Verformungsnachweis - direkte Berechnung - numerische Integration (Bsp.)

Auf dieser Seite wird die Anwendung der numerischen Integration zur direkten Verformungsberechnung nach EC2 an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der direkten Verformungsberechnung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 66,5 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.

• l_eff=6m
• $p_{Ed,perm}=66,5{\frac {kN}{m}}$ (Kurzzeitbelastung)
• b/h=35cm/75cm
• d=70cm
• B500A
• Längsbewehrung: 4⌀25 (A_s,vorh=19,64cm²)
• C 20/25
• ε_cs=0,4‰
• φ (∞,t₀)=2

Festigkeiten

$f_{ctm}=2,2{\frac {N}{mm^{2}}}=0,22{\frac {kN}{cm^{2}}}$

Vorbereitende Berechnung

Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul

$E_{cm}=30000{\frac {N}{mm^{2}}}$

$E_{c,eff}={\frac {E_{cm}}{1+\phi _{\infty ,t_{0}}}}={\frac {30000}{1+2}}=10000{\frac {N}{mm^{2}}}=1000{\frac {kN}{cm^{2}}}$

Ermittlung des Rissbildungsmoments

$z_{I}={\frac {75}{2}}=37,5cm$

$\rho ^{I}={\frac {A_{s1}}{b\cdot h}}={\frac {19,64}{35\cdot 75}}=0,0075$

$\alpha _{e}={\frac {E_{s}}{E_{c,eff}}}={\frac {200000}{10000}}=20$

$\xi ^{I}={\frac {0,5+\alpha _{e}\cdot \rho ^{I}\cdot {\frac {d}{h}}}{1+\alpha _{e}\cdot \rho ^{I}}}={\frac {0,5+20\cdot 0,0075\cdot {\frac {70}{75}}}{1+20\cdot 0,0075}}=0,56$

$k_{I}=1+12\cdot \left(0,5-\xi ^{I}\right)^{2}+12\cdot \alpha _{e}\cdot \rho ^{I}\cdot \left({\frac {d}{h}}-\xi ^{I}\right)^{2}$

$k_{I}=1+12\cdot \left(0,5-0,56\right)^{2}+12\cdot 20\cdot 0,0075\cdot \left({\frac {70}{75}}-0,56\right)^{2}=1,29$

$I_{I}=k_{I}\cdot {\frac {b\cdot h^{3}}{12}}=1,29\cdot {\frac {35\cdot 75^{3}}{12}}=1587304cm^{4}$

$M_{cr}=f_{ctm}\cdot {\frac {I_{I}}{z_{I}}}=0,22\cdot {\frac {1587304}{37,5}}=9312kNcm$

Ermittlung der Druckzonenhöhe

$\rho ^{II}={\frac {A_{s}}{b\cdot d}}={\frac {19,64}{35\cdot 70}}=0,008$

$\rho ^{II}\cdot \alpha _{e}=20\cdot 0,008=0,16$

$x=\xi ^{II}\cdot d=d\cdot \left(-\alpha _{e}\cdot \rho ^{II}+{\sqrt {(\alpha _{e}\cdot \rho ^{II})^{2}+2\cdot \alpha _{e}\cdot \rho ^{II}}}\right)$

$x=70\cdot \left(-0,16+{\sqrt {0,16^{2}+2\cdot 0,16}}\right)$

$x=29,95cm$

Berechnung

Der Berechnungsablauf entspricht dem Berechnungsablauf des Näherungsverfahrens mit dem Unterschied, dass die Krümmung nicht nur an einem Punkt sondern an mehreren Stellen ermittelt wird. In diesem Beispiel werden 21 Stützstellen verwendet. Es ist zu beachten, das in jedem Fall eine ungerade Anzahl an Stützstellen zu verwenden ist. Die Eingangswerten und dementsprechend auch die Berechnungen in Bauteilmitte (Stützstelle 11) stimmen mit der Ermittlung der Verformungen beim Näherungsverfahren überein, weshalb hier auf ein Zahlenbeispiel für die Ermittlung der einzelnen Werte verzichtet wird. Durch die unterschiedliche Ermittlung (händische Berechnung bzw. Berechnung mit Excel) kann es durch unterschiedliche Rundungen zu leichten Abweichungen zwischen den in der Tabelle dargestellten Werten und jenen die im Rahmen des Beispiels zum Näherungsverfahren ermittelt werden kommen.

Für die Verformungsberechnung ist außerdem das virtuelle Moment an den Stützstellen zu ermitteln, welches sich ergibt, wenn an der Stelle, an der die Verformung berechnet werden soll (bei einem Einfeldträger unter Gleichlast i.d.R. die Bauteilmitte), eine virtuelle Kraft F=1 angreift.

Die Ergebnisse in den einzelnen Spalten ergeben wie folgt:

Spalte 2$\qquad \qquad$	Anzahl der Stützstellen	frei wählbar, aber immer ungerade Anzahl; i.d.R. sind 9 Stützstellen ausreichend
Spalte 3	einwirkendes Moment	in diesem Beispiel Einfeldträger mit Gleichlast => $M_{l=x}=A_{v}\cdot l-{\frac {q\cdot l^{2}}{2}}$
Spalte 4	Krümmung im Zustand I	$\kappa _{I}={\frac {M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_{I}}}$
Spalte 5	Krümmung im Zustand II	$\kappa _{II}={\frac {\varepsilon _{s}}{d-x}}$
Spalte 6	Verteilungsbeiwert	$\zeta =1-\beta \cdot \left({\frac {M_{cr}}{M_{Ed}}}\right)^{2}$
Spalte 7	wahrscheinlicher Wert der Krümmung	$\kappa _{m}=\zeta \cdot \kappa _{II}+\left(1-\zeta \right)\cdot \kappa _{I}$
Spalte 8	Krümmungen infolge Schwinden im Zustand I	$\kappa _{cs,I}=\varepsilon _{cs}\cdot \alpha _{e}\cdot {\frac {S_{I}}{I_{I}}}$
Spalte 9	Krümmungen infolge Schwinden im Zustand II	$\kappa _{cs,II}=\varepsilon _{cs}\cdot \alpha _{e}\cdot {\frac {S_{II}}{I_{II}}}$
Spalte 10	wahrscheinlicher Wert der Krümmungen infolge Schwinden $\qquad$	$\kappa _{cs,m}=\zeta \cdot \kappa _{cs,II}+\left(1-\zeta \right)\cdot \kappa _{cs,I}$
Spalte 11	k	ergibt sich aus der Simpsonregel
Spalte 12	gesamt Krümmung	$\kappa _{m,tot}=\kappa _{m}+\kappa _{cs,m}$
Spalte 13	virtuelles Moment	Ansatz eine virtuellen Kraft der Größe 1 an der Stelle an der die Verformung ermittelt werden soll (hier Bauteilmitte - maximale Verformung) => ${\overline {M}}_{l=x}=A_{v}\cdot l$ (für den Bereich vom linken Auflager bis zur Bauteilmitte)

Das Produkt aus Krümmung und virtuellem Moment wird anschließend mit der Simpsonregel numerisch integriert. Für die numerische Integration wurde in der Tabelle das Produkt aus Krümmung, virtuellem Moment und dem Wert k der sich nach der Simpsonregel ergibt gebildet. Die Summe hieraus kann für den Klammerwert in der Simpsonregel eingesetzt werden.

$\Sigma \kappa _{tot}\cdot {\overline {M}}\cdot k=0,13898$

Das Ergebnis der numerischen Integration ist die Verformung.

$w={\frac {0,3}{3}}\cdot 0,13898$

${\underline {\underline {w=0,013898m=1,3898cm}}}$

Variation der Anzahl der Stützstellen

Im Folgenden soll der Einfluss der Anzahl der Stützstellen an diesem Beispiel verdeutlicht werden.

Aus den in der Tabelle aufgeführten Werten wird ersichtlich, dass bei geringet Stützstellenanzahl die Verformungen noch stark schwanken. Die Differnz der Verformungen bei unterschiedlicher Stützstellenanzahl nimmt mit zunehmender Anzahl der Stützstellen ab. Außerdem ist zu erkennen, dass die Genauigkeit mit steigender Stützstellenanzahl steigt.

Vergleich der direkten Verformungsberechnung mit dem Näherungsverfahren und der numerischen Integration

Vergleich des numerischen Verfahrens und des Näherungsverfahrens

Im folgenden Bild sind die Verformungen nach dem numerischen und dem Näherungsverfahren bei steigender Belastung dargestellt. Es ist zu erkennen, dass auch mit der Näherungslösung bereits eine gute Lösung erhalten wird.

Außerdem ist zu sehen, dass die Unterschiede zwischen beiden Ansätzen vor allem vor der Erreichung des Rissmoments bestehen und danach abnehmen. Dies ist darauf zurückzuführen, dass beim Näherungsverfahren nur der höchstbelastete Schnitt in Bauteilmitte betrachtet wird, während beim numerischen Verfahren mehrere Schnitte betrachtet werden. Durch die Betrachtung nur eines Schnitts werden die Verformungen in Bereichen im Zustand I überschätzt werden. Dies hat bei niedriger Belastung einen höheren Einfluss, da sich hier mehr Bereiche im Zustand I befinden.

In der Grafik ist auch zu erkennen, dass das Näherungsverfahren immer auf der sicheren Seite liegende Verformungen ergibt.

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