Aktuelle Version vom 10. August 2024, 20:23 Uhr

Auf dieser Seite werden beispielhaft die Momenten-Krümmungs-Beziehungen ermittelt, die Theorie hierfür wird auf einer gesonderten Seite dargestellt (vgl. Momenten-Krümmungs-Beziehungen. Die Berechnungen werden vergleichend mit und ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen durchgeführt.

Aufgabenstellung

Für einen Balken mit Rechteckquerschnitt und gegebener Bewehrung sollen die Momenten-Krümmungs-Beziehungen berechnet werden. Als Festigkeiten sind die rechnerischen Mittelwerte anzusetzen

b/h=35cm/75cm
d=70cm
B500A
Längsbewehrung: 4⌀25 (A_s,vorh=19,64cm²)
C 20/25
$E_{c m} = 10000 \frac{N}{m m^{2}} = 1000 \frac{k N}{c m^{2}}$ (Mit der Berücksichtigung von Kriecheinflüssen)
Kurzzeitbelastung

Festigkeiten

$f_{c k} = 20 \frac{N}{m m^{2}} f_{y k} = 500 \frac{N}{m m^{2}}$

$f_{c R} = 0, 85 \cdot 0, 85 \cdot 20 = 14, 45 \frac{N}{m m^{2}} = 1, 445 \frac{k N}{c m^{2}}$

$f_{y R} = 1, 1 \cdot 500 = 550 \frac{N}{m m^{2}} = 55 \frac{k N}{c m^{2}}$

$f_{t R} = 1, 05 \cdot 550 = 577, 5 \frac{N}{m m^{2}} = 57, 75 \frac{k N}{c m^{2}}$

$f_{c t m} = 2, 2 \frac{N}{m m^{2}} = 0, 22 \frac{k N}{c m^{2}}$

Ermittlung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

ungerissener Zustand

Moment

$I_{I} = \frac{35 \cdot 7 5^{3}}{12} = 1230468 c m^{4}$

$z_{I, c 1} = \frac{h}{2} = \frac{75}{2} = 37, 5 c m$

$M_{c r} = \frac{0, 22 \cdot 1230468}{37, 5} = 7219 k N c m = 72, 19 k N m$

Dehnungen

$ε_{c 1, c r 1} = \frac{0, 22}{1000} = 0, 22 \cdot 1 0^{- 3}$

$z_{I, c 2} = \frac{h}{2} = \frac{75}{2} = 37, 5 c m$

$| ε_{c 2, c r 1} | = 0, 22 \cdot 1 0^{- 3} \frac{37, 5}{37, 5} = 0, 22 \cdot 1 0^{- 3}$

$ε_{s, c r 1} = 0, 22 \cdot 1 0^{- 3} \frac{70 - 37, 5}{37, 5} = 0, 191 \cdot 1 0^{- 3}$

Krümmung

$κ_{I} = \frac{0, 191 \cdot 1 0^{- 3} + 0, 22 \cdot 1 0^{- 3}}{70} = 5, 87 \cdot 1 0^{- 6} \frac{1}{c m} = 5, 87 \cdot 1 0^{- 4} \frac{1}{m}$

Krümmung im gerissenen Zustand bei Erreichen der Streckgrenze des Betonstahls

Moment

Ermittlung des Streckgrenzenmoments nach Schmitz ^[1]:

$ω_{I I} = \frac{19, 64}{35 \cdot 70} \cdot \frac{55}{1, 445}$

$ω_{I I} = 0, 3$

$\frac{M_{y}}{b \cdot d^{2} \cdot f_{c} R} = 0, 25$

$M_{y} = 0, 25 \cdot 35 \cdot 7 0^{2} \cdot 1, 445 = 61954 k N c m = 619, 54 k N m$

Dehnungen

$ε_{s y} = \frac{550}{200000} = 2, 75 \cdot 1 0^{- 3}$

$| 0, 1 \cdot ε_{c} 2 | = 0, 19 \cdot 1 0^{- 3}$

$| ε_{c 2} | = 1, 9 \cdot 1 0^{- 3}$

Krümmung

$κ_{y} = \frac{2, 75 \cdot 1 0^{- 3} + 1, 9 \cdot 1 0^{- 3}}{70} = 66, 4 \cdot 1 0^{- 6} \frac{1}{c m} = 66, 4 \cdot 1 0^{- 4} \frac{1}{m}$

Krümmung im gerissenen Zustand unter den Bruchschnittgrößen

Moment

Das Moment wird mit den ω-Tafeln mit dem rechnerischen Mittelwert der Zug- bzw. Druckfestigkeit ermittelt:

$ω = \frac{19, 64 \cdot 57, 5}{35 \cdot 70 \cdot 1, 445} = 0, 32$

$\Rightarrow μ_{E d s} = 0, 267$

$M_{y} = 0, 267 \cdot 35 \cdot 7 0^{2} \cdot 1, 445 = 66167 k N c m = 661, 67 k N m$

Dehnungen

Die Dehnungen werden ebenfalls aus der ω-Tafel abgelesen:

$ε_{s t} = 5, 38 \cdot 1 0^{- 3}$

$| ε_{c t} | = 3, 5 \cdot 1 0^{- 3}$

Krümmung

$κ_{t} = \frac{5, 38 \cdot 1 0^{- 3} + 3, 5 \cdot 1 0^{- 3}}{70} = 126, 86 \cdot 1 0^{- 6} \frac{1}{c m} = 126, 86 \cdot 1 0^{- 4} \frac{1}{m}$

Darstellung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen

Ermittlung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

Im Vergleich zu den bisherigen Betrachtungen findet bei der Berücksichtigung der Mitwirkung des Betons zwsichen den Rissen eine Unterteilung in den ungerissenen Zustand und die Erstrissbildung statt. Auf die Berücksichtigung wird vereinfachend an dieser Stelle verzichtet.

Die Momente werden im Folgenden nicht erneut ermittelt, da die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen keinen Einfluss auf diese hat.

Die Gleichungen zur Ermittlung der mittleren Stahldehnung können auf der Seite zur Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen gefunden werden.

ungerissener Zustand

Dehnungen

Da noch keine Risse vorhanden sind, ändern sich die Dehnungen nicht im Vergleich zur vorherigen Berechnung.

$| ε_{c 2, c r 1} | = 0, 22 \cdot 1 0^{- 3}$

$ε_{s, c r 1} = 0, 191 \cdot 1 0^{- 3}$

Krümmungen

Da noch keine Risse vorhanden sind, ändert sich die Krümmung nicht im Vergleich zur vorherigen Berechnung.

$κ_{I} = 5, 87 \cdot 1 0^{- 4} \frac{1}{m}$

Krümmung im gerissenen Zustand bei Erreichen der Streckgrenze des Betonstahls

Dehnungen

Ermittlung der Stahldehnung im gerissenen Zustand unter den Schnittgrößen, die zur Erstrissbildung führen:

$α_{e} = \frac{E_{s}}{E_{c, e f f}} = \frac{200000}{10000} = 20$

$x = \frac{α_{e} \cdot A_{s 1}}{b} \cdot (- 1 + \sqrt{1 + \frac{2 \cdot b \cdot d}{α_{e} \cdot A_{s 1}}})$

$x = \frac{20 \cdot 19, 64}{35} \cdot (- 1 + \sqrt{1 + \frac{2 \cdot 35 \cdot 70}{20 \cdot 19, 64}}) = 29, 97 c m$

$z = d - \frac{x}{3} = 70 - \frac{29, 97}{3} = 60 c m$

$σ_{s, c r 2} = \frac{M_{c r}}{z \cdot A_{s 1}} = \frac{7219}{60 \cdot 19, 64} = 6, 12 \frac{k N}{c m^{2}}$

$ε_{s, c r 2} = \frac{σ_{s, c r 2}}{E_{s}} = \frac{6, 12}{20000} = 0, 306 \cdot 1 0^{- 3}$

Ermittlung der mittleren Stahldehnung an der Streckgrenze:

$ε_{s m} = ε_{s 2} - β_{t} \cdot (ε_{s, c r 2} - ε_{s, c r 1})$

$ε_{s y} = ε_{s 2} = \frac{55}{20000} = 2, 75 \cdot 1 0^{- 3}$

$β_{t} = 0, 4$ (Kurzzeitbelastung)

$ε_{s m y} = 2, 75 \cdot 1 0^{- 3} - 0, 4 \cdot (0, 306 \cdot 1 0^{- 3} - 0, 191 \cdot 1 0^{- 3})$

$ε_{s m y} = 2, 704 \cdot 1 0^{- 3}$

Die Betonstauchung ändert sich durch die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen nicht:

$| ε_{c 2} | = 1, 9 \cdot 1 0^{- 3}$

Krümmungen

$κ_{m y} = \frac{2, 704 \cdot 1 0^{- 3} + 1, 9 \cdot 1 0^{- 3}}{70} = 65, 77 \cdot 1 0^{- 6} \frac{1}{c m} = 65, 77 \cdot 1 0^{- 4} \frac{1}{m}$

Krümmung im gerissenen Zustand unter den Bruchschnittgrößen

Dehnungen

$ε_{s m} = ε_{s y} - β_{t} \cdot (ε_{s, c r 2} - ε_{s, c r 1}) + δ_{t} \cdot (1 - \frac{σ_{s r}}{f_{y}}) \cdot (ε_{s 2} - ε_{s y})$

$ε_{s 2} = ε_{s t} = 5, 38 \cdot 1 0^{- 3}$

$ε_{s m t} = 2, 75 \cdot 1 0^{- 3} - 0, 4 \cdot (0, 306 \cdot 1 0^{- 3} - 0, 191 \cdot 1 0^{- 3}) + 0, 6 \cdot (1 - \frac{0, 191 \cdot 1 0^{- 3} \cdot 20000}{55}) \cdot (5, 38 \cdot 1 0^{- 3} - 2, 75 \cdot 1 0^{- 3})$

$ε_{s m t} = 4, 17 \cdot 1 0^{- 3}$

Die Betonstauchung ändert sich durch die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen nicht:

$| ε_{c t} | = 3, 5 \cdot 1 0^{- 3}$

Krümmungen

$κ_{m t} = \frac{4, 17 \cdot 1 0^{- 3} + 3, 5 \cdot 1 0^{- 3}}{70} = 109, 6 \cdot 1 0^{- 6} \frac{1}{c m} = 109, 6 \cdot 1 0^{- 4} \frac{1}{m}$

Darstellung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen

Vergleich der Momenten-Krümmungs-Beziehungen mit und ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

Quellen

↑ ^1,0 ^1,1 Schmitz: Statik - in Stahlbetonbau aktuell 2002

Seiteninfo

Status: in Bearbeitung

[schmitz02-1] 1,0 ^1,1 Schmitz: Statik - in Stahlbetonbau aktuell 2002

[1]

@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 * C 20/25
 * <math>E_{cm}=10000\frac{N}{mm^2}=1000\frac{kN}{cm^2}</math> (Mit der Berücksichtigung von Kriecheinflüssen)
+* Kurzzeitbelastung
 =Festigkeiten=
 <math>f_{ck}=20\frac{N}{mm^2}\qquad\qquad f_{yk}=500\frac{N}{mm^2}</math>
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 =Ermittlung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen=
-==Erstrissbildung==
+==ungerissener Zustand==
 ===Moment===
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 ===Moment===
-Ermittlung des Streckgrenzenmoments nach Schmitz:
+Ermittlung des Streckgrenzenmoments nach Schmitz <ref name="schmitz02">Schmitz: Statik - in Stahlbetonbau aktuell 2002
+</ref>:
+[[File:Momenten-Krümmungs-Beziehungen (Bsp.)_5.jpg|right|thumb|400px|Ermittlung des Streckgrenzenmoments nach Schmitz<ref name="schmitz02"></ref>]]
 <math>\omega_{II}=\frac{19,64}{35\cdot70}\cdot\frac{55}{1,445}</math>
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 <math>|0,1\cdot\varepsilon_c2|=0,19\cdot10^{-3}</math>
-<math>|\varepsilon_c2|=1,9\cdot10^{-3}</math>
+<math>|\varepsilon_{c2}|=1,9\cdot10^{-3}</math>
 ===Krümmung===
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 ===Krümmung===
-<math>\kappa_y=\frac{5,38\cdot10^{-3}+3,5\cdot10^{-3}}{70}=126,86\cdot10^{-6}\frac{1}{cm}=126,86\cdot10^{-4}\frac{1}{m}</math>
+<math>\kappa_t=\frac{5,38\cdot10^{-3}+3,5\cdot10^{-3}}{70}=126,86\cdot10^{-6}\frac{1}{cm}=126,86\cdot10^{-4}\frac{1}{m}</math>
+==Darstellung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen==
+[[File:Momenten-Krümmungs-Beziehungen (Bsp.)_2.jpg|400px|Darstellung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen]]
+=Ermittlung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen=
+Im Vergleich zu den bisherigen Betrachtungen findet bei der Berücksichtigung der Mitwirkung des Betons zwsichen den Rissen eine Unterteilung in den ungerissenen Zustand und die Erstrissbildung statt. Auf die Berücksichtigung wird vereinfachend an dieser Stelle verzichtet.
+Die Momente werden im Folgenden nicht erneut ermittelt, da die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen keinen Einfluss auf diese hat.
+Die Gleichungen zur Ermittlung der mittleren Stahldehnung können auf der Seite zur [[Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen (Zugversteifung)|Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen]] gefunden werden.
+==ungerissener Zustand==
+===Dehnungen===
+Da noch keine Risse vorhanden sind, ändern sich die Dehnungen nicht im Vergleich zur vorherigen Berechnung.
+<math>|\varepsilon_{c2,cr1}|=0,22\cdot10^{-3}</math>
+<math>\varepsilon_{s,cr1}=0,191\cdot10^{-3}</math>
+===Krümmungen===
+Da noch keine Risse vorhanden sind, ändert sich die Krümmung nicht im Vergleich zur vorherigen Berechnung.
+<math>\kappa_I=5,87\cdot10^{-4}\frac{1}{m}</math>
+==Krümmung im gerissenen Zustand bei Erreichen der Streckgrenze des Betonstahls==
+===Dehnungen===
+Ermittlung der Stahldehnung im gerissenen Zustand unter den Schnittgrößen, die zur Erstrissbildung führen:
+<math>\alpha_e=\frac{E_s}{E_{c,eff}}=\frac{200000}{10000}=20</math>
+<math>x=\frac{\alpha_e\cdot A_{s1}}{b}\cdot\left(-1+\sqrt{1+\frac{2\cdot b\cdot d}{\alpha_e\cdot A_{s1}}}\right)</math>
+<math>x=\frac{20\cdot 19,64}{35}\cdot\left(-1+\sqrt{1+\frac{2\cdot 35\cdot 70}{20\cdot 19,64}}\right)=29,97cm</math>
+<math>z=d-\frac{x}{3}=70-\frac{29,97}{3}=60cm</math>
+<math>\sigma_{s,cr2}=\frac{M_{cr}}{z\cdot A_{s1}}=\frac{7219}{60\cdot19,64}=6,12\frac{kN}{cm^2}</math>
+<math>\varepsilon_{s,cr2}=\frac{\sigma_{s,cr2}}{E_s}=\frac{6,12}{20000}=0,306\cdot 10^{-3}</math>
+Ermittlung der mittleren Stahldehnung an der Streckgrenze:
+<math>\varepsilon_{sm}=\varepsilon_{s2}-\beta_t\cdot\left(\varepsilon_{s,cr2}-\varepsilon_{s,cr1}\right)</math>
+<math>\varepsilon_{sy}=\varepsilon_{s2}=\frac{55}{20000}=2,75\cdot10^{-3}</math>
+<math>\beta_t=0,4</math> (Kurzzeitbelastung)
+<math>\varepsilon_{smy}=2,75\cdot 10^{-3}-0,4\cdot (0,306\cdot 10^{-3}-0,191\cdot 10^{-3})</math>
+<math>\varepsilon_{smy}=2,704\cdot10^{-3}</math>
+Die Betonstauchung ändert sich durch die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen nicht:
+<math>|\varepsilon_{c2}|=1,9\cdot10^{-3}</math>
+===Krümmungen===
+<math>\kappa_{my}=\frac{2,704\cdot 10^{-3}+1,9\cdot 10^{-3}}{70}=65,77\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=65,77\cdot 10^{-4}\frac{1}{m}</math>
+==Krümmung im gerissenen Zustand unter den Bruchschnittgrößen==
+===Dehnungen===
+<math>\varepsilon_{sm}=\varepsilon_{sy}-\beta_t\cdot\left(\varepsilon_{s,cr2}-\varepsilon_{s,cr1}\right)+\delta_t\cdot\left(1-\frac{\sigma_{sr}}{f_y}\right)\cdot\left(\varepsilon_{s2}-\varepsilon_{sy}\right)</math>
+<math>\varepsilon_{s2}=\varepsilon_{st}=5,38\cdot10^{-3}</math>
+<math>\varepsilon_{smt}=2,75\cdot 10^{-3}-0,4\cdot (0,306\cdot 10^{-3}-0,191\cdot 10^{-3})+0,6\cdot \left(1-\frac{0,191\cdot 10^{-3}\cdot 20000}{55}\right)\cdot \left(5,38\cdot 10^{-3}-2,75\cdot 10^{-3}\right)</math>
+<math>\varepsilon_{smt}=4,17\cdot10^{-3}</math>
+Die Betonstauchung ändert sich durch die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen nicht:
+<math>|\varepsilon_{ct}|=3,5\cdot10^{-3}</math>
+===Krümmungen===
+<math>\kappa_{mt}=\frac{4,17\cdot 10^{-3}+3,5\cdot 10^{-3}}{70}=109,6\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=109,6\cdot 10^{-4}\frac{1}{m}</math>
+==Darstellung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen==
+[[File:Momenten-Krümmungs-Beziehungen (Bsp.)_3.jpg|400px|Darstellung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen]]
+=Vergleich der Momenten-Krümmungs-Beziehungen mit und ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen=
+[[File:Momenten-Krümmungs-Beziehungen (Bsp.)_4.jpg|400px|Vergleich der Momenten-Krümmungs-Beziehungen mit und ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen]]
 =Quellen=

Momenten-Krümmungs-Beziehungen (Bsp.): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 10. August 2024, 20:23 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung

Festigkeiten

Ermittlung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

ungerissener Zustand

Moment

Dehnungen

Krümmung

Krümmung im gerissenen Zustand bei Erreichen der Streckgrenze des Betonstahls

Moment

Dehnungen

Krümmung

Krümmung im gerissenen Zustand unter den Bruchschnittgrößen

Moment

Dehnungen

Krümmung

Darstellung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen

Ermittlung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

ungerissener Zustand

Dehnungen

Krümmungen

Krümmung im gerissenen Zustand bei Erreichen der Streckgrenze des Betonstahls

Dehnungen

Krümmungen

Krümmung im gerissenen Zustand unter den Bruchschnittgrößen

Dehnungen

Krümmungen

Darstellung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen

Vergleich der Momenten-Krümmungs-Beziehungen mit und ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

Quellen

Navigationsmenü

Momenten-Krümmungs-Beziehungen (Bsp.): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 10. August 2024, 20:23 Uhr

Aufgabenstellung

Festigkeiten

Ermittlung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

ungerissener Zustand

Moment

Dehnungen

Krümmung

Krümmung im gerissenen Zustand bei Erreichen der Streckgrenze des Betonstahls

Moment

Dehnungen

Krümmung

Krümmung im gerissenen Zustand unter den Bruchschnittgrößen

Moment

Dehnungen

Krümmung

Darstellung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen

Ermittlung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

ungerissener Zustand

Dehnungen

Krümmungen

Krümmung im gerissenen Zustand bei Erreichen der Streckgrenze des Betonstahls

Dehnungen

Krümmungen

Krümmung im gerissenen Zustand unter den Bruchschnittgrößen

Dehnungen

Krümmungen

Darstellung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen

Vergleich der Momenten-Krümmungs-Beziehungen mit und ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

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