdot b\cdot d}~</math>, <math>\omega~</math> als Eingangswert verwendet werden.
 
−
 
−
<math>\mu_{Eds}</math> kann abgelesen werden und das aufnehmbare Moment ermittelt werden.
 
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−
Auszug aus dimensionsloser Tabelle:<ref name="Name der Quelle" />
 
−
 
 
[[Datei:Dimensionslos.PNG]]
 
[[Datei:Dimensionslos.PNG]]
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===Bemessungstafeln mit dimensionsgebundenen Beiwerten (kd–Verfahren)===
 
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Für das kd-Verfahren werden dimensionsgebundene, von der Festigkeitsklasse abhängige <math>k_{d}~</math>-Beiwerte ermittelt. <ref name="Name der Quelle1" />
 
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<math>k_{d}=\cfrac{d[cm]}{\sqrt{M_{Eds}[kNm]/ b[m]}}~</math>
 
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<math>k_{s}~</math> - Wert wird abgelesen und der Stahlquerschnitt ermittelt
 
−
 
−
 
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<math>A_{s}[cm^2]=k_{s}\cdot \cfrac{M_{Eds}[KnM]}{d[cm]}+ \cfrac{N_{Ed}[kN]}{43,5}~</math>
 
−
 
−
 
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Bei bekanntem Querschnitt wird <math>k_{s}~</math> durch entsprechendes umstellen der Formel ermittelt,
 
−
 
−
-> <math>k_{d}~</math> abgelesen und das aufnehmbare Moment ermittelt.
 
−
 
−
 
−
Auszug aus dimensionsgebundener Tabelle:<ref name="Name der Quelle" />
 
−
 
 
[[Datei:Dimensionsgebunden.PNG]]
 
[[Datei:Dimensionsgebunden.PNG]]
−
 
+
=Quellen=
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−
 
 
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Mit steigender Belastung, steigt auch das bezogene Moment und die Höhe der Druckzone, so kann es bei zu hohen
 
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−
Beanspruchungen der Druckzone zu einem unangekündigtem Versagen kommen.
 
−
 
 
−
Aus diesem Grunde wird die bezogene Höhe der Druckzone auf den Wert <math>\xi_{lim}~</math> begrenzt.
 
−
 
 
−
 
 
−
<math>\xi_{lim}~</math> lässt sich folgendermaßen ermitteln: <math>\xi_{lim}=\cfrac{\epsilon_{cu2}}{\epsilon_{cu2}-\epsilon_{sy}}~</math>
 
−
 
 
−
 
 
−
Für Normalbetone <C50/60 ergibt sich aufgrund der selben Randstauchung <math>\epsilon_{cu2}~</math> für <math>\xi_{lim}=0,617~</math>
 
−
 
 
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Sollte dieser Grenzwert überschritten werden, muss die Druckzone durch zusätzliche "Druckbewehrung" verstärkt werden.
 
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Hierzu gibt es ebenfalls Bemessungshilfen.
 
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Bei Plattenbalken, die mit der Platte in der Druckzone liegen, muss keine Druckbewehrung angeordnet werden.
 
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===Vorgehensweise Plattenbalken===
 
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Bei der Biegebemessung von Plattenbalken ist zunächst die [[Mitwirkende Plattenbreite|Mitwirkende Plattenbreite]] zu ermitteln.
 
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Befindet sich die Platte in der Druckzone, ist das bezogene Moment <math>\mu_{Eds}~</math> mit der effektiven Plattenbreite zu ermitteln<ref name="Name der Quelle2" />
 
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Mit dem bezogenen Moment als Eingangswert wird aus der Tafel für Rechteckquerschnitte <math>\xi~</math> abgelesen.
 
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Bei <math>\xi < \cfrac{h_{f}}{d}~</math> liegt die Dehnungsnulllinie in der Platte und die Bemessung kann wie bei einem Rechteckquerschnitt erfolgen.
 
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Bei <math>\xi > \cfrac{h_{f}}{d}~</math> liegt die Dehnungsnulllinie im Steg und es muss mit gesonderten Tafeln für Plattenbalken gearbeitet werden.
 
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Im Bereich negativer Momente muss ebenfalls die Lage der Dehnungsnulllinie geprüft werden,
 
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sollte sie im Steg liegen ist ebenso wie bei einem Rechteckquerschnitt vorzugehen mit der Breite <math>b=~</math> Stegbreite.
 
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Um die richtige Tafel für Plattenbalkenquerschnitte zu wählen müssen die Verhältnisse <math>\cfrac{h_{f}}{d}~</math> und <math>\cfrac{b_{f}}{b_{w}}~</math> ermittelt werden.
 
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Anschließend kann aus der passenden Tafel <math>\omega~</math> abgelesen werden und die Querschnittsfläche der Bewehrung über
 
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<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}}\cdot (\omega\cdot b_{f}\cdot f_{cd}+ N_{Ed})~</math>
 
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errechnet werden.
 
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==Quellen==
 
  
 
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Version vom 9. April 2024, 23:17 Uhr

Ziel der Bemessung bzw. des Nachweises eines überwiegend beanspruchten Bauteils ist nachzuweisen, dass der Querschnitt die äußeren Schnittgrößen ( und ) im Grenzzustand der Tragfähigkeit aufnehmen kann. Bei der Bemessung wird das aufnehmbare Moment durch die Veränderung der Bewehrungsquerschnittsfläche an die vorhandenen äußeren Schnittgrößen angepasst. Beim Nachweis eines biegebeanspruchten Bauteils wird für eine gegebene Bewehrung überprüft, ob die aufnehmbaren Schnittgrößen die einwirkenden Schnittgrößen übersteigt.


Tragverhalten

Dehnungsbereiche

Beeinflusst wird die Tragfähigkeit von Biegebauteilen durch die Festigkeiten von Stahl und Beton sowie durch die Querschnittswerte (Breite, Höhe und Form der Druckzone, statische Nutzhöhe, Bewehrungsquerschnittsfläche).

Die Bemessung im Grenzzustand setzt voraus, dass die Bruchdehnung der Bewehrung oder des Betons überschritten wird und dementsprechend ein Stahl- oder Betonversagen eintritt (vgl. Bild… und Bild …). Abhängig von der Beton- und Stahldehnung können dabei fünf Dehnungsbereiche unterschieden werden[1]:

  • Dehnungsbereiche 1: Im gesamten treten ausschließlich Zugdehnungen auf. Die Bewehrung erreicht ihre Bruchdehnung von 25‰, das Versagen findet durch das Versagen der Bewehrung statt. Da vor dem Versagen die Fließgrenze überschritten wird, findet eine Ankündigung des Versagens durch breite Risse statt.



    wobei:
    … untere Randspannung
    … obere Randspannung


  • Dehnungsbereiche 2: Die Grenzdehnung der Zugbewehrung wird erreicht, in der Druckzone sind noch Tragreserven vorhanden. Das Versagen findet durch Versagen der Zugbewehrung mit Vorankündigung statt.



  • Dehnungsbereiche 3: Die Fließgrenze des Stahls wird überschritten, die Bruchdehnung der Bewehrung wird aber nicht erreicht. Die Bruchdehnung der Betondruckzone wird erreicht. Das Versagen findet durch das Versagen der Betondruckzone statt. Trotz des Betonversagens findet eine Versagensankündigung statt, da der Stahl vor dem Bruch plastizieren kann.



  • Dehnungsbereiche 4: Der Stahl erreicht die Fließgrenze nicht, die Bruchdehnung des Betons wir überschritten. Die maßgebende Versagensart ist das Betonversagen, da die Stahldehnung unter der Fließgrenze bleibt, findet keine Vorankündigung des Versagens statt. Da wegen der geringen Stahldehnung nicht die volle Zugfestigkeit des Stahls aktiviert wird, ergibt die Bemessung in diesem Bereich große, unwirtschaftliche Bewehrungsquerschnittsflächen.



  • Dehnungsbereiche 5: Im gesamten Querschnitt treten nur Druckbeanspruchungen auf. Das Versagen findet durch Versagen des Betons ohne Vorankündigung statt.



Für überwiegend biegebeanspruchte Bauteile sind die Dehnungsbereiche 2 bis 4 relevant. Querschnitt im Dehnungsbereich 1 und 5 sind überwiegend längskraftbeansprucht. Bei der Bemessung ist stets ein Versagen mit Vorankündigung anzustreben, die Querschnitte sollten sich dementsprechend in den Dehnungsbereichen 2 oder 3 befinden.

Spannungsdehnungslinie

Unter der Voraussetzung, dass sich der Querschnitt in einem der Dehnungsbereiche 1 bis 3 befindet, kann die Spannungs-Dehnungs-Linie von biegebeanspruchten Stahlbetonbauteilen wie auch die für solche unter Zugbeanspruchung in verschiedene Bereiche bzw. Zustände eingeteilt werden:

  • Zustand I: In diesem Zustand ist der Beton noch ungerissen, die Betonzugfestigkeit wurde noch in keinem Punkt überschritten, er endet mit der erstmaligen Überschreitung der Betonzugfestigkeit und somit mit der Entstehung des Erstrisses. Im Zustand I spielt die Bewehrung, wegen der geringen Dehnung, welche auch nur eine geringe Zugfestigkeit bewirkt, noch keine Rolle. Das Elastizitätsmodul entspricht dem des Betons.
  • Zustand IIa: Dies ist der Bereich, in dem die Rissbildung stattfindet. Er endet, wenn die Rissabstände so gering sind, dass die Zugfestigkeit des Betons zwischen den Rissen nicht mehr überschritten wird. In der Zugzone des Rissquerschnitts beteiligt sich der Beton nicht mehr am Lastabtrag. Die Rissbildung ist mit einem Steifigkeitsabfall verbunden.
  • Zustand IIb: Die Rissbildung ist abgeschlossen, bei zunehmender Stahlspannung treten keine neuen Risse mehr auf. Die mit der zunehmenden Stahlspannung verbundenen Stahldehnungen führen zu einer Verbreiterung der vorhandenen Risse. Zustand II a endet, wenn die Fließgrenze erreicht wird.
  • Zustand III: Der Stahl beginnt nach der Überschreitung der Fließgrenze zu plastizieren. Es findet noch eine leichte Steigerung der Stahlspannungen statt. Zustand III endet mit dem Versagen der Bewehrung oder der Betondruckzone.

Befindet sich der Querschnitt im Dehnungsbereich 4 gelten die gleichen Beziehungen abgesehen davon, dass Zustand III entfällt, da vor der Erreichung der Fließgrenze des Stahls das Betonversagen stattfindet.

Im Zustand I sind die Spannungen noch linear über den Querschnitt verteilt (vgl. Bild…), eine geschlossene Ermittlung der inneren Schnittgrößen ist daher möglich. Im Zustand II und III sind die Spannungen nicht mehr linear über den Querschnitt verteilt; in der Zugzone wird die Betonspannung null, da die Bemessung im Rissquerschnitt stattfindet. Außerdem wird die Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons wegen der höheren Dehnungen nichtlinear[2].

Sicherstellung der Duktilität

Um eine ausreichende Versagensankündigung zu garantieren, ist sicherzustellen, dass die bei der Rissbildung freiwerdenden Zugkräfte durch die Zugbewehrung ohne schlagartiges Versagen aufgenommen werden können. Dies wird durch die Anordnung einer Mindestbewehrung sichergestellt.

Außerdem ist sicherzustellen, dass die Stahldehnung zum Versagenszeitpunkt über der Fließgrenze liegt. Hierfür ist die Druckzonenhöhe zu begrenzen. Wenn die Betonstauchung am oberen Rand der Bruchstauchung des Betons entspricht, findet eine Erhöhung der aufnehmbaren Betondruckkraft nur noch durch die Vergrößerung der Druckzone statt[2], hierdurch sinkt der Hebelarm der inneren Kräfte. Aufgrund der linearen Dehnungsverteilung über die Querschnittshöhe nimmt außerdem mit steigender Druckzonenhöhe x die Dehnung der Zugbewehrung ab. Wenn die Stahldehnung der Zugbewehrung dabei unter die Fließgrenze fällt, kommt es zu unwirtschaftlichen Bemessungsergebnissen und zu einem Versagen ohne Vorankündigung.

Der theoretische Wert der bezogenen Druckzonenhöhe, bei dem die Dehnung der Zugbewehrung die Fließgrenze noch geradeso erreicht, beträgt x/d=0,617. Gemäß DIN EN 1992-1-1/NA 5.4[3] sollte x/d für normalfeste Beton kleiner als 0,45 und für hochfeste Betone kleiner als 0,35 sein.

Um die bezogene Druckzonenhöhe zu begrenzen, gibt es zwei Möglichkeiten. Die erste Möglichkeit ist eine Verbreiterung der Druckzone (vgl. Plattenbalken), die zweite die Anordnung einer Druckbewehrung (vgl. Druckbewehrung).

Bemessung

Die Biegebemessung erfolgt für Bauteile im Zustand II im Rissquerschnitt. Eine geschlossene Lösung ist wegen der Nichtlinearität im Zustand II nicht mehr möglich. Aus demselben Grund ist auch die getrennte Bemessung für Normalkraft und Momente ausgeschlossen, da die Superposition der Auswirkung beider Lastfälle nicht mehr möglich ist[2].

Vorbemessung

äußere Schnittgrößen

In der Regel ist es sinnvoll die äußeren Schnittgrößen auf die Schwerelinie der Bewehrung zu beziehen. Verschiebt man die Normalkraft für die Bemessung auf die Schwerelinie der Bewehrung, ist dies auch beim einwirkdenden Moment zu berücksichtigen.

wobei:

… Abstand der Schwerelinie der Zugbewehrung zur Schwerelinie des Querschnitts

Grundsätzliche Annahmen

Die folgenden Voraussetzungen werden der Biegebemessung zugrunde gelegt:

  • Die Hypothese von Bernoulli gilt, d.h. dass die angenommen wird, dass die Dehnungen linear über den Querschnitt verteilt sind (Ebenbleiben der Querschnitte). Diese Annahme gilt für schlanke ist für schlanke Bauteile erfüllt (l/h$\geq$2 bzw. für Kragträger $l_k\geq1$), nicht erfüllt ist sie in Bereichen mit konzentrierter Lasteinleitung (z. B. unter Einzellasten oder im Auflagerbereich). Für Bereiche in denen nicht davon ausgegangen werden kann, dass die Dehnungen linear über den Querschnitt verteilt sind, müssen andere Bemessungsverfahren verwendet werden z.B. Stabwerkmodelle.
  • Die Zugfestigkeit des Betons wird in der Bemessung nicht angesetzt, die Bemessung erfolgt im Rissquerschnitt.
  • Zwischen der Bewehrung und dem Beton wird starrer Verbund vorausgesetzt, d.h. die Dehnung der Bewehrung entspricht der der angrenzenden Betonfaser.
  • Für die Spannungsdehnungslinie des Betons und der Bewehrung gelten die Zusammenhänge aus Bild … und Bild ….
  • Die Ermittlung des Bauteilwiderstands erfolgt durch Variation der Dehnungsebenen, bis sich innere und äußere Schnittgrößen im Gleichgewicht befinden. Da dies ein iterativer Prozess ist, der bei einer Handrechnung einen hohen Aufwand bedeutet, werden i.d.R Bemessungshilfsmittel verwendet. Für die Erstellung von Bemessungshilfsmitteln bietet sich die Verwendung von dimensionslosen Beiwerten an.
  • Im Folgenden werden das allgemeine Bemessungsdiagramm, das $\omega$-Verfahren und das $k_d$-Verfahren. Anschließend findet auch noch eine Herleitung der Gleichungen für die Biegebemessung mit einem parabel-rechteckförmigen Spannungsverlauf in der Druckzone (iterative Lösung) und mit dem vereinfachten rechteckförmigen Spannungsblock (geschlossene Lösung) statt.

Spannung Beton.PNG Spannung Stahl.PNG Dehnungsverteilung Stahlbeton.PNG Beiwerte.PNG Dimensionslos.PNG Dimensionsgebunden.PNG

Quellen

  1. ↑ Wommelsdorff,O., Albert,A., Fischer,J., Stahlbetonbau-Bemessung und Konstruktion Teil 1, 11. Auflage, Köln: Bundesanzeiger Verlag, 2017
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Zilch,K., Zehetmaier,G., Bemessung im konstruktiven Betonbau, 2. Auflage, Berlin/Heidelberg: Springer Verlag, 2006
  3. ↑ DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013
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