Aktuelle Version vom 26. Mai 2024, 17:13 Uhr

Im Rahmen der Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit ist auch ein Verformungsnachweis zu führen. Dieser kann indirekt über die Biegeschlankheit geführt werden oder über eine direkte Verformungsberechnung. Die direkte Verformungsberechnung ist zwar aufwendiger, ergibt im Vergleich zum indirekten Verformungsnachweis aber genauere Ergebnisse. Auf dieser Seite werden die Einflüsse auf die Verformungen sowie Möglichkeiten der Berechnung von Verformungen vorgestellt.

Allgemeines

Die direkte Verformungsberechnung kann vor allem unter folgenden Bedingungen sinnvoll sein: +schlanke bzw. schwingungsanfällige Bauteile +hoch ausgenutzte Bauteile

Decken mit hohen Einzellasten bei gleichzeitiger flächiger Verkehrslast
Bauteile bei denen Verformungen zum Verlust der Funktionsfähigkeit führen können (z.B. Bauteile unter Maschinen, Flachdächer (Entwässerung))
Bauteile deren Verformungen Schäden an angrenzenden Bauteilen hervorrufen können (z.B. Risse in Wänden auf dem Bauteil, Schäden Glasfassaden bzw. Schaufenstern)

Im Folgenden wird das numerische Verfahren und das Näherungsverfahren näher erläutert, anschließend wird auf die Durchbiegungsberechnung bei statisch unbestimmten Systemen eingegangen. Alle vorgestellten Verfahren sind gemäß EC 2 zulässig für die direkte Verformungsberechnung.

Materialkennwerte

Die Genauigkeit der verwendeten Werkstoffmodelle ist der Genauigkeit der Verformungsberechnung anzupassen. Wird ein genaues Berechnungsmodell verwendet aber die Werkstoffeigenschaften nicht realitätsnah genug beschrieben, entsteht ein hoher Aufwand für ein weniger genaues Ergebnis.

Für das Elastizitätsmodul und die Festigkeitswerte von Beton sind Mittelwerte zu verwenden. Im Bereich von sigma_c<0,4 f_ck kann davon ausgegangen werden, dass sich der Beton linear-elastisch verhält. Da im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit i.d.R. davon ausgegangen werden kann, dass diese Grenze nicht überschritten wird, kann ein linear-elastisches Tragverhalten für den Beton angenommen werden.

Für den Stahl darf eine bilinearen Spannungsdehnungslinie angenommen werden.

Grundlagen

Steifigkeit

Die Verformungen von Stahlbetonbauteilen sind maßgeblich von der Steifigkeit abhängig. Nimmt die Steifigkeit ab, nehmen die Verformungen zu. Diese wird stark vom Stand der Rissbildung abhängig, im Rahmen des Rissbildungsprozesses kommt es zum Abfall der Steifigkeit. Die Steifigkeit eines Bauteils im Zustand II (abgeschlossene Rissbildung) ist geringer als im Zustand I (umgerissen). Näheres zum Prozess der Rissbildung kann der Seite zur [[Biegebemessung_(einachsige_Biegung)|Biegebemessung] entnommen werden.

Tabelle: Formeln zur Ermittlung der Querschnittswerte im Zustand I und II für bewehrte Betonquerschnitte mit Zugbewehrung^[1]

Prinzipdarstellung: Vergleich der wirkenden Belastung und des Rissmomentes zur Beurteilung des Zustandwechsels

Die Verformungsberechnung von Stahlbetonbauteilen wird dadurch erschwert, dass sich nicht das ganze Bauteil im Zustand I bzw. II befindet, sodass die Steifigkeiten abschnittsweise differieren. Vereinfachend wird in der Durchbiegungsberechnung bei der Ermittlung der Steifigkeiten nur zwischen dem umgerissenen und dem vollständig gerissenen Zustand unterschieden. Die Steifigkeit während des Rissbildungsprozesses wird vernachlässigt.

Im Rahmen der Verformungsberechnung wird nur die Steifigkeit für den ungerissenen und den vollständig gerissenen Querschnitt berechnet ^[2]. Durch die Vernachlässigung des Rissbildungsprozesses bei der Berechnung kommt es an der Grenze zwischen dem Bereich im Zustand I und dem im Zustand II zu einem sprunghaften Abfall der Steifigkeit; würde er berücksichtigt werden, fände der Abfall der Steifigkeit kontinuirlich statt. Vernachlässigt man den Rissbildungsprozess wird die Steifigkeit unterschätzt, sodass die Vernachlässigung auf der sichern Seite liegende Ergebnisse ergibt.

$\alpha =\zeta \cdot \alpha _{II}+\left(1-\zeta \right)\cdot \alpha _{I}$

wobei:

$\alpha$ …	untersuchter Dehnungsparameter (Dehnung, Krümmung oder Rotation)
$\alpha _{I}$ …	untersuchter Dehnungsparameter im Zustand I
$\alpha _{II}$ …	untersuchter Dehnungsparameter im Zustand II
$\zeta$ …	Verteilungsbeiwert zur Berücksichtigung der Rissbildung und der Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

Für ungerissene Querschnitte ist der Verteilungsbeiwert $\zeta =0$ ; für gerissene Querschnitte ergibt er sich nach folgender Gleichung:

$\zeta =1-\beta \cdot \left({\frac {\sigma _{sr}}{\sigma _{s}}}\right)^{2}$

wobei:

$\beta$ …	Koeffizient zur Berücksichtigung der Belastungsdauer und der Lastwiederholungen ( $\beta =0$ bei Kurzzeitbelastung; $\beta =0,5$ bei Langzeitbelastung oder vielen Zyklen wiederholender Belastung)
$\sigma _{sr}$ …	die Spannung in der Zugbewehrung bei Annahme eines gerissenen Querschnitts unter einer Einwirkungskombination, die zur Erstrissbildung führt
$\sigma _{s}$ …	die Spannung in der Zugbewehrung bei Annahme eines gerissenen Querschnitts (Spannung im Riss)

Eine Zusammenfassung der Querschnittswerte für den Zustand I und Zustand II lässt sich der Literatur entnehmen ^[3].

Zusammenhang Belastung - Steifigkeit - Krümmung

Gemäß den allgemeinen Zusammenhängen der Mechanik sind die Krümmung abhängig von der Belastung und der Steifigkeit:

\kappa =(1/r)={\frac {M}{EI}}

Die Durchbiegung ergibt sich durch zweifache Integration der Krümmung:

w(x)=\int _{}^{}\int _{}^{}{\frac {M(x)}{EI(x)}}dx

Die Durchbiegung ist dementsprechend abhängig von der Systemlänge, der Bealstung und der Steifigkeit. Unter Annahme eines zum Krümmungsverlauf affinen Momentenverlaufes lässt sich das Doppelintegral der Krümmung unter zur Hilfenahme des Prinzips der virtuellen Kräfte zu folgendem Ausdruck umstellen:

w(x)=\int _{}^{}{\frac {{\overline {M}}(x)\cdot M(x)}{EI(x)}}dx=\int _{}^{}({\overline {M}}(x)\cdot \kappa )dx\approx k\cdot \kappa \cdot l^{2}=w(l/2)

$k$ beschreibt dabei einen Beiwert zur Beachtung des Momentenverlaufs und lässt sich herleiten aus den Integraltafeln oder aus der Literatur direkt entnehmen.^[4]

Einflüsse auf die Verformung

Im Folgenden wird auf die wichtigsten Einflussfaktoren für die Verformungen eingegangen:

Material

Die Verformung wird maßgeblich durch die Festigkeit und die zeitlich veränderlichen Eigenschaften (z.B. Kriechen und Schwinden) der verwendeten Materialien beeinflusst. Der Einfluss des Betons ist hierbei bedeutender als der der Bewehrung. Von der Zugfestigkeit des Betons ist abhängig, wann das Bauteil in den Zustand II übergeht. Je größer die Zugfestigkeit des Betons ist, desto kleiner ist der Bereich des Bauteils, der sich im Zustand II befindet und desto kleiner ist die Verformung. Auf den Einfluss von Kriechen und Schwinden wird in separaten Abschnitten eingegangen.

Bauteilgeometrie

Die Größe der auftretenden Verformung ist maßgeblich abhängig von den Flächenträgheitsmomenten und somit auch von der Bauteilhöhe und Breite. Mit steigender Bauteilhöhe und Bauteilbreite nehmen die Verformungen ab. Der Einfluss der Bauteilbreite ist dabei geringer als der der Höhe. Dies lässt sich auch an der Gleichung für die Ermittlung des Flächenträgheitsmoments deutlich erkennen.

$I_{y}={\frac {b\cdot h^{3}}{12}}$

wobei:

$b$ …	Breite
$h$ …	Höhe

Mit zunehmender Systemlänge nehmen die Verformungen zu.

Bewehrungslage/-menge

Auch die Lage und Menge der Bewehrung hat einen Einfluss auf das Flächenträgheitsmoment und somit auf die Verformungen. Je größer der Abstand der Bewehrung vomSchwerpunkt ist und je mehr Bewehrung vorhanden ist, desto größer wird das Flächenträgheitsmoment. Der Einfluss der Bewehrung auf die Bauteilsteifigkeit spielt allerdings erst im Zustand II eine größere Rolle, im Zustand I ist ihr Einfluss unbedeutend gering.

Belastung

Mit steigender Belastung vergrößert sich der Bereich im Zustand II befindet, sodass die Steifigkeit abnimmt und die Verformungen zunehmen. Unter kurzzeitiger Belastung treten kleinere Verformungen auf als unter langzeitiger.

Belastungsgeschichte

Wenn ein Bauteil einmal in den gerissenen Zustand übergegangen ist, nimmt die Steifigkeit irreversibel ab. Sinkt die Last wieder unter die Last, bei der es zur Rissbildung kommt, nimmt die Steifigkeit nicht wieder zu. Wenn das Bauteil planmäßig Lasten ausgesetzt ist, welche zur Rissbildung führen oder wenn dies nicht ausgeschlossen werden kann, ist diesem Umstand bei der Verformungsberechnung durch Vergrößerung des Bereichs im Zustand II Rechnung zu tragen, auch wenn unter den Lasten, die der Berechnung zu Grunde liegen keine Risse entstehen.

Kriechen

Unter Kriechen versteht man die zeitabhängige Verformungszunahme unter konstanter Belastung. Auf die Grundlagen für und die Einflüsse auf das Kriechen wird auf einer gesonderten Seite eingegangen. Allgemein lässt sich feststellen, dass je größer der Kriecheinfluss ist, desto mehr nehmen die Verformungen zu. Berücksichtigt werden kann der Kriecheinfluss durch die Abminderung des Elastizitätsmoduls mithilfe der Kriechzahl.

Schwinden

Auch für nähere Informationen zum Schwinden steht eine gesonderte Seite zur Verfügung. Der Einfluss des Schwindens auf die Verformungen resultiert aus der unterschiedlich stark behinderten Schwindverformung durch die Bewehrung über die Querschnittshöhe. Im Zugbereich wird die Schwindverformung durch die Zugbewehrung behindert. Ist im Druckbereich keine oder nur wenig Bewehrung vorhanden, finden die Schwindverformungen ungehindert statt. Durch die unterschiedlichen Dehnungen an Bauteilober- und -unterseite entsteht eine Krümmung und infolgedessen eine Durchbiegung. Die größere Krümmung wird rechnerisch durch einen zusätzlichen Krümmungsanteil berücksichtigt.

Die Krümmungen infolge Schwinden sind belastungsunabhängig, sie hängen nur von der Bauteilgeometrie ab. Die Krümmungen infolge Schwinden sind somit bei konstantem Querschnitt über die Bauteillänge bekannt.

Temperatur

Die Temperatur teilt sich in einen konstanten und einen linearen Anteil auf. Der konstante Anteil führt zu einer konstanten Verformung (statisch bestimmte Systeme) bzw. Spannung (statisch unbestimmte Systeme) über die Querschnittshöhe. Der lineare Temperaturanteil entsteht, wenn eine Seite wärmer bzw. kälter ist als die andere, hieraus resultiert eine veränderliche Dehnung über die Querschnittshöhe und somit zu einer Krümmung. Wegen des allgemeinen Zusammenhangs von Krümmung und Durchbiegung, entsteht infolgedessen auch eine Durchbiegung.

Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

Zwischen den Rissen werden die Zugkräfte aus dem Beton wieder in den Beton übertragen, wodurch die Stahldehnung abnimmt. Wird die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen nicht berücksichtigt, wird die Verformung überschätzt, da die Krümmung überschätzt wird. Berücksichtigt werden kann sie über den Verteilungsbeiwert.

Statisch bestimmte Systeme

Näherungsverfahren nach EC2

Im Näherungsverfahren wird von einer konstanten Steifigkeit über das gesamte Bauteil ausgegangen. Die Krümmungen im Zustand I und II werden am Punkt der maximalen Belastung ermittelt und auf die gesamte Länge übertragen ^[5]. Die Berücksichtigung unterschiedlicher Querschnitte über die Bauteillänge ist mit dem Näherungsverfahren nicht möglich.

Die Verformungsberechnung mithilfe des Näherungsverfahrens läuft folgendermaßen ab:

Im ersten Schritt wird die Krümmung im Zustand I an der Stelle des Maximalmoments ermittelt.

$\kappa _{I}=\left({\frac {1}{r}}\right)_{I}={\frac {M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_{I}}}$

wobei:

$\kappa _{I}$ …	Krümmung im Zustand I
$M_{Ed}$ …	einwirkendes Moment
$E_{c,eff}$ …	effektives Elastizitätsmodul (Berücksichtigung des Kriechens)
$I_{I}$ …	Trägheitsmoment im Zustand I

$E_{c,eff}={\frac {E_{cm}}{1+\phi _{\infty ,t_{0}}}}$

wobei:

$E_{cm}$ …	mittleres Elastizitätsmodul
$\phi _{\infty ,t_{0}}$ …	Kriechzahl

Anschließend wird die Krümmung an der Stelle des maximalen Moments für den vollständig gerissenen Querschnitt ermittelt.

$\kappa _{II}=\left({\frac {1}{r}}\right)_{II}={\frac {\varepsilon _{s}}{d-x}}$

wobei:

$\kappa _{II}$ …	Krümmung im Zustand II
$\varepsilon _{s}={\frac {\sigma _{s}}{E_{s}}}$ …	Stahldehnung im Zustand II
$d$ …	statische Nutzhöhe
$x$ …	Druckzonenhöhe im Zustand II

$x=\xi \cdot d=d\cdot \left(-\alpha _{e}\cdot \rho _{l}+{\sqrt {(\alpha _{e}\cdot \rho _{l})^{2}+2\cdot \alpha _{e}\cdot \rho _{l}}}\right)$

wobei:

$\alpha _{e}={\frac {E_{s}}{E_{c,eff}}}$ …	Verhältnis der Elastizitätsmoduli
$\rho _{l}={\frac {A_{s}}{b\cdot d}}$ …	Längsbewehrungsgrad
$A_{s}$ …	Bewehrungsquerschnittsfläche

$\sigma _{s}={\frac {M_{Ed}}{A_{s}\cdot \left(d-{\frac {x}{3}}\right)}}$

Darauf folgend kann mithilfe des Verteilungsbeiwerts der wahrscheinliche Wert der Krümmung ermittelt werden. Statt über die Spannungen kann der Verteilungsbeiwert auch mithilfe des einwirkenden Moments und des Rissmoments ermittelt werden.

$\kappa _{m}=\left({\frac {1}{r}}\right)_{m}=\zeta \cdot \left({\frac {1}{r}}\right)_{II}+\left(1-\zeta \right)\cdot \left({\frac {1}{r}}\right)_{I}$

$\zeta =1-\beta \cdot \left({\frac {\sigma _{sr}}{\sigma _{s}}}\right)^{2}=1-\beta \cdot \left({\frac {M_{cr}}{M_{Ed}}}\right)^{2}$

wobei:

$\sigma _{sr}={\frac {M_{cr}}{A_{s}\cdot \left(d-{\frac {x}{3}}\right)}}\cdot$ …	Anrissspannung im Zustand II
$M_{cr}=f_{ctm}\cdot {\frac {I_{I}}{z_{I}}}$ …	Rissbildungsmoment
$f_{ctm}$ …	Betonzugfestigkeit
$z_{I}$ …	Abstand des Schwerpunkts vom Zugrand

Für nähere Erläuterungen zum Verteilungsbeiwert vgl. oben.

Nach diesen Schritten werden die Krümmungen infolge Schwinden im Zustand I und II ermittelt.

Steifigkeitsbeiwert für den Zustand II^[6]

$\kappa _{cs}=\left({\frac {1}{r}}\right)_{cs}=\varepsilon _{cs}\cdot \alpha _{e}\cdot {\frac {S}{I}}$

wobei:

$\kappa _{cs}$ …	Krümmung infolge Schwinden
$\varepsilon _{cs}$ …	Schwindmaß
$S_{I}=A_{s}\cdot z_{s1}$ …	Flächenmoment 1. Grades der Querschnittsfläche der Bewehrung, bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnitts im Zustand I
$S_{II}=A_{s}\cdot \left(d-x\right)$ …	Flächenmoment 1. Grades der Querschnittsfläche der Bewehrung, bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnitts im Zustand II
$I_{I}$ …	Flächenträgheitsmoment im Zustand I
$I_{II}=k_{II}\cdot I_{I}$ …	Flächenträgheitsmoment im Zustand II
$k_{II}$ …	Steifigkeitsbeiwert für den Zustand II (vgl. Grafik)

Mit diesen beiden Werten und dem Verteilungsbeiwert kann der wahrscheinliche Wert der Krümmung infolge Schwinden ermittelt werden.

$\kappa _{cs,m}=\left({\frac {1}{r}}\right)_{cs,m}=\zeta \cdot \left({\frac {1}{r}}\right)_{cs,II}+\left(1-\zeta \right)\cdot \left({\frac {1}{r}}\right)_{cs,I}$

Beiwert für die Momentenverteilung^[7]

Im letzten Schritt werden die einzelnen Krümmungsanteile addiert und schlussendlich aus der Gesamtkrümmung die Durchbiegung berechnet.

$\kappa _{m,tot}=\left({\frac {1}{r}}\right)_{m,tot}=\left({\frac {1}{r}}\right)_{m}+\left({\frac {1}{r}}\right)_{cs,m}$

$w=k\cdot l^{2}\cdot \left({\frac {1}{r}}\right)_{m,tot}$

wobei:

$w$ …	Durchbiegung
$k$ …	Beiwert für die Momentenverteilung (vgl. Grafik)
$l$ …	Systemlänge

Beispiel

Numerische Integration

Die numerische Integration stellt ein Hilfsmittel zur Berechnung der Durchbiegungen eines Bauteils dar. Der größere Rechenaufwand ermöglicht eine genauere Differenzierung zwischen den Zuständen I und II des Stahlbetonbauteils. Das Bauteil wird in eine beliebige Anzahl an Intervallen unterteilt, je höher die Anzahl der betrachteten Querschnitte gewählt wird, desto genauer lässt sich die Durchbiegung ermitteln. Für eine genaue Näherung an die Durchbiegung reicht bereits eine Unterteilung in 9 Stützstellen – also 8 Intervallen –, eine Vergrößerung der Einteilung auf bis zu 21 Stützstellen liefert letztlich keine weitere Verbesserung mehr und der erheblich größere Rechenaufwand steht mit dem Ergebnis nicht mehr in einem vertretbaren Rahmen.

Die grundlegende Annahme ist auch hier der Zusammenhang aus Krümmung, Belastung und Steifigkeit des Querschnittes:

\kappa =(1/r)={\frac {M}{EI}}

Durch doppelte Integration lässt sich die Durchbiegung ermitteln:

w(x)=\int _{}^{}\int _{}^{}{\frac {M(x)}{EI(x)}}dx

Unter Ansatz des Prinzips der virtuellen Kräfte lässt sich das Doppelintegral vereinfachen:

w(x)=\int _{}^{}{\frac {{\overline {M}}(x)\cdot M(x)}{EI(x)}}dx=\int _{}^{}({\overline {M}}(x)\cdot \kappa )dx

Mit Hilfe der Simpson-Gleichung und unter Annahme von einer Unterteilung auf Basis von 9 Stützstellen lässt sich Integral in Form eines Summenansatzes lösen:

w(x)={\frac {\Delta x}{3}}\cdot (2y_{0}+8y_{1}+4y_{2}8+y_{3}+2y_{4})

Mit:

y_{n}=\kappa _{n}\cdot {\overline {M}}_{n}

Für jeden betrachteten Querschnitt n werden die virtuellen Momentenschnittgrößen ermittelt. Er ergeben sich folgende Momente unter einer virtuellen Last der Größe 1 in Feldmitte:

{\overline {M}}_{1}={\frac {1}{16}}l

{\overline {M}}_{2}={\frac {1}{8}}l

{\overline {M}}_{3}={\frac {3}{16}}l

{\overline {M}}_{4}={\frac {1}{4}}l

Prinzipdarstellung: Krümmungsverlauf nach numerischer Integration

Durch die Symmetrie des Momentenverlaufes und Krümmungsverlaufes genügt die Betrachtung einer Hälfte des Trägers.

Nach Einsetzen in den Ansatz nach der Simpson-Gleichung ergibt sich die Durchbiegung zu:

w(l/2)={\frac {l^{2}}{96}}\cdot (2\kappa _{1}+2\kappa _{2}+6\kappa _{3}+2\kappa _{4})

Anhand dieser Gleichung lassen sich die Durchbiegungen beliebiger Einfeldsysteme berechnen. Unbekannte Größen sind dabei nur noch die n Querschnittskrümmungen.

Prinzipdarstellung: Beurteilung des Zustandwechsels anhand der Ordinaten x_cr,1;2

Eine Differenzierung zwischen den Zuständen I und II lässt sich über folgenden Ausdruck ermitteln^[8]:

x_{cr}={\frac {l}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {l^{2}}{4}}-2\cdot {\frac {M_{cr}}{p_{k}}}}}

M_cr	Rissmoment
p_k	Belastung

Der Ansatz liefert zwei Ordinaten: erstere gibt Aufschluss über den Wechsel von Zustand I in den Zustand II; zweitere gibt Aufschluss über den Wechsel von Zustand II in den Zustand I.

Die für die Querschnittskrümmungen relevanten Querschnittswerte lassen sich mit den Formeln nach [Stahlbetonbau-Praxis S. 270,271] ermitteln. Für die Differenzierung der Zustände I und II werden die Lagen der n Krümmungen auf der Bauteilachse betrachtet und errechnet.

Unter Annahme einer konstanten Gleichstreckenlast und Steifigkeit – also unter Vernachlässigung der Zustände I und II – lässt sich die numerische Integration vereinfachen zu:

w(l/2)={\frac {5}{384}}\cdot {\frac {p_{k}l^{4}}{EI}}

Mit dieser Vereinfachung lässt sich die Durchbiegung getrennt für die Zustände I und II berechnen und abschließend analog zum Näherungsverfahren unter Annahme des Rissverteilungsbeiwertes zu einer erwarteten mittleren Krümmung errechnen.

Die Abweichungen zwischen dem Näherungsverfahren nach EC2 und der numerischen Integration belaufen sich ungefähr im Rahmen von 4%; für die Baupraxis ist die Berechnung nach dem Näherungsverfahren genau genug.

Statisch unbestimmte Systeme

Prinzipdarstellung: Abhängigkeiten der Krümmungsberechnung statisch unbestimmter Systeme

Die Schnittgrößenermittlung statisch unbestimmter Systeme steht in direktem Zusammenhang zu der Steifigkeitsentwicklung des Bauteiles. Die Differenzierung nach Zustand I und Zustand II hat somit maßgeblich einen Einfluss auf die Schnittgrößenermittlung und folglich gestaltet sich die Ermittlung der Durchbiegung als ein iterativer Prozess. Die Einschätzung nach Zustand I und Zustand II ist direkt gekoppelt an die Schnittgrößen, diese wiederum im Falle statisch unbestimmter Systeme an die Steifigkeiten des Bauteiles, die unter Beachtung der Rissbildung abgeschätzt wird. Folglich muss die Durchbiegung eines statisch unbestimmten Systems in mehreren – iterativen – Rechnungen durchgeführt werden, solange bis die Durchbiegung als abgeschlossen angenommen werden kann.

Quellen

↑ Goris, Alfons; Bender, Michél: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1, 6. Überarbeitete und erweiterte Auflage. Berlin: Beuth Verlag GmbH; S. 270, 271
↑ DIN EN 1992-1-1, Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2011
↑ Goris, Alfons; Bender, Michél: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1, 6. Überarbeitete und erweiterte Auflage. Berlin: Beuth Verlag GmbH; S. 270, 271
↑ Litzner, H.-U.: Grundlagen der Bemessung nach Eurocode 2, BK 1995
↑ Goris, Alfons; Bender, Michél: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1, 6. Überarbeitete und erweiterte Auflage. Berlin: Beuth Verlag GmbH; S. 300ff
↑ Deutscher Aussschuss für Stahlbeton: Bemessungshilfen zu Eurocode 2, Teil 1, Planung von Stahlbeton und Spannbetonwerken; DAfStb Heft 425
↑ Litzner, H.-U.: Grundlagen der Bemessung nach Eurocode 2, BK 1995
↑ Strohbusch, Jens: Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer Bewertung bestehender Regelungen. Universität Siegen, Fachbereich Bauingenieurwesen, Dissertation, 2010; S. 95

Seiteninfo

Status: Seite in Bearbeitung

[1] Goris, Alfons; Bender, Michél: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1, 6. Überarbeitete und erweiterte Auflage. Berlin: Beuth Verlag GmbH; S. 270, 271

[Q5-2] DIN EN 1992-1-1, Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2011

[3] Goris, Alfons; Bender, Michél: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1, 6. Überarbeitete und erweiterte Auflage. Berlin: Beuth Verlag GmbH; S. 270, 271

[4] Litzner, H.-U.: Grundlagen der Bemessung nach Eurocode 2, BK 1995

[5] Goris, Alfons; Bender, Michél: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1, 6. Überarbeitete und erweiterte Auflage. Berlin: Beuth Verlag GmbH; S. 300ff

[6] Deutscher Aussschuss für Stahlbeton: Bemessungshilfen zu Eurocode 2, Teil 1, Planung von Stahlbeton und Spannbetonwerken; DAfStb Heft 425

[7] Litzner, H.-U.: Grundlagen der Bemessung nach Eurocode 2, BK 1995

[8] Strohbusch, Jens: Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer Bewertung bestehender Regelungen. Universität Siegen, Fachbereich Bauingenieurwesen, Dissertation, 2010; S. 95

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Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 26. Mai 2024, 17:13 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Allgemeines

Materialkennwerte

Grundlagen

Steifigkeit

Zusammenhang Belastung - Steifigkeit - Krümmung

Einflüsse auf die Verformung

Material

Bauteilgeometrie

Bewehrungslage/-menge

Belastung

Belastungsgeschichte

Kriechen

Schwinden

Temperatur

Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

Statisch bestimmte Systeme

Näherungsverfahren nach EC2

Numerische Integration

Statisch unbestimmte Systeme

Quellen

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+Im Rahmen der Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit ist auch ein [[Verformungsnachweis]] zu führen. Dieser kann [[indirekte Verformungsberechnung|indirekt über die Biegeschlankheit]] geführt werden oder über eine direkte Verformungsberechnung. Die direkte Verformungsberechnung ist zwar aufwendiger, ergibt im Vergleich zum indirekten Verformungsnachweis aber genauere Ergebnisse. Auf dieser Seite werden die Einflüsse auf die Verformungen sowie Möglichkeiten der Berechnung von Verformungen vorgestellt.
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-=Verformung und Durchbiegung von Stahlbetonbauteilen=
+=Allgemeines=
-==Allgemeines==
-Im Rahmen der Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit findet unter anderem der Nachweis zur Begrenzung der Verformung einen wichtigen Aspekt zur Beurteilung der Gebrauchstauglichkeit seine Bedeutung. Nach EC2 müssen die Verformungen und Durchbiegungen eines Stahlbetonbauteiles begrenzt werden, um zum Beispiel mögliche Schäden an benachbarten Bauteilen zu verhindern, oder die Nutzbarkeit eines Bauteils nicht einzuschränken und damit sicherzustellen.
+Die direkte Verformungsberechnung kann vor allem unter folgenden Bedingungen sinnvoll sein:
-<br/>
++schlanke bzw. schwingungsanfällige Bauteile
++hoch ausgenutzte Bauteile
+*Decken mit hohen Einzellasten bei gleichzeitiger flächiger Verkehrslast
+*Bauteile bei denen Verformungen zum Verlust der Funktionsfähigkeit führen können (z.B.  Bauteile unter Maschinen, Flachdächer (Entwässerung))
+*Bauteile deren Verformungen Schäden an angrenzenden Bauteilen hervorrufen können (z.B. Risse in Wänden auf dem Bauteil, Schäden Glasfassaden bzw. Schaufenstern)
+Im Folgenden wird das numerische Verfahren und das Näherungsverfahren näher erläutert, anschließend wird auf die Durchbiegungsberechnung bei statisch unbestimmten Systemen eingegangen. Alle vorgestellten Verfahren sind gemäß EC 2 zulässig für die direkte Verformungsberechnung.
+=Materialkennwerte=
+Die Genauigkeit der verwendeten Werkstoffmodelle ist der Genauigkeit der Verformungsberechnung anzupassen. Wird ein genaues Berechnungsmodell verwendet aber die Werkstoffeigenschaften nicht realitätsnah genug beschrieben, entsteht ein hoher Aufwand für ein weniger genaues Ergebnis.
+Für das Elastizitätsmodul und die Festigkeitswerte von Beton sind Mittelwerte zu verwenden.  Im Bereich von sigma_c<0,4 f_ck kann davon ausgegangen werden, dass sich der Beton linear-elastisch verhält. Da im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit i.d.R. davon ausgegangen werden kann, dass diese Grenze nicht überschritten wird, kann ein linear-elastisches Tragverhalten für den Beton angenommen werden.
+Für den Stahl darf eine bilinearen Spannungsdehnungslinie angenommen werden.
+=Grundlagen=
+==Steifigkeit==
+Die Verformungen von Stahlbetonbauteilen sind maßgeblich von der Steifigkeit abhängig. Nimmt die Steifigkeit ab, nehmen die Verformungen zu. Diese wird stark vom Stand der Rissbildung abhängig, im Rahmen des Rissbildungsprozesses kommt es zum Abfall der Steifigkeit. Die Steifigkeit eines Bauteils im Zustand II (abgeschlossene Rissbildung) ist geringer als im Zustand I (umgerissen). Näheres zum Prozess der Rissbildung kann der Seite zur [[Biegebemessung_(einachsige_Biegung)|Biegebemessung] entnommen werden.
+[[Datei:Durchbiegungsermittlung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_2.png|400px|thumb|right|Tabelle: Formeln zur Ermittlung der Querschnittswerte im Zustand I und II für bewehrte Betonquerschnitte mit Zugbewehrung<ref>Goris, Alfons; Bender, Michél: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1, 6. Überarbeitete und erweiterte Auflage. Berlin: Beuth Verlag GmbH; S. 270, 271</ref>]]
+[[Datei:Durchbiegungsermittlung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_1.png|400px|thumb|right|Prinzipdarstellung: Vergleich der wirkenden Belastung und des Rissmomentes zur Beurteilung des Zustandwechsels]]
+Die Verformungsberechnung von Stahlbetonbauteilen wird dadurch erschwert, dass sich nicht das ganze Bauteil im Zustand I bzw. II befindet, sodass die Steifigkeiten abschnittsweise differieren. Vereinfachend wird in der Durchbiegungsberechnung bei der Ermittlung der Steifigkeiten nur zwischen dem umgerissenen und dem vollständig gerissenen Zustand unterschieden. Die Steifigkeit während des Rissbildungsprozesses wird vernachlässigt.
+Im Rahmen der Verformungsberechnung wird nur die Steifigkeit für den ungerissenen und den vollständig gerissenen Querschnitt berechnet <ref Name = "Q5">DIN EN 1992-1-1, Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2011</ref>. Durch die Vernachlässigung des Rissbildungsprozesses bei der Berechnung kommt es an der Grenze zwischen dem Bereich im Zustand I und dem im Zustand II zu einem sprunghaften Abfall der Steifigkeit; würde er berücksichtigt werden, fände der Abfall der Steifigkeit kontinuirlich statt. Vernachlässigt man den Rissbildungsprozess wird die Steifigkeit unterschätzt, sodass die Vernachlässigung auf der sichern Seite liegende Ergebnisse ergibt.
+<math>\alpha=\zeta\cdot\alpha_{II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\alpha_I</math>
+wobei:
+:{|
+|-
+| <math> \alpha </math> … || untersuchter Dehnungsparameter (Dehnung, Krümmung oder Rotation)
+|-
+| <math> \alpha_I </math> … || untersuchter Dehnungsparameter im Zustand I
+|-
+| <math> \alpha_{II} </math> … || untersuchter Dehnungsparameter im Zustand II
+|-
+| <math> \zeta </math> … || Verteilungsbeiwert zur Berücksichtigung der Rissbildung und der [[Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen]]
+|}</li>
-Maßgebend sind die Verformungen von Stahlbetonbauteilen vom Baustoff Beton und dessen Eigenschaft auf Zugkräfte zu reagieren abhängig. In dem Verbundwerkstoff Stahlbeton unterstützt die Bewehrung die Aufnahmefähigkeit der Zugkräfte – der Beton kann diese nur in einem bedingten Maße aufnehmen. Sobald die Zugkräfte in den Randfasern des Betons dessen mittlere Betonzugfestigkeit überschreiten kommt es zur Rissbildung des Betons und folglich zu wachsenden Verformungen des Bauteils. Die Verformungen werden maßgebend durch die Zustände I und II des Betons beeinflusst.
+Für ungerissene Querschnitte ist der Verteilungsbeiwert <math>\zeta=0</math>; für gerissene Querschnitte ergibt er sich nach folgender Gleichung:
-<br/>
-Verformungen im Stahlbetonbau lassen sich in zwei Kategorien unterscheiden:
+<math>\zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{\sigma_{sr}}{\sigma_s}\right)^2</math>
-<br/>
-*Verformungen unter Kurzzeitverhalten
+wobei:
-*Verformungen unter Langzeitverhalten
+:{|
+|-
+| <math> \beta</math> … || Koeffizient zur Berücksichtigung der Belastungsdauer und der Lastwiederholungen (<math> \beta=0</math> bei Kurzzeitbelastung; <math> \beta=0,5</math> bei Langzeitbelastung oder vielen Zyklen wiederholender Belastung)
+|-
+| <math> \sigma_{sr} </math> … || die Spannung in der Zugbewehrung bei Annahme eines gerissenen Querschnitts unter einer Einwirkungskombination, die zur Erstrissbildung führt
+|-
+| <math> \sigma_s </math> … || die Spannung in der Zugbewehrung bei Annahme eines gerissenen Querschnitts (Spannung im Riss)
+|}</li>
-Das Kurzzeitverhalten des Betons beschreibt dabei dessen Materialverhalten wie Betondruckfestigkeit, Betonzugfestigkeit und Elastizitätsmodul und dessen zeitliche Entwicklung.
+Eine Zusammenfassung der Querschnittswerte für den Zustand I und Zustand II lässt sich der Literatur entnehmen <ref>Goris, Alfons; Bender, Michél: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1, 6. Überarbeitete und erweiterte Auflage. Berlin: Beuth Verlag GmbH; S. 270, 271</ref>.
-Das Langzeitverhalten des Betons beschreibt dabei dessen Materialverhalten unter den Faktoren von Kriechen und Schwinden des Betons. Schwinden ist dabei ein lastunabhängiger Prozess und resultiert im wesentlichen durch die durch Austrocknung bedingte Verkürzung des Betons; Kriechen ist dabei ein lastabhängiger Prozess und resultiert in einer Dehnung unter konstanter Belastung.
-<br/>
 ==Zusammenhang Belastung - Steifigkeit - Krümmung==
-Nach den allgemeinen Ansätzen der Mechanik lassen sich die Krümmungen eines Bauteils in Abhängigkeit aus der Belastung und der Steifigkeit des Querschnittes stellen:
+Gemäß den allgemeinen Zusammenhängen der Mechanik sind die Krümmung abhängig von der Belastung und der Steifigkeit:
 :<math>\kappa = (1/r) = \frac{M}{EI}</math>
-Die Durchbiegung aus der Krümmung ergibt sich dabei nach zweifacher Integration der Krümmung:
+Die Durchbiegung ergibt sich durch zweifache Integration der Krümmung:
 :<math>w(x) = \int_{}^{} \int_{}^{} \frac{M(x)}{EI(x)}dx</math>
-Die Abhängigkeiten der Durchbiegungen stehen also im Verhältnis der Systemlänge, Belastung und Steifigkeit.
+Die Durchbiegung ist dementsprechend abhängig von der Systemlänge, der Bealstung und der Steifigkeit.
 Unter Annahme eines zum Krümmungsverlauf affinen Momentenverlaufes lässt sich das Doppelintegral der Krümmung unter zur Hilfenahme des Prinzips der virtuellen Kräfte zu folgendem Ausdruck umstellen:
 :<math>w(x) = \int_{}^{} \frac{\overline{M}(x) \cdot M(x)}{EI(x)}dx = \int_{}^{}(\overline{M}(x) \cdot \kappa) dx \approx k \cdot \kappa \cdot l^{2} = w(l/2)</math>
-K beschreibt dabei einen Beiwert zur Beachtung des Momentenverlaufs und lässt sich herleiten aus den Integraltafeln oder aus der Literatur direkt entnehmen.<ref>Litzner, H.-U.: Grundlagen der Bemessung nach Eurocode 2, BK 1995</ref>
+<math>k</math> beschreibt dabei einen Beiwert zur Beachtung des Momentenverlaufs und lässt sich herleiten aus den Integraltafeln oder aus der Literatur direkt entnehmen.<ref>Litzner, H.-U.: Grundlagen der Bemessung nach Eurocode 2, BK 1995</ref>
+=Einflüsse auf die Verformung=
+Im Folgenden wird auf die wichtigsten Einflussfaktoren für die Verformungen eingegangen:
+===Material===
+Die Verformung wird maßgeblich durch die Festigkeit und die zeitlich veränderlichen Eigenschaften (z.B. Kriechen und Schwinden) der verwendeten Materialien beeinflusst. Der Einfluss des Betons ist hierbei bedeutender als der der Bewehrung. Von der Zugfestigkeit des Betons ist abhängig, wann das Bauteil in den Zustand II übergeht. Je größer die Zugfestigkeit des Betons ist, desto kleiner ist der Bereich des Bauteils, der sich im Zustand II befindet und desto kleiner ist die Verformung. Auf den Einfluss von Kriechen und Schwinden wird in separaten Abschnitten eingegangen.
+===Bauteilgeometrie===
+Die Größe der auftretenden Verformung ist maßgeblich abhängig von den Flächenträgheitsmomenten und somit auch von der Bauteilhöhe und Breite. Mit steigender Bauteilhöhe und Bauteilbreite nehmen die Verformungen ab. Der Einfluss der Bauteilbreite ist dabei geringer als der der Höhe. Dies lässt sich auch an der Gleichung für die Ermittlung des Flächenträgheitsmoments deutlich erkennen.
-==Zustand I, Zustand II und Rissbildung==
+<math>I_y=\frac{b\cdot h^3}{12}</math>
-[[Datei:Durchbiegungsermittlung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_2.png|400px|thumb|right|Tabelle: Formeln zur Ermittlung der Querschnittswerte im Zustand I und II für bewehrte Betonquerschnitte mit Zugbewehrung<ref>Goris, Alfons; Bender, Michél: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1, 6. Überarbeitete und erweiterte Auflage. Berlin: Beuth Verlag GmbH; S. 270, 271</ref>]]
+wobei:
-[[Datei:Durchbiegungsermittlung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_1.png|400px|thumb|right|Prinzipdarstellung: Vergleich der wirkenden Belastung und des Rissmomentes zur Beurteilung des Zustandwechsels]]
+:{|
+|-
+| <math> b </math> … || Breite
+|-
+| <math> h </math> … || Höhe
+|}</li>
+<br />
+Mit zunehmender Systemlänge nehmen die Verformungen zu.
+===Bewehrungslage/-menge===
+Auch die Lage und Menge der Bewehrung hat einen Einfluss auf das Flächenträgheitsmoment und somit auf die Verformungen. Je größer der Abstand der Bewehrung vomSchwerpunkt ist und je mehr Bewehrung vorhanden ist, desto größer wird das Flächenträgheitsmoment. Der Einfluss der Bewehrung auf die Bauteilsteifigkeit spielt allerdings erst im Zustand II eine größere Rolle, im Zustand I ist ihr Einfluss unbedeutend gering.
+===Belastung===
+Mit steigender Belastung vergrößert sich der Bereich im Zustand II befindet, sodass die Steifigkeit abnimmt und die Verformungen zunehmen. Unter kurzzeitiger Belastung treten kleinere Verformungen auf als unter langzeitiger.
+===Belastungsgeschichte===
+Wenn ein Bauteil einmal in den gerissenen Zustand übergegangen ist, nimmt die Steifigkeit irreversibel ab. Sinkt die Last wieder unter die Last, bei der es zur Rissbildung kommt, nimmt die Steifigkeit nicht wieder zu. Wenn das Bauteil planmäßig Lasten ausgesetzt ist, welche zur Rissbildung führen oder wenn dies nicht ausgeschlossen werden kann, ist diesem Umstand bei der Verformungsberechnung durch Vergrößerung des Bereichs im Zustand II Rechnung zu tragen, auch wenn unter den Lasten, die der Berechnung zu Grunde liegen keine Risse entstehen.
+===Kriechen===
+Unter Kriechen versteht man die zeitabhängige Verformungszunahme unter konstanter Belastung. Auf die Grundlagen für und die Einflüsse auf das [[Kriechen]] wird auf einer gesonderten Seite eingegangen. Allgemein lässt sich feststellen, dass je größer der Kriecheinfluss ist, desto mehr nehmen die Verformungen zu. Berücksichtigt werden kann der Kriecheinfluss durch die Abminderung des Elastizitätsmoduls mithilfe der Kriechzahl.
+===Schwinden===
+Auch für nähere Informationen zum [[Schwinden]] steht eine gesonderte Seite zur Verfügung. Der Einfluss des Schwindens auf die Verformungen resultiert aus der unterschiedlich stark behinderten Schwindverformung durch die Bewehrung über die Querschnittshöhe. Im Zugbereich wird die Schwindverformung durch die Zugbewehrung behindert. Ist im Druckbereich keine oder nur wenig Bewehrung vorhanden, finden die Schwindverformungen ungehindert statt. Durch die unterschiedlichen Dehnungen an Bauteilober- und -unterseite entsteht eine Krümmung und infolgedessen eine Durchbiegung. Die größere Krümmung wird rechnerisch durch einen zusätzlichen Krümmungsanteil berücksichtigt.
-Die Differenzierung des Bauteiles zwischen den Zuständen I und II beschreibt maßgeblich das Verformungsverhalten des jeweiligen Bauteiles. Das Maß der Rissbildung beeinflusst die Steifigkeit der für die Durchbiegung betrachteten Querschnitte. Während im Zustand I der gesamte Querschnitt des bewehrten Betons in die Steifigkeitsberechnung beteiligt ist, wird die Steifigkeit im Zustand II vermindert. Die minimierte Steifigkeit führt folglich zu einer Vergrößerung der Durchbiegung.
+Die Krümmungen infolge Schwinden sind belastungsunabhängig, sie hängen nur von der Bauteilgeometrie ab. Die Krümmungen infolge Schwinden sind somit bei konstantem Querschnitt über die Bauteillänge bekannt.
-<br/>
-Die Rissbildung des bewehrten Betonquerschnittes wird maßgebend charakterisiert durch das Verhalten des Betons unter Zug. Dargestellt wird dies mit Hilfe des Rissmomentes. Kommt es zur Überschreitung des Rissmomentes beginnen die Betonfasern in der Zugzone zu reißen. Die Spannungsnulllinie des Betons verschiebt sich, die Druckzone des Betons wird verkleinert.
+===Temperatur===
-<br/>
+Die Temperatur teilt sich in einen konstanten und einen linearen Anteil auf. Der konstante Anteil führt zu einer konstanten Verformung (statisch bestimmte Systeme) bzw. Spannung (statisch unbestimmte Systeme) über die Querschnittshöhe. Der lineare Temperaturanteil entsteht, wenn eine Seite wärmer bzw. kälter ist als die andere, hieraus resultiert eine veränderliche Dehnung über die Querschnittshöhe und somit zu einer Krümmung. Wegen des allgemeinen Zusammenhangs von Krümmung und Durchbiegung, entsteht infolgedessen auch eine Durchbiegung.
-Vereinfacht wird in den Ansätzen zur Verformungsberechnung eine Differenzierung nach Zustand I, der Beton ist vollkommen ungerissen, und Zustand II, der Beton ist vollständig gerissen, vorgenommen. Folglich sind die Steifigkeiten für den reinen Zustand I und den reinen Zustand II in der Berechnung maßgebend. Eine Zusammenfassung der Querschnittswerte für den Zustand I und Zustand II lassen sich der Literatur entnehmen. <ref>Goris, Alfons; Bender, Michél: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1, 6. Überarbeitete und erweiterte Auflage. Berlin: Beuth Verlag GmbH; S. 270, 271</ref>
+===Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen===
+Zwischen den Rissen werden die Zugkräfte aus dem Beton wieder in den Beton übertragen, wodurch die Stahldehnung abnimmt. Wird die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen nicht berücksichtigt, wird die Verformung überschätzt, da die Krümmung überschätzt wird. Berücksichtigt werden kann sie über den Verteilungsbeiwert.
 =Statisch bestimmte Systeme=
-Die Schnittgrößenermittlung statisch bestimmter Systeme ist vereinfacht durch die Annahme, dass die Steifigkeit eines Bauteils konstant ist. Die Differenzierung nach Zustand I und Zustand II findet aufgrund dieses elastischen Verhaltens in der Schnittgrößenermittlung keine Relevanz. Für die Berechnung der Durchbiegung werden zwei Verfahren vorgeschlagen:
+==Näherungsverfahren nach EC2==
+Im Näherungsverfahren wird von einer konstanten Steifigkeit über das gesamte Bauteil ausgegangen. Die Krümmungen im Zustand I und II werden am Punkt der maximalen Belastung ermittelt und auf die gesamte Länge übertragen <ref>Goris, Alfons; Bender, Michél: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1, 6. Überarbeitete und erweiterte Auflage. Berlin: Beuth Verlag GmbH; S. 300ff</ref>. Die Berücksichtigung unterschiedlicher Querschnitte über die Bauteillänge ist mit dem Näherungsverfahren nicht möglich.
-*Das Näherungsverfahren nach EC2
+Die Verformungsberechnung mithilfe des Näherungsverfahrens läuft folgendermaßen ab:
-*Sowie die Durchbiegungsberechnung mit Hilfe einer numerischen Integration der Querschnittskrümmungen
-==Näherungsverfahren nach EC2==
+Im ersten Schritt wird die Krümmung im Zustand I an der Stelle des Maximalmoments ermittelt.
-Das Ziel des Näherungsverfahrens nach EC2 ist im wesentlichen ein vereinfachter Vorschlag der Krümmung eines Stahlbetonbauteiles und liefert unter Beachtung des Rissverteilungsbeiwertes die mittlere zu erwartende Krümmung des betrachteten Bauteiles.
+<math>\kappa_I = \left(\frac{1}{r}\right)_{I} = \frac{M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_I}</math>
-<br/>
-Die jeweils maximalen zu erwartenden Krümmungen des Zustand I und Zustand II werden berechnet. Dabei findet eine Differenzierung der Krümmung nach den Ursachen Last+Kriechen und Schwinden statt. Folglich ergeben sich vier unterschiedliche Krümmungen – jeweils zwei Größen für den Zustand I und Zustand II.<ref>Goris, Alfons; Bender, Michél: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1, 6. Überarbeitete und erweiterte Auflage. Berlin: Beuth Verlag GmbH; S. 300ff</ref>
+wobei:
-:<math>\kappa = (1/r) = \frac{M}{EI}</math>
-:<math>\kappa_{cs} = (1/r)_{cs} = \epsilon_{cs} \cdot \alpha_{e} \cdot S/I</math>
 :{|
 |-
-| κ || Krümmung unter Last+Kriechen
+| <math> \kappa_I </math> … || Krümmung im Zustand I
 |-
-| κ <sub>cs</sub> || Krümmung unter Schwinden
+| <math> M_{Ed} </math> … || einwirkendes Moment
 |-
-| E || Elastizitätsmodul
+| <math> E_{c,eff}</math> … || effektives Elastizitätsmodul (Berücksichtigung des Kriechens)
 |-
-| I || Flächenmoment 2. Grades
+| <math> I_{I}</math> … || Trägheitsmoment im Zustand I
+|}</li>
+<math>E_{c,eff}=\frac{E_{cm}}{1+\phi_{\infty,t_0}}</math>
+wobei:
+:{|
 |-
-| S || Flächenmoment 1. Grades
+| <math> E_{cm}</math> … || mittleres Elastizitätsmodul
 |-
-| α <sub>e</sub> || Verhältnis der Elastizitätsmodule Stahl und Beton
+| <math> \phi_{\infty,t_0}</math> … || Kriechzahl
-|-
+|}</li>
-| ε <sub>cs</sub> || Endschwindmaß
+<br />
-|}
+Anschließend wird die Krümmung an der Stelle des maximalen Moments für den vollständig gerissenen Querschnitt ermittelt.
-Die Querschnittswerte zur Ermittlung der Steifigkeit können der [Tabelle] entnommen werden.
+<math>\kappa_{II} = \left(\frac{1}{r}\right)_{II} = \frac{\varepsilon_s}{d-x}</math>
-<br/>
-Das Kriechverhalten findet seine Beachtung durch den effektiven Elastizitätsmodul.
+wobei:
-:<math>E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+ \phi (\infty , t_{0})}</math>
 :{|
 |-
-| E <sub>cm</sub> || mittlerer Elastizitätsmodul Beton
+| <math> \kappa_{II} </math> … || Krümmung im Zustand II
 |-
-| φ(∞,t<sub>0</sub>) || Endkriechzahl
+| <math> \varepsilon_s=\frac{\sigma_s}{E_s} </math> … || Stahldehnung im Zustand II
-|}
+|-
+| <math> d</math> … || statische Nutzhöhe
+|-
+| <math> x</math> … || Druckzonenhöhe im Zustand II
+|}</li>
+<math>x=\xi\cdot d=d\cdot\left(-\alpha_e\cdot\rho_l+\sqrt{(\alpha_e\cdot\rho_l)^2+2\cdot\alpha_e\cdot\rho_l}\right)</math>
-Zur Berechnung der mittleren Krümmung wird der Rissverteilungswert benötigt. Der Rissverteilungsbeiwert drückt dabei die Verteilung des Zustand I und Zustand II über die Bauteilachse aus und lässt sich nach folgendem Ansatz berechnen:
+wobei:
-:<math>\zeta = 1- \beta \cdot (\frac{\sigma_{sr}}{\sigma_{s}})^{2}</math>
 :{|
 |-
-| β || Beiwert zur Berücksichtigung der Belastungsdauer (=0,5 für Langzeitbelastungen; =1,0 für Kurzzeitbelastungen)
+| <math> \alpha_e=\frac{E_s}{E_{c,eff}} </math> … || Verhältnis der Elastizitätsmoduli
 |-
-| σ<sub>sr</sub> || Stahlspannung unter Rissmoment
+| <math> \rho_l=\frac{A_s}{b\cdot d} </math> … || Längsbewehrungsgrad
 |-
-| σ<sub>s</sub> || Stahlspannung unter Belastung
+| <math> A_s</math> … || Bewehrungsquerschnittsfläche
-|}
+|}</li>
+<math>\sigma_s=\frac{M_{Ed}}{A_s\cdot\left(d-\frac{x}{3}\right)}</math>
+Darauf folgend kann mithilfe des Verteilungsbeiwerts der wahrscheinliche Wert der Krümmung ermittelt werden. Statt über die Spannungen kann der Verteilungsbeiwert auch mithilfe des einwirkenden Moments und des Rissmoments ermittelt werden.
+<math>\kappa_m=\left(\frac{1}{r}\right)_m=\zeta\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{I}</math>
+<math>\zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{\sigma_{sr}}{\sigma_s}\right)^2=1-\beta\cdot\left(\frac{M_{cr}}{M_{Ed}}\right)^2</math>
-Alternativ lässt sich der Quotient der Stahlspannungen durch den Quotient aus Rissmoment und Feldmoment ersetzen:
+wobei:
-:<math>\zeta = 1- \beta \cdot (\frac{M_{cr}}{M})^{2}</math>
 :{|
 |-
-| β || Beiwert zur Berücksichtigung der Belastungsdauer (=0,5 für Langzeitbelastungen; =1,0 für Kurzzeitbelastungen)
+| <math> \sigma_{sr}=\frac{M_{cr}}{A_s\cdot\left(d-\frac{x}{3}\right)}\cdot </math> … || Anrissspannung im Zustand II
-|-
-| M<sub>cr</sub> || Rissmoment
 |-
-| M || Stahlspannung unter Belastung
+| <math> M_{cr}=f_{ctm}\cdot\frac{I_I}{z_I} </math> … || Rissbildungsmoment
-|}
-Rissmoment nach DafStb<ref>Krüger, Wolfgang; Mertzsch, Olaf: Zum Trag und Verformungsverhalten bewehrter Betonquerschnitte im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit. In: DafStb Heft 533, Berlin 2006: Beuth</ref>:
-:<math>M_{cr} = W_{el} \cdot f_{ctm}</math>
-:{|
 |-
-| W<sub>el</sub> || elastisches Widerstandsmoment
+| <math> f_{ctm} </math> … || Betonzugfestigkeit
 |-
-| f<sub>ctm</sub> || mittlere Betonzugfestigkeit
+| <math> z_I </math> … || Abstand des Schwerpunkts vom Zugrand
-|}
+|}</li>
+Für nähere Erläuterungen zum Verteilungsbeiwert vgl. oben.
+Nach diesen Schritten werden die Krümmungen infolge Schwinden im Zustand I und II ermittelt.
+[[Datei:Durchbiegungsermittlung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_8.jpg|300px|thumb|right|Steifigkeitsbeiwert für den Zustand II<ref>Deutscher Aussschuss für Stahlbeton: Bemessungshilfen zu Eurocode 2, Teil 1, Planung von Stahlbeton und Spannbetonwerken; DAfStb Heft 425</ref>]]
-Man differenziert die Art der Belastung nach Kurzzeitbelastungen und Langzeitbelastungen. Langzeitbelastungen weisen dabei eine größere Krümmungsentwicklung auf als Kurzzeitbelastungen.
+<math> \kappa_{cs}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S}{I} </math>
-<br/>
-Die mittlere Krümmung des Bauteils lässt sich nachfolgend über Rissverteilungsbeiwert ermitteln. Folglich werden die Krümmungen unter Last+Kriechen und Schwinden addiert.
+wobei:
-:<math>(1/r)_{IIm} = \zeta \cdot (1/r)_{II} \cdot (1-\zeta) \cdot (1/r)_{I}</math>
 :{|
 |-
-| ζ || Rissverteilungsbeiwert
+| <math> \kappa_{cs} </math> … || Krümmung infolge Schwinden
+|-
+| <math> \varepsilon_{cs} </math> … || Schwindmaß
+|-
+| <math> S_I=A_s\cdot z_{s1} </math> … || Flächenmoment 1. Grades der Querschnittsfläche der Bewehrung, bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnitts im Zustand I
+|-
+| <math> S_{II}=A_s\cdot \left(d-x\right) </math> … || Flächenmoment 1. Grades der Querschnittsfläche der Bewehrung, bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnitts im Zustand II
 |-
-| (1/r)<sub>II</sub> || Krümmung im Zustand II
+| <math> I_I </math> … || Flächenträgheitsmoment im Zustand I
 |-
-| (1/r)<sub>I</sub> || Krümmung im Zustand I
+| <math> I_{II}=k_{II}\cdot I_I </math> … || Flächenträgheitsmoment im Zustand II
-|}
+|-
+| <math> k_{II} </math> … || Steifigkeitsbeiwert für den Zustand II (vgl. Grafik)
+|}</li>
+Mit diesen beiden Werten und dem Verteilungsbeiwert kann der wahrscheinliche Wert der Krümmung infolge Schwinden ermittelt werden.
+<math>\kappa_{cs,m}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}=\zeta\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,I}</math>
+[[Datei:Durchbiegungsermittlung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_7.jpg|300px|thumb|right|Beiwert für die Momentenverteilung<ref>Litzner, H.-U.: Grundlagen der Bemessung nach Eurocode 2, BK 1995</ref>]]
+Im letzten Schritt werden die einzelnen Krümmungsanteile addiert und schlussendlich aus der Gesamtkrümmung die Durchbiegung berechnet.
+<math>\kappa_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m}+\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}</math>
+<math>w=k\cdot l^2\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}</math>
-Abschließend wird die Durchbiegung unter zu Hilfenahme der bereits erwähnten Krümmung unter Abhängigkeit der Systemlänge und dem Beiwert zur Berücksichtigung des Momentenverlaufs zu einer Durchbiegung überführt:
+wobei:
-:<math>w(l/2) = k \cdot \kappa \cdot l^{2}</math>
 :{|
 |-
-| k || Beiwert zur Berücksichtigung des Momentenverlaufes
+| <math> w </math> … || Durchbiegung
 |-
-| κ || Krümmung in Feldmitte
+| <math> k </math> … || Beiwert für die Momentenverteilung (vgl. Grafik)
 |-
-| l || Systemlänge
+| <math> l </math> … || Systemlänge
-|}
+|}</li>
+[[Direkte Verformungsberechnung - Näherungsverfahren (Bsp.)| Beispiel]]
 ==Numerische Integration==
@@ Zeile 183: / Zeile 288: @@
 <br/>
 :<math>\overline{M}_{4} = \frac{1}{4} l</math>
+[[Datei:Durchbiegungsermittlung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_5.png|400px|thumb|right|Prinzipdarstellung: Krümmungsverlauf nach numerischer Integration]]
 Durch die Symmetrie des Momentenverlaufes und Krümmungsverlaufes genügt die Betrachtung einer Hälfte des Trägers.
@@ Zeile 192: / Zeile 299: @@
 Anhand dieser Gleichung lassen sich die Durchbiegungen beliebiger Einfeldsysteme berechnen. Unbekannte Größen sind dabei nur noch die n Querschnittskrümmungen.
 <br/>
+[[Datei:Durchbiegungsermittlung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_3.png|400px|thumb|right|Prinzipdarstellung: Beurteilung des Zustandwechsels anhand der Ordinaten x<sub>cr,1;2</sub>]]
 Eine Differenzierung zwischen den Zuständen I und II lässt sich über folgenden Ausdruck ermitteln<ref>Strohbusch, Jens: Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer Bewertung bestehender Regelungen. Universität Siegen, Fachbereich Bauingenieurwesen, Dissertation, 2010; S. 95</ref>:
@@ Zeile 217: / Zeile 326: @@
 =Statisch unbestimmte Systeme=
+[[Datei:Durchbiegungsermittlung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_6.png|400px|thumb|right|Prinzipdarstellung: Abhängigkeiten der Krümmungsberechnung statisch unbestimmter Systeme]]
 Die Schnittgrößenermittlung statisch unbestimmter Systeme steht in direktem Zusammenhang zu der Steifigkeitsentwicklung des Bauteiles. Die Differenzierung nach Zustand I und Zustand II hat somit maßgeblich einen Einfluss auf die Schnittgrößenermittlung und folglich gestaltet sich die Ermittlung der Durchbiegung als ein iterativer Prozess. Die Einschätzung nach Zustand I und Zustand II ist direkt gekoppelt an die Schnittgrößen, diese wiederum im Falle statisch unbestimmter Systeme an die Steifigkeiten des Bauteiles, die unter Beachtung der Rissbildung abgeschätzt wird.