Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten

Kontext

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Rand eines Einzelfundaments nachzuweisen. Hierzu wird zunächst die Verankerung mit geradem Stabende nach dem Berechnungsmodell im EC2 versucht. Falls dies nicht gelingt, wird die Verankerungslänge durch Verschieben der Belastung ermittelt. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zu Einzelfundamenten finden sich hier

Aufgabenstellung

Für das dargestellte Einzelfundament ist die Verankerungslänge der Biegezugbewehrung zu bestimmen.

Gegeben sind folgende Daten:

• Beton C20/25
• Betonstahlstahl B500B
• Betondeckung: $c_{nom}=55mm$
• Gewählte Bewehrung insgesamt in x-Richtung: 16 Ø 16 mm
• Einwirkende Normalkraft: $N_{Ed}=2.100kN$

Verankerung mit geradem Stabende nach EC 2

Verbundfestigkeit

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C20/25 → $f_{bd}=2,32N/mm^{2}=0,32kN/cm^{2}$

Abstand x

$x_{min}={\frac {h}{2}}={\frac {0,6m}{2}}=0,3m$

Sohlspannung

${\sigma }_{0}={\frac {N_{Ed}}{b_{x}}}={\frac {2.100kN}{3,0m}}=700kN/m$

Resultierende der Sohlspannung unter der Verankerungslänge

$R={\sigma }_{0}\cdot x=700kN/m\cdot 0,3m=210kN$

Hebelarm der Resultierenden

Der Hebelarm der Resultierenden $z_{e}$ beginnt vom Rand des Fundaments in einer Entfernung von ${\frac {x_{min}}{2}}$ und endet in einer Entfernung von $e=0,15\cdot b_{Stuetze}$ vom Rand des aufkragenden Bauteils:

$z_{e}={\frac {b_{x}}{2}}-{\frac {x}{2}}-(b_{Stuetze}/2-e)={\frac {3,0m}{2}}-{\frac {0,3m}{2}}-({\frac {0,6m}{2}}-0,15\cdot 0,6m)=1,14m$

$z_{i}=0,9\cdot d_{x}=0,9\cdot 0,54m=0,49m$

Zugkraft

$F_{sd}=R\cdot {\frac {z_{e}}{z_{i}}}=210kN\cdot {\frac {1,14m}{0,49m}}=488,57kN$

Erforderliche Bewehrung

$A_{s,erf}={\frac {F_{sd}}{f_{yd}}}={\frac {488,57kN}{43,5kN/cm^{2}}}=11,23cm^{2}$

Stahlspannung

Gegeben sind 16 Ø 16 → $A_{s,vorh}=32,16cm^{2}$:

${\sigma }_{sd}=f_{yd}\cdot {\frac {A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}}=43,5kN/cm^{2}\cdot {\frac {11,23cm^{2}}{32,16cm^{2}}}=15,19kN/cm^{2}$

Grundwert der Verankerungslänge

$l_{b,rqd}={\frac {\emptyset _{s}}{4}}\cdot {\frac {{\sigma }_{sd}}{f_{bd}}}={\frac {1,6cm}{4}}\cdot {\frac {15,19kN/cm^{2}}{0,232kN/cm^{2}}}=26,19cm$

Ersatzverankerungslänge

$l_{b,eq}={\alpha }_{1}\cdot {\alpha }_{4}\cdot {\alpha }_{5}\cdot l_{b,rqd}$

Formgebung: Gerades Stabende → ${\alpha }_{1}=1,0$

Angeschweißte Querstäbe: Keine → ${\alpha }_{4}=1,0$

Querdruck: In einem Einzelfundament wirken entlang beider Achsen Zugkräfte. In diesem Beispiel wird die Verankerung in x-Richtung nachgewiesen. Damit wirken die Zugkräfte in y-Richtung als Querzug auf den zu verankernden Stab → ${\alpha }_{5}=1,5$

$l_{b,eq}=1,0\cdot 1,0\cdot 1,5\cdot 26,19cm=39,29cm$

Mindestverankerungslänge

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}0,3\cdot {\alpha }_{1}\cdot {\alpha }_{4}\cdot {\alpha }_{5}\cdot \left({\frac {\emptyset _{s}}{4}}\cdot {\frac {f_{yd}}{f_{bd}}}\right)\\10\cdot {\alpha }_{5}\cdot \emptyset _{s}\end{matrix}}\right\}$

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}0,3\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 1,5\cdot \left({\frac {1,6cm}{4}}\cdot {\frac {43,5kN/cm^{2}}{0,232kN/cm^{2}}}\right)\\10\cdot 1,5\cdot 1,6cm\end{matrix}}\right\}$

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}33,75cm\\24cm\end{matrix}}\right\}$

→ $l_{b,eq}=39,29cm$

Nachweis der Verankerungslänge

$l_{b,vorh}=x-c_{nom}=30cm-5,5cm=24,5cm$

$l_{b,eq}=39,29cm\leq 24,5cm=l_{b,vorh}$

→ Verankerung mit geradem Stabende nicht möglich.

Verankerung nach allgemeiner Theorie

Versatzmaß

Für Bauteile ohne Querkraftbewehrung gilt nach EC 2 9.2.1.3(2):

$a_{L}=d=54cm$

Moment am Beginn der Verankerungslänge

Die Verankerungslänge für den Haken beginnt an der Biegung. Der Mindestbiegerollendurchmesser beträgt nach EC 2 Tab. 8.1DE für $\emptyset _{s}<20mm$ → $D_{min}=4\cdot \emptyset _{s}$.

$D_{min}=4\cdot \emptyset _{s}=4\cdot 1,6cm=6,4cm$

$x_{0}=c_{nom}+\emptyset _{s}+D_{min}/2=5,5cm+1,6cm+6,4cm/2=10,3cm$

$M_{Ed,x0}={\frac {N_{Ed}}{b_{x}}}\cdot {\frac {(x_{0}+a_{L})^{2}}{2}}={\frac {2.100kN}{3,0m}}\cdot {\frac {(0,1m+0,54m)^{2}}{2}}=143,36kNm$

Randzugkraft

$F_{sd}={\frac {M_{Ed,x0}}{z}}={\frac {143,36kNm}{0,54m}}=265,48kN$

Erforderliche Bewehrung

$A_{s,erf}={\frac {F_{sd}}{f_{yd}}}={\frac {265,48kN}{43,5kN/cm^{2}}}=6,10cm^{2}$

Stahlspannung

Gegeben sind 16 Ø 16 → $A_{s,vorh}=32,16cm^{2}$:

${\sigma }_{sd}=f_{yd}\cdot {\frac {A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}}=43,5kN/cm^{2}\cdot {\frac {6,10cm^{2}}{32,16cm^{2}}}=8,25kN/cm^{2}$

Grundwert der Verankerungslänge

$l_{b,rqd}={\frac {\emptyset _{s}}{4}}\cdot {\frac {{\sigma }_{sd}}{f_{bd}}}={\frac {1,6cm}{4}}\cdot {\frac {8,25kN/cm^{2}}{0,232kN/cm^{2}}}=14,23cm$

Bemessungswert der Verankerungslänge

$l_{bd}={\alpha }_{1}\cdot {\alpha }_{3}\cdot {\alpha }_{4}\cdot {\alpha }_{5}\cdot l_{b,rqd}$

Formgebung: Gerades Stabende → ${\alpha }_{1}=1,0$

Querbewehrung: Vernachlässigbar → ${\alpha }_{3}=1,0$

Angeschweißte Querstäbe: Keine → ${\alpha }_{4}=1,0$

Querdruck: Siehe oben, Querzug vorhanden → ${\alpha }_{5}=1,5$

$l_{bd}=1,0\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 1,5\cdot 14,23cm=21,35cm$

Mindestverankerungslänge

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}0,3\cdot {\alpha }_{1}\cdot {\alpha }_{4}\cdot {\alpha }_{5}\cdot \left({\frac {\emptyset _{s}}{4}}\cdot {\frac {f_{yd}}{f_{bd}}}\right)\\10\cdot {\alpha }_{5}\cdot \emptyset _{s}\end{matrix}}\right\}$

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}0,3\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 1,5\cdot \left({\frac {1,6cm}{4}}\cdot {\frac {43,5kN/cm^{2}}{0,232kN/cm^{2}}}\right)\\10\cdot 1,5\cdot 1,6cm\end{matrix}}\right\}$

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}33,75cm\\24cm\end{matrix}}\right\}$

→ $l_{bd}=33,75cm$

Nachweis der Verankerungslänge

Als Länge des geraden Winkelhakenschenkels wird $l=20\cdot \emptyset _{s}$ gewählt.

$l_{b,vorh}=l+\emptyset _{s}+D_{min}/2=32cm+1,6cm+3,2cm=36,8cm$

$l_{bd}=33,75cm\leq 36,8cm=l_{b,vorh}$

→ Nachweis der Verankerung mit Winkelhaken erfüllt.