Mitwirkende Plattenbreite: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 1. November 2022, 23:21 Uhr

Ideeller Spannungsverlauf (Test

Die mitwirkende Plattenbreite ist eine Ersatzbreite, mit der sich der reelle Verlauf der Druckspannungen innerhalb der Platte eines Plattenbalkens, unter Annahme einer rechteckigen Druckspannungsverteilung, annähern lässt. Die Berechnung im normalen Hochbau erfolgt mittels Annäherungsformel aus dem Eurocode 2, bei Sonderbauten wie Brücken kann eine genauere, computergestützte Berechnung sinnvoll sein.

Einleitung

Im Stahlbetonbau hat sich in den letzten hundert Jahren vor allem die monolithische Bauweise vom Plattenbalken als besonders leistungsfähig und wirtschaftlich herausgestellt. Plattenbalken sind Balken mit einem T-förmigen Querschnitt. In der Biegezugzone des Balkens befindet sich die Längsbewehrung und nimmt den Zug auf. Da bei Plattenbalken wegen der Bügel- und Mattenbewehrung von einem monolithischen Querschnitt ausgegangen werden kann, wird neben der Oberseite des Balkens auch eine bestimmte Breite der Platte für die Aufnahme der Druckspannungen im Biegedruckbereich hinzugezogen. Diese Breite wird als mitwirkende Plattenbreite (b_eff) bezeichnet. Eine genaue Berechnung ist äußerst umständlich, da neben der technischen Biegelehre auch die Elastizitätstheorie beachtet werden muss. Folgende Faktoren haben einen Einfluss:

Systemabmessungen
- Dicke der Platte
- Höhe des Balkens
Schub- und Biegesteifigkeit der Platte
Art der Belastung
Art des Systems
- Spannweite
- Abstand zwischen den Stegen
usw.

Der Eurocode 2 enthält eine Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite, die für den normalen Hochbau ausreichend genaue Ergebnisse darstellt. Ausreichend genau bedeutet hier, dass eine genaue Berechnung oft unwirtschaftlich im Vergleich zur Nutzung der Annäherungsformel wäre.

Berechnungsgrundlagen

Anwendung

Gebrauch findet die mitwirkende Plattenbreite in der Biegebemessung von Plattenbalken. In der Vorbemessung führt eine große mitwirkende Breite zu einem kleineren μ_Eds, was wiederum über Tabellenwerte zu einem kleineren ω führt.

\mu _{Eds}={\cfrac {M_{Eds}}{b_{eff}\cdot d^{2}\cdot f_{cd}}}

Bei der Bewehrungswahl führt eine größere mitwirkende Plattenbreite sowie ein kleineres ω anschließend zu weniger erforderlicher Bewehrung.

A_{s}={\cfrac {1}{f_{yd}}}(\omega \cdot b_{eff}\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed})

Ein genauer Berechungsablauf wird in Mitwirkende Plattenbreite (Bsp.) aufgezeigt.

Berechnung nach Eurocode 2

Für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit, darf die mitwirkende Plattenbreite wie folgt ermittelt werden:

b_{eff}=\sum b_{eff,i}+b_{w}\leq b

mit:

b_{eff,i}={min}{\begin{cases}0{,}2\cdot b_{i}+0{,}1\cdot l_{0}\\0{,}2\cdot l_{0}\\b_{i}\end{cases}}

System

Wissenschaftlicher Hintergrund

Die Forschung zur mitwirkenden Plattenbreite hat bereits zum Anfang des 20. Jahrhunderts begonnen (siehe Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung) und sich von sehr groben Formeln zu einer Näherungsberechnung entwickelt, die viele Faktoren berücksichtigt. Jedoch ist der Zweck dieser Näherung eben dieser - ein kompliziertes System vereinfacht darzustellen. Einige Faktoren sind heute innerhalb der Näherung klar definiert und zu einigen gibt es umfassende wissenschaftliche Arbeiten, dessen Erkenntnisse jedoch nur teilweise in der Norm erwähnt werden. Es ist allerdings unausweichlich, die wichtigsten Faktoren, die die mitwirkende Plattenbreite beeinflussen, zu betrachten.

Berechnung nach Scheibentheorie

Die Scheibentheorie befasst sich mit der Berechnung von Spannungen und Verformungen innerhalb von Scheibenelementen. Nach der Theorie wird ein Plattenbalken in zwei Plattenelemente und den Balken aufgeteilt, die jeweils einzeln betrachtet werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass an der Verbindungsfuge eine definierbare Schubspannung T übertragen wird. Die Scheibe wird als dünnes, ebenes Tragelement betrachtet, welches nur in seiner Ebene beansprucht wird. Biegebeanspruchungen und somit auch alle orthogonal zur Platte stehenden Spannungen werden vernachlässigt, demnach werden nur Spannungen in der Mittelebene der Platte betrachtet. Die genaue Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite erfolgt mittels AIRY'scher Spannungsfunktion, die über Randbedingungen gelöst werden kann. Ein Beispiel liefert hier Literatur von Hake ^[1]. Der Aufwand ist jedoch groß, sodass eine Berechnung nach technischer Biegelehre meist sinnvoller wird.

Berechnung nach technischer Biegelehre

Bei der Biegespannungsermittlung nach technischer Biegelehre wird eine konstante Spannungsverteilung über die Querschnittsbreite vorausgesetzt. Um diesen Zustand beim Plattenbalken zu erreichen, wird ein Ersatzsystem definiert, bei dem die tatsächlichen durch das Mittragen der Platte entstehenden Längsdruckspannungen in einen idealisierten Spannungskörper umgelagert werden. Wichtig hierbei ist die Betrachtung der maximal auftretenden Spannung direkt über dem Steg, die bei Gleichlast maßgebend für den restlichen Verlauf ist. Da über der Stegbreite b_w keine Änderung der Dehnung der obersten Faser bemerkbar ist, ε_x also in dem Bereich konstant bleibt, kann für den restlichen idealisierten Körper, außerhalb des Stegbereiches, diese Größe als maßgebend betrachtet werden.

b_{eff,1}\cdot {max}\sigma _{x}=\sum \sigma _{x}{dx}

Der Flächeninhalt der realen Spannungen soll demnach dem der idealisierten Spannungen mit der vorgegebenen Höhe max σ_x entsprechen. Aus der Idealisierung geht eine Veränderung der Spannungsnulllinie hervor. Im reellen Fall nähert sich diese mit steigendem Abstand zum Steg an die Platte an. Zur korrekten Anwendung der technischen Biegelehre hat die Spannung durch Benutzung der maßgebenden Höhe max σ_x an jeder Stelle denselben Abstand zur Nulllinie. Hierdurch verkleinert sich folglich der innere Hebelarm der Kräfte, was zu einer höheren Sicherheit der Näherungsmethode führt. ^[2]

Schub- und Biegesteifigkeit der Platte

Dass die sich vom Steg entfernenden Bereiche der Platte mit steigender Entfernung vom Mitwirken entziehen, hat seinen Ursprung in der Schub- und Biegesteifigkeit der Platte. Letztere bleibt oft unbeachtet, was dazu führen kann, dass die Ergebnisse zu sehr auf der sicheren Seite liegend sind. Einen Ansatz bietet Brendel mit der Unterteilung von b_eff in die jeweiligen Anteile, die in der Platte durch Schubfestigkeit (b_eff,s) und durch die Biegesteifigkeit (b_eff,b) mitwirken. ^[2]

Schubsicherer Verbund
Eine schubsichere Verbindung zwischen der Platte und dem Balken wird heute mittels Bügeln und ausreichender Bewehrung gewährleistet. Dabei wird der Schubübertrag als so groß angenommen, dass der Plattenbalken als monolithisch angesehen werden darf. Durch diese Verbindung erfahren beide Bauteile an der Anschlussstelle bei Biegung dieselben Längsdehnungen. Während der Belastung auf Biegung kommt es im Zustand II, also bei der Überschreitung der Betonzugfestigkeit innerhalb der Biegezugzone, zu Betondruckstreben zwischen den Rissen und zu Zugstreben der Anschlussbewehrung. Begleiterscheinung von Biegung ist immer eine Längsschubkraft τ. Diese wirkt in horizontaler Richtung in der Verbindungsfuge zwischen Platte und Balken und wurde bereits mit T definiert. Vertikal wirkende Schubkräfte sind vernachlässigbar gering. ^[3]
Bei vollen Querschnitten ist der Einfluss der Schubkräfte verschwindend gering, je dünner die Querschnitte, desto präsenter sind sie. Der mittragende Anteil aus Schubkräften b_eff,s ergibt sich aus den an der Fuge übertragenden Spannungen, die jedoch mit dem Abstand zum Steg innerhalb der Platte aufgrund von Schubverzerrungen abnehmen. Zusätzlich entzieht sich die Platte umso mehr der Mitwirkung, umso größer das Verhältnis zwischen der Plattenbreite zur effektiven Spannweite ist. ^[4]
Biegesteifigkeit der Platte
Da sich durch die Spannungsübertragung an der Verbindungsfuge auch Biegemomente übertragen, wird die Platte neben der Schubsteifigkeit auch auf seine Biege- steifigkeit beansprucht. Die Größe vom Biegemoment steigt proportional zu dem Verhältnis der Plattendicke zur Steghöhe. Nach Marguerre darf b_eff,b bei Plattenbreiten bis zu einem Viertel der Stützweite über die gesamte Breite als wirkend angenommen werden. Die Bewehrungsführung verursacht zumeist eine größere Biegesteifigkeit quer zur Stützweite, was zur Folge hat, dass der wirksame Bereich von b_eff,b in Wirklichkeit größer ist. Ein größeres Verhältnis von Stützweite zu Stegbreite führt dazu, dass sich das Trägheitsmoment stärker auf den Gesamtquerschnitt auswirkt. b_eff,b ist demnach vor allem bei gedrungeneren Stegen Beachtung zu schenken. ^[2]
Kräfteverlauf
Der Kräfteverlauf innerhalb von Plattenbalken kann mittels Zug- und Druckspannungstrajektoren dargestellt werden. ^[3] Eine logische Schlussfolgerung aus den vorherigen Betrachtungen ist, dass sich das Mitwirken der Platte mit steigender Belastung erhöht. Je nach System und Bewehrungsmenge wird die maximal mögliche mitwirkende Breite kurz vor dem Versagen voll ausgenutzt. Die Gründe dafür sind zum einen die Werkstoffeigenschaften von Beton, der im Druckbereich bei ständiger Beanspruchung nichtlineare Kriecherscheinungen aufweist, und zum anderen jene von Stahl, der nach Überschreiten der Fließgrenze stärkere Dehnungserscheinungen hat. Die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite nach dem Eurocode gilt für ungerissene Druckgurte und liegt demnach auf der sicheren Seite. ^[5]
Auflager
Bei allen vorherigen Betrachtungen wird von frei aufliegenden Auflagern ausgegangen. Im Auflagerbereich muss sich das Mitwirken der Platte zunächst einstellen, wie in vorheriger Abbildung zu erkennen ist. Grund dafür ist der Spannungsverlauf, der durch die Biegesteifigkeit der Platte entsteht.
Einzellasten
Bei Einzellasten kommt es zu einer Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite. Diese nimmt demnach im Bereich von konzentrierten Einzellasten ab. Die Größe der Einschnürung ist nach Schleeh abhängig von dem Verhältnis der Plattenbreite zur Spannweite ( ${b}/{l_{eff}}$ ). Je kleiner das Verhältnis, desto geringer fällt die Einschnürung in Breite und Länge aus. Für bestimmte Systeme kommt es hier zu der Besonderheit, dass eine Einzellast in Feldmitte die Einschnürung aus den Auflagerungen abmindert. ^[6] Kritik gibt es hier jedoch von Chwalla</> hinsichtlich der konzentrierten Einzellasten aus der Theorie. Diese kommen so in der Praxis nicht vor. ^[7] Forschungsanstrengeungen von Brendel ergeben, dass sich die Einschnürung mit größeren Belastungen verkleinert. ^[2]
Art des Systems
Nach dem Eurocode geht das System über den Faktor l₀ in die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite mit ein. (siehe oben)
Einfeldträger
Der Einfeldträger ist aufgrund der einfachen Herstellungsvariante das meistgenutzte System und kommt hauptsächlich für Versuchsabläufe zum Einsatz. Die Wirkweise ist demnach umfassend erforscht und der Kraftverlauf (siehe oben) wird aus diesem hergeleitet.
Kragarm
Die Regelungen für den Kragarm nach Eurocode $l_{0}=0,15\cdot l_{2}+l_{3}$ unterscheidet nach analytischen Ergebnissen bei sehr kurzen Kragarmen stark vom reellen Zustand, weshalb die Regelung mit $l_{0}=1,5\cdot l_{eff,3}$ erweitert wird, wobei der kleinere beider Werte maßgebend ist.
Durchlaufträger
Über den Zwischenauflagern von Durchlaufträgern ist der obere Bereich des Plattenbalkens auf Zug beansprucht, der üblicherweise über die verlagerte Zugbewehrung aufgenommen wird. Im Eurocode wird dieser Bereich mit der Lage der Momentennulldurchgänge berücksichtigt, wobei $l_{0}=0,85\cdot l_{1}$ für Randfelder und $l_{0}=0,7\cdot l_{2}$ für Mittelfelder gilt.
Balkenreihe
Bei einer Aneinanderreihung von Plattenbalken in Querrichtung ist die Querverformung im Gegensatz zum Einzelbalken innerhalb der Platte durch das angrenzende System senkrecht zur Balkenstützweite behindert. Aus diesem Grund erhöht sich die mitwirkende Breite bei Balkenreihen im Gegensatz zu einzelnen Balken nach Brendel um etwa 15%. ^[2]

Computerbasierte FE-Berechnung
Fazit
Die Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite soll auf möglichst einfache Art und Weise möglichst viel Faktoren berücksichtigen. Sie wurde im laufe des letzten Jahrhundert entwickelt und durch viele wissenschaftliche Arbeiten verbessert. In vielen Ländern außerhalb des Eurocodes werden genau dieselben oder ähnliche Ansätze zur Berechnung vorgeschlagen, einige davon wesentlich ungenauer als im Eurocode. (siehe Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung)

Vergleicht man die verschiedenen Berechnungsmethoden miteinander, lässt sich schließen, dass alle hinreichend genaue Ergebnisse liefern. Die Genauigkeit bei Plattenbalken spielt zudem keine sehr große Rolle, da sich der Hebelarm der inneren Kräfte und damit die erforderliche Bewehrung mit der Größe der mitwirkenden Breite kaum ändert und die Biegedruckzone bei Plattenbalken fast nie ausgenutzt ist. Lediglich bei Sonderbauten oder Optimierungsaufgaben kann die Berechnung mittels Finiten-Elementen präzisere und somit wirtschaftlichere Ergebnisse liefern. ^[8] Der Mehraufwand durch die Computerberechnung wird sich in den kommenden Jahren durch den Fortschritt der technischen Möglichkeiten dabei minimieren.
Quellen

↑ Hake, Erwin ; Meskouris, Konstantin: Statik der Flächentragwerke: Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2., korr. Aufl. Berlin : Springer, 2007 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 978–3–540–72623–4

↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In: Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900

↑ ^3,0 ^3,1 Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6

↑ Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900

↑ Peil, U.: Mitwirkende Plattenbreite - Eine Richtigstellung. In: Beton- und Stahlbetonbau 74 (1979), Nr. 10, S. 243–246. – ISSN 00059900

↑ Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900

↑ Chwalla, E.: Die Formeln zur Berechnung der "voll mitwirkenden Breite" dünner Gurt- und Rippenplatten. In: Stahlbau (1936), Nr. 10, S. 73

↑ Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900

Seiteninfo

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[1] Hake, Erwin ; Meskouris, Konstantin: Statik der Flächentragwerke: Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2., korr. Aufl. Berlin : Springer, 2007 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 978–3–540–72623–4

[Brendel1960-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In: Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900

[Leonhardt-3] 3,0 ^3,1 Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6

[4] Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900

[Peil-5] Peil, U.: Mitwirkende Plattenbreite - Eine Richtigstellung. In: Beton- und Stahlbetonbau 74 (1979), Nr. 10, S. 243–246. – ISSN 00059900

[6] Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900

[7] Chwalla, E.: Die Formeln zur Berechnung der "voll mitwirkenden Breite" dünner Gurt- und Rippenplatten. In: Stahlbau (1936), Nr. 10, S. 73

[8] Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900

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 Gebrauch findet die mitwirkende Plattenbreite in der Biegebemessung von Plattenbalken. In der Vorbemessung führt eine große mitwirkende Breite zu einem kleineren &mu;<sub>Eds</sub>, was wiederum über Tabellenwerte zu einem kleineren &omega; führt.
-<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> </br>
+:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> </br>
-Bei der Bewehrungswahl führt eine größere mitwirkende Plattenbreite sowie ein kleineres &omega; anschließend zu weniger erforderlicher Bewehrung.
+Bei der Bewehrungswahl führt eine größere mitwirkende Plattenbreite sowie ein kleineres &omega; anschließend zu weniger erforderlicher Bewehrung. </br>
-<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} + N_{Ed})</math> </br>
+:<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} + N_{Ed})</math> </br>
 Ein genauer Berechungsablauf wird in [[Mitwirkende Plattenbreite (Bsp.)]] aufgezeigt.
 === Berechnung nach Eurocode 2===
 Für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit, darf die mitwirkende Plattenbreite wie folgt ermittelt werden:
-:<math>b_\mathrm{eff}=\sum b_\mathrm{eff,i} + b_\mathrm{w}\le b</math><br />
+:<math>b_{eff}=\sum b_{eff,i} + b_{w}\le b</math> <br />
 <br />
 :mit:<br />
 <br />
-:<math>b_\mathrm{eff,i}=\mathrm{min}\begin{cases}
+:<math>b_{eff,i}={min}
-{,}2 \cdot b_\mathrm{i} + 0{,}1 \cdot l_\mathrm{0} \\
+\begin{cases}
-,2 \cdot l_\mathrm{0} \\
+{,}2 \cdot b_{i} + 0{,}1 \cdot l_{0} \\
-b_\mathrm{i}
+{,}2 \cdot l_{0} \\
+b_{i}
 \end{cases}</math><br />
 <br />
 === System ===
-[[File:Zusatzangaben Plattenbalken 2.PNG|rahmenlos|tumb|650px|Eingabefeld]]<br />
+[[File:Zusatzangaben Plattenbalken 2.PNG|rahmenlos|tumb|650px|Eingabefeld]]<br /><br />
 == Wissenschaftlicher Hintergrund==
-Die Forschung zur mitwirkenden Plattenbreite hat bereits zum Anfang des 20. Jahrhunderts begonnen (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) und sich von sehr groben Formeln zu einer Näherungsberechnung entwickelt, die viele Faktoren berücksichtigt. Jedoch ist der Zweck dieser Näherung eben dieser - ein kompliziertes System vereinfacht darzustellen. Einige Faktoren sind heute innerhalb der Näherung klar definiert und zu einigen gibt es umfassende wissenschaftliche Arbeiten, dessen Erkenntnisse jedoch nur teilweise in der Norm erwähnt werden. Es ist allerdings unausweichlich, wichtigsten Faktoren, die die mitwirkende Plattenbreite bestimmen, vorzustellen.
+Die Forschung zur mitwirkenden Plattenbreite hat bereits zum Anfang des 20. Jahrhunderts begonnen (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) und sich von sehr groben Formeln zu einer Näherungsberechnung entwickelt, die viele Faktoren berücksichtigt. Jedoch ist der Zweck dieser Näherung eben dieser - ein kompliziertes System vereinfacht darzustellen. Einige Faktoren sind heute innerhalb der Näherung klar definiert und zu einigen gibt es umfassende wissenschaftliche Arbeiten, dessen Erkenntnisse jedoch nur teilweise in der Norm erwähnt werden. Es ist allerdings unausweichlich, die wichtigsten Faktoren, die die mitwirkende Plattenbreite beeinflussen, zu betrachten.
 === Berechnung nach Scheibentheorie===
+Die Scheibentheorie befasst sich mit der Berechnung von Spannungen und Verformungen innerhalb von Scheibenelementen. Nach der Theorie wird ein Plattenbalken in zwei Plattenelemente und den Balken aufgeteilt, die jeweils einzeln betrachtet werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass an der Verbindungsfuge eine definierbare Schubspannung T übertragen wird. Die Scheibe wird als dünnes, ebenes Tragelement betrachtet, welches nur in seiner Ebene beansprucht wird. Biegebeanspruchungen und somit auch alle orthogonal zur Platte stehenden Spannungen werden vernachlässigt, demnach werden nur Spannungen in der Mittelebene der Platte betrachtet. Die genaue Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite erfolgt mittels AIRY'scher Spannungsfunktion, die über Randbedingungen gelöst werden kann. Ein Beispiel liefert hier Literatur von <i>Hake</i> <ref>Hake, Erwin ; Meskouris, Konstantin: Statik der Flächentragwerke: Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2., korr. Aufl. Berlin : Springer, 2007 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 978–3–540–72623–4</ref>. Der Aufwand ist jedoch groß, sodass eine Berechnung nach technischer Biegelehre meist sinnvoller wird.
 === Berechnung nach technischer Biegelehre===
+Bei der Biegespannungsermittlung nach technischer Biegelehre wird eine konstante Spannungsverteilung über die Querschnittsbreite vorausgesetzt. Um diesen Zustand beim Plattenbalken zu erreichen, wird ein Ersatzsystem definiert, bei dem die tatsächlichen durch das Mittragen der Platte entstehenden Längsdruckspannungen in einen idealisierten Spannungskörper umgelagert werden. Wichtig hierbei ist die Betrachtung der maximal auftretenden Spannung direkt über dem Steg, die bei Gleichlast maßgebend für den restlichen Verlauf ist. Da über der Stegbreite b<sub>w</sub> keine Änderung der Dehnung der obersten Faser bemerkbar ist, &epsilon;<sub>x</sub> also in dem Bereich konstant bleibt, kann für den restlichen idealisierten Körper, außerhalb des Stegbereiches, diese Größe als maßgebend betrachtet werden. <br />
+:<math>b_{eff,1} \cdot {max} \sigma_x = \sum \sigma_x {dx} </math> <br />
+Der Flächeninhalt der realen Spannungen soll demnach dem der idealisierten Spannungen mit der vorgegebenen Höhe max &sigma;<sub>x</sub> entsprechen. Aus der Idealisierung geht eine Veränderung der Spannungsnulllinie hervor. Im reellen Fall nähert sich diese mit steigendem Abstand zum Steg an die Platte an. Zur korrekten Anwendung der technischen Biegelehre hat die Spannung durch Benutzung der maßgebenden Höhe max &sigma;<sub>x</sub> an jeder Stelle denselben Abstand zur Nulllinie. Hierdurch verkleinert sich folglich der innere Hebelarm der Kräfte, was zu einer höheren Sicherheit der Näherungsmethode führt. <ref Name= "Brendel1960">Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In: Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900</ref>
 === Schub- und Biegesteifigkeit der Platte===
+Dass die sich vom Steg entfernenden Bereiche der Platte mit steigender Entfernung vom Mitwirken entziehen, hat seinen Ursprung in der Schub- und Biegesteifigkeit der Platte. Letztere bleibt oft unbeachtet, was dazu führen kann, dass die Ergebnisse zu sehr auf der sicheren Seite liegend sind. Einen Ansatz bietet <i>Brendel<i> mit der Unterteilung von b<sub>eff</sub> in die jeweiligen Anteile, die in der Platte durch Schubfestigkeit (b<sub>eff,s</sub>) und durch die Biegesteifigkeit (b<sub>eff,b</sub>) mitwirken. <ref name = "Brendel1960"/>
 ==== Schubsicherer Verbund====
+Eine schubsichere Verbindung zwischen der Platte und dem Balken wird heute mittels Bügeln und ausreichender Bewehrung gewährleistet. Dabei wird der Schubübertrag als so groß angenommen, dass der Plattenbalken als monolithisch angesehen werden darf. Durch diese Verbindung erfahren beide Bauteile an der Anschlussstelle bei Biegung dieselben Längsdehnungen. Während der Belastung auf Biegung kommt es im Zustand II, also bei der Überschreitung der Betonzugfestigkeit innerhalb der Biegezugzone, zu Betondruckstreben zwischen den Rissen und zu Zugstreben der Anschlussbewehrung. Begleiterscheinung von Biegung ist immer eine Längsschubkraft &tau;. Diese wirkt in horizontaler Richtung in der Verbindungsfuge zwischen Platte und Balken und wurde bereits mit T definiert. Vertikal wirkende Schubkräfte sind vernachlässigbar gering. <ref Name = "Leonhardt"> Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6 </ref> <br />
+Bei vollen Querschnitten ist der Einfluss der Schubkräfte verschwindend gering, je dünner die Querschnitte, desto präsenter sind sie. Der mittragende Anteil aus Schubkräften b<sub>eff,s</sub> ergibt sich aus den an der Fuge übertragenden Spannungen, die jedoch mit dem Abstand zum Steg innerhalb der Platte aufgrund von Schubverzerrungen abnehmen. Zusätzlich entzieht sich die Platte umso mehr der Mitwirkung, umso größer das Verhältnis zwischen der Plattenbreite zur effektiven Spannweite ist. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref>
 ==== Biegesteifigkeit der Platte====
+Da sich durch die Spannungsübertragung an der Verbindungsfuge auch Biegemomente übertragen, wird die Platte neben der Schubsteifigkeit auch auf seine Biege- steifigkeit beansprucht. Die Größe vom Biegemoment steigt proportional zu dem Verhältnis der Plattendicke zur Steghöhe. Nach <i>Marguerre</i> darf b<sub>eff,b</sub> bei Plattenbreiten bis zu einem Viertel der Stützweite über die gesamte Breite als wirkend angenommen werden. Die Bewehrungsführung verursacht zumeist eine größere Biegesteifigkeit quer zur Stützweite, was zur Folge hat, dass der wirksame Bereich von b<sub>eff,b</sub> in Wirklichkeit größer ist. Ein größeres Verhältnis von Stützweite zu Stegbreite führt dazu, dass sich das Trägheitsmoment stärker auf den Gesamtquerschnitt auswirkt. b<sub>eff,b</sub> ist demnach vor allem bei gedrungeneren Stegen Beachtung zu schenken. <ref name = "Brendel1960" />
 === Kräfteverlauf===
+Der Kräfteverlauf innerhalb von Plattenbalken kann mittels Zug- und Druckspannungstrajektoren dargestellt werden. <ref name="Leonhardt" /> Eine logische Schlussfolgerung aus den vorherigen Betrachtungen ist, dass sich das Mitwirken der Platte mit steigender Belastung erhöht. Je nach System und Bewehrungsmenge wird die maximal mögliche mitwirkende Breite kurz vor dem Versagen voll ausgenutzt. Die Gründe dafür sind zum einen die Werkstoffeigenschaften von Beton, der im Druckbereich bei ständiger Beanspruchung nichtlineare Kriecherscheinungen aufweist, und zum anderen jene von Stahl, der nach Überschreiten der Fließgrenze stärkere Dehnungserscheinungen hat. Die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite nach dem Eurocode gilt für ungerissene Druckgurte und liegt demnach auf der sicheren Seite. <ref Name="Peil">Peil, U.: Mitwirkende Plattenbreite - Eine Richtigstellung. In: Beton- und Stahlbetonbau 74 (1979), Nr. 10, S. 243–246. – ISSN 00059900</ref>
 ==== Auflager====
+Bei allen vorherigen Betrachtungen wird von frei aufliegenden Auflagern ausgegangen. Im Auflagerbereich muss sich das Mitwirken der Platte zunächst einstellen, wie in vorheriger Abbildung zu erkennen ist. Grund dafür ist der Spannungsverlauf, der durch die Biegesteifigkeit der Platte entsteht.
 ==== Einzellasten====
+Bei Einzellasten kommt es zu einer Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite. Diese nimmt demnach im Bereich von konzentrierten Einzellasten ab. Die Größe der Einschnürung ist nach <i>Schleeh<i/> abhängig von dem Verhältnis der Plattenbreite zur Spannweite (<math>{b}/{l_{eff}}</math>). Je kleiner das Verhältnis, desto geringer fällt die Einschnürung in Breite und Länge aus. Für bestimmte Systeme kommt es hier zu der Besonderheit, dass eine Einzellast in Feldmitte die Einschnürung aus den Auflagerungen abmindert. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref> Kritik gibt es hier jedoch von <i>Chwalla</> hinsichtlich der konzentrierten Einzellasten aus der Theorie. Diese kommen so in der Praxis nicht vor. <ref>Chwalla, E.: Die Formeln zur Berechnung der "voll mitwirkenden Breite" dünner Gurt- und Rippenplatten. In: Stahlbau (1936), Nr. 10, S. 73</ref> Forschungsanstrengeungen von <i>Brendel</i> ergeben, dass sich die Einschnürung mit größeren Belastungen verkleinert. <ref name= "Brendel1960" />
 === Art des Systems===
+Nach dem Eurocode geht das System über den Faktor l<sub>0</sub> in die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite mit ein. (siehe oben)
 ==== Einfeldträger====
+Der Einfeldträger ist aufgrund der einfachen Herstellungsvariante das meistgenutzte System und kommt hauptsächlich für Versuchsabläufe zum Einsatz. Die Wirkweise ist demnach umfassend erforscht und der Kraftverlauf (siehe oben) wird aus diesem hergeleitet.
 ==== Kragarm====
+Die Regelungen für den Kragarm nach Eurocode <math>l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3</math> unterscheidet nach analytischen Ergebnissen bei sehr kurzen Kragarmen stark vom reellen Zustand, weshalb die Regelung mit <math>l_0 = 1,5 \cdot l_{eff,3}</math> erweitert wird, wobei der kleinere beider Werte maßgebend ist.
 ==== Durchlaufträger====
+Über den Zwischenauflagern von Durchlaufträgern ist der obere Bereich des Plattenbalkens auf Zug beansprucht, der üblicherweise über die verlagerte Zugbewehrung aufgenommen wird. Im Eurocode wird dieser Bereich mit der Lage der Momentennulldurchgänge berücksichtigt, wobei <math>l_0 = 0, 85 \cdot l_1</math> für Randfelder und <math>l_0 = 0,7 \cdot l_2</math> für Mittelfelder gilt.
 ==== Balkenreihe====
+Bei einer Aneinanderreihung von Plattenbalken in Querrichtung ist die Querverformung im Gegensatz zum Einzelbalken innerhalb der Platte durch das angrenzende System senkrecht zur Balkenstützweite behindert. Aus diesem Grund erhöht sich die mitwirkende Breite bei Balkenreihen im Gegensatz zu einzelnen Balken nach <i>Brendel</i> um etwa 15%. <ref name= "Brendel1960" />
-==== Einfluss eines Endquerträgers====
 == Computerbasierte FE-Berechnung==
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 == Fazit==
 Die Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite soll auf möglichst einfache Art und Weise möglichst viel Faktoren berücksichtigen. Sie wurde im laufe des letzten Jahrhundert entwickelt und durch viele wissenschaftliche Arbeiten verbessert. In vielen Ländern außerhalb des Eurocodes werden genau dieselben oder ähnliche Ansätze zur Berechnung vorgeschlagen, einige davon wesentlich ungenauer als im Eurocode. (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) </br>
-Vergleicht man die verschiedenen Berechnungsmethoden miteinander, lässt sich schließen, dass alle hinreichend genaue Ergebnisse liefern. Bei Sonderbauten oder Optimierungsaufgaben kann die Berechnung mittels Finiten-Elementen präzisere und somit wirtschaftlichere Ergebnisse liefern. Der Mehraufwand durch die Computerberechnung wird sich in den kommenden Jahren durch den Fortschritt der technischen Möglichkeiten dabei minimalisieren.
+Vergleicht man die verschiedenen Berechnungsmethoden miteinander, lässt sich schließen, dass alle hinreichend genaue Ergebnisse liefern. Die Genauigkeit bei Plattenbalken spielt zudem keine sehr große Rolle, da sich der Hebelarm der inneren Kräfte und damit die erforderliche Bewehrung mit der Größe der mitwirkenden Breite kaum ändert und die Biegedruckzone bei Plattenbalken fast nie ausgenutzt ist. Lediglich bei Sonderbauten oder Optimierungsaufgaben kann die Berechnung mittels Finiten-Elementen präzisere und somit wirtschaftlichere Ergebnisse liefern. <ref>Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900 </ref> Der Mehraufwand durch die Computerberechnung wird sich in den kommenden Jahren durch den Fortschritt der technischen Möglichkeiten dabei minimieren.
 ==Quellen==
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 {{Seiteninfo

Mitwirkende Plattenbreite: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 1. November 2022, 23:21 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Berechnungsgrundlagen

Anwendung

Berechnung nach Eurocode 2

System

Wissenschaftlicher Hintergrund

Berechnung nach Scheibentheorie

Berechnung nach technischer Biegelehre

Schub- und Biegesteifigkeit der Platte

Schubsicherer Verbund

Biegesteifigkeit der Platte

Kräfteverlauf

Auflager

Einzellasten

Art des Systems

Einfeldträger

Kragarm

Durchlaufträger

Balkenreihe

Computerbasierte FE-Berechnung

Fazit

Quellen

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