Biegebemessung mit dem kd-Verfahren (Bsp.)

Auf dieser Seite wird die Anwendung des $k_{d}$-Verfahrens an ausgewählten Beispielen dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der Biegebemessung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm; h=75cm) wird durch ein Moment $M_{gk}=80,0kNm$ sowie eine Normalkraft $N_{gk}=30kN$ aus ständigen Lasten und ein Moment $M_{qk}=180,0kNm$ sowie eine Normalkraft $N_{qk}=50kN$ aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die statische Nutzhöhe beträgt 71cm.

Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.

Beanspruchungen und Festigkeiten

$M_{Ed}=\gamma _{g}\cdot M_{gk}+\gamma _{q}\cdot M_{qk}$

$M_{Ed}=1,35\cdot 80+1,5\cdot 180=378kNm$

$N_{Ed}=\gamma _{g}\cdot N_{gk}+\gamma _{q}\cdot N_{qk}$

$N_{Ed}=1,35\cdot 30+1,5\cdot 50=115,5kN$

Es handelt sich um einen überwiegend biegebanspruchten Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.

Querschnittswerte

$d=71cm$

$z_{s1}=33,5cm$

Bemessung

$M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1}$

$M_{Eds}=37800-115,5\cdot 33,5$

$M_{Eds}=33930,75kNcm=339,3kNm$

$k_{d}={\frac {d[cm]}{\sqrt {\frac {M_{Eds}[kNm]}{b[m]}}}}$

$k_{d}={\frac {71}{\sqrt {\frac {339,3}{0,35}}}}$

$k_{d}=2,28$

Im Folgenden kann der Wert der bezogene Betondruckzonenhöhe abhängig von der Betonfestigkeitsklasse und $k_{d}$ aus der Tafel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abgelesen werden. Die $k_{d}$-Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen finden.

$\xi =0,2321<0,45$

Da $\xi <0,45$ ist keine Druckbewehrung erforderlich. Der Wert für $k_{s}$ kann ebenfalls aus der Tafel für rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abgelesen werden.

$k_{s}=2,547$

$A_{s1}[cm^{2}]=k_{s}\cdot {\frac {M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}}+{\frac {N_{Ed}[kN]}{43,5}}$

$A_{s1}[cm^{2}]=2,547\cdot {\frac {339,3}{71}}+{\frac {115,5}{43,5}}$

${\underline {\underline {A_{s1}[cm^{2}]=14,83cm^{2}}}}$

Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.

Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm;h=75cm) wird durch ein Moment $M_{gk}=160,0kNm$ sowie eine Normalkraft $N_{gk}=-30kN$ aus ständigen Lasten und ein Moment $M_{qk}=360,0kNm$ sowie eine Normalkraft $N_{qk}=-50kN$ aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die statische Nutzhöhe beträgt 71cm.

Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.

Beanspruchungen und Festigkeiten

$M_{Ed}=\gamma _{g}\cdot M_{gk}+\gamma _{q}\cdot M_{qk}$

$M_{Ed}=1,35\cdot 160+1,5\cdot 360=756kNm$

$N_{Ed}=\gamma _{g}\cdot N_{gk}+\gamma _{q}\cdot N_{qk}$

$N_{Ed}=-1,35\cdot 30-1,5\cdot 50=-115,5kN$

Es handelt sich um einen überwiegend biegebanspruchten Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.

Querschnittswerte

$d=71cm$

$z_{s1}=33,5cm$

$d_{2}=4cm$

Bemessung

$M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1}$

$M_{Eds}=75600-(-115,5)\cdot 33,5$

$M_{Eds}=79469,25kNcm=794,69kNm$

$k_{d}={\frac {d[cm]}{\sqrt {\frac {M_{Eds}[kNm]}{b[m]}}}}$

$k_{d}={\frac {71}{\sqrt {\frac {794,69}{0,35}}}}$

$k_{d}=1,49$

Im Folgenden wäre der Wert der bezogene Betondruckzonenhöhe abhängig von der Betonfestigkeitsklasse und $k_{d}$ aus der Tafel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abzulesen. Die $k_{d}$-Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen finden. Die bezogene Betondruckzonenhöhe für den ermittelten ist nicht mehr tabelliert; aus den tabellierten Werten wird allerdigs ersichtlich, dass $\xi >0,45$. Die Werte für $k_{s1},k_{s1},\rho _{1}$ und $\rho _{2}$ müssen aus der Tafel für rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung abgelesen werden. Um den Anforderungen zur Sicherstellung der Duktilität nach DIN EN 1992-1-1 zu entsprechen, wird eine Tafel mit $\xi =0,45$ verwendet.

$k_{s1}=2,74$

$k_{s2}=0,625$

${\frac {d_{2}}{d}}={\frac {4}{71}}=0,056\leq 0,07$

$\rho _{1}=1,0$

$\rho _{2}=1,0$

$A_{s1}[cm^{2}]=\rho _{1}\cdot k_{s1}\cdot {\frac {M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}}+{\frac {N_{Ed}[kN]}{43,5}}$

$A_{s1}[cm^{2}]=1,0\cdot 2,74\cdot {\frac {794,69}{71}}-{\frac {115,5}{43,5}}$

${\underline {\underline {A_{s1}=28,01cm^{2}}}}$

$A_{s2}[cm^{2}]=\rho _{2}\cdot k_{s2}\cdot {\frac {M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}}$

$A_{s2}[cm^{2}]=1\cdot 0,625\cdot {\frac {794,69}{71}}$

${\underline {\underline {A_{s2}=7cm^{2}}}}$

Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.

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