Momenten-Krümmungs-Beziehungen (Bsp.)

Auf dieser Seite werden beispielhaft die Momenten-Krümmungs-Beziehungen ermittelt, die Theorie hierfür wird auf einer gesonderten Seite dargestellt (vgl. Momenten-Krümmungs-Beziehungen. Die Berechnungen werden vergleichend mit und ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen durchgeführt.

Aufgabenstellung

Für einen Balken mit Rechteckquerschnitt und gegebener Bewehrung sollen die Momenten-Krümmungs-Beziehungen berechnet werden. Als Festigkeiten sind die rechnerischen Mittelwerte anzusetzen

• b/h=35cm/75cm
• d=70cm
• B500A
• Längsbewehrung: 4⌀25 (A_s,vorh=19,64cm²)
• C 20/25
• $E_{cm}=10000{\frac {N}{mm^{2}}}=1000{\frac {kN}{cm^{2}}}$ (Mit der Berücksichtigung von Kriecheinflüssen)
• Kurzzeitbelastung

Festigkeiten

$f_{ck}=20{\frac {N}{mm^{2}}}\qquad \qquad f_{yk}=500{\frac {N}{mm^{2}}}$

$f_{cR}=0,85\cdot 0,85\cdot 20=14,45{\frac {N}{mm^{2}}}=1,445{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$f_{yR}=1,1\cdot 500=550{\frac {N}{mm^{2}}}=55{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$f_{tR}=1,05\cdot 550=577,5{\frac {N}{mm^{2}}}=57,75{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$f_{ctm}=2,2{\frac {N}{mm^{2}}}=0,22{\frac {kN}{cm^{2}}}$

Ermittlung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

ungerissener Zustand

Moment

$I_{I}={\frac {35\cdot 75^{3}}{12}}=1230468cm^{4}$

$z_{I,c1}={\frac {h}{2}}={\frac {75}{2}}=37,5cm$

$M_{cr}={\frac {0,22\cdot 1230468}{37,5}}=7219kNcm=72,19kNm$

Dehnungen

$\varepsilon _{c1,cr1}={\frac {0,22}{1000}}=0,22\cdot 10^{-3}$

$z_{I,c2}={\frac {h}{2}}={\frac {75}{2}}=37,5cm$

$|\varepsilon _{c2,cr1}|=0,22\cdot 10^{-3}{\frac {37,5}{37,5}}=0,22\cdot 10^{-3}$

$\varepsilon _{s,cr1}=0,22\cdot 10^{-3}{\frac {70-37,5}{37,5}}=0,191\cdot 10^{-3}$

Krümmung

$\kappa _{I}={\frac {0,191\cdot 10^{-3}+0,22\cdot 10^{-3}}{70}}=5,87\cdot 10^{-6}{\frac {1}{cm}}=5,87\cdot 10^{-4}{\frac {1}{m}}$

Krümmung im gerissenen Zustand bei Erreichen der Streckgrenze des Betonstahls

Moment

Ermittlung des Streckgrenzenmoments nach Schmitz :

Ermittlung des Streckgrenzenmoments nach Schmitz

$\omega _{II}={\frac {19,64}{35\cdot 70}}\cdot {\frac {55}{1,445}}$

$\omega _{II}=0,3$

${\frac {M_{y}}{b\cdot d^{2}\cdot f_{c}R}}=0,25$

$M_{y}=0,25\cdot 35\cdot 70^{2}\cdot 1,445=61954kNcm=619,54kNm$

Dehnungen

$\varepsilon _{sy}={\frac {550}{200000}}=2,75\cdot 10^{-3}$

$|0,1\cdot \varepsilon _{c}2|=0,19\cdot 10^{-3}$

$|\varepsilon _{c2}|=1,9\cdot 10^{-3}$

Krümmung

$\kappa _{y}={\frac {2,75\cdot 10^{-3}+1,9\cdot 10^{-3}}{70}}=66,4\cdot 10^{-6}{\frac {1}{cm}}=66,4\cdot 10^{-4}{\frac {1}{m}}$

Krümmung im gerissenen Zustand unter den Bruchschnittgrößen

Moment

Das Moment wird mit den ω-Tafeln mit dem rechnerischen Mittelwert der Zug- bzw. Druckfestigkeit ermittelt:

$\omega ={\frac {19,64\cdot 57,5}{35\cdot 70\cdot 1,445}}=0,32$

$\Rightarrow \mu _{Eds}=0,267$

$M_{y}=0,267\cdot 35\cdot 70^{2}\cdot 1,445=66167kNcm=661,67kNm$

Dehnungen

Die Dehnungen werden ebenfalls aus der ω-Tafel abgelesen:

$\varepsilon _{st}=5,38\cdot 10^{-3}$

$|\varepsilon _{ct}|=3,5\cdot 10^{-3}$

Krümmung

$\kappa _{t}={\frac {5,38\cdot 10^{-3}+3,5\cdot 10^{-3}}{70}}=126,86\cdot 10^{-6}{\frac {1}{cm}}=126,86\cdot 10^{-4}{\frac {1}{m}}$

Darstellung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen

Ermittlung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

Im Vergleich zu den bisherigen Betrachtungen findet bei der Berücksichtigung der Mitwirkung des Betons zwsichen den Rissen eine Unterteilung in den ungerissenen Zustand und die Erstrissbildung statt. Auf die Berücksichtigung wird vereinfachend an dieser Stelle verzichtet.

Die Momente werden im Folgenden nicht erneut ermittelt, da die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen keinen Einfluss auf diese hat.

Die Gleichungen zur Ermittlung der mittleren Stahldehnung können auf der Seite zur Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen gefunden werden.

ungerissener Zustand

Dehnungen

Da noch keine Risse vorhanden sind, ändern sich die Dehnungen nicht im Vergleich zur vorherigen Berechnung.

$|\varepsilon _{c2,cr1}|=0,22\cdot 10^{-3}$

$\varepsilon _{s,cr1}=0,191\cdot 10^{-3}$

Krümmungen

Da noch keine Risse vorhanden sind, ändert sich die Krümmung nicht im Vergleich zur vorherigen Berechnung.

$\kappa _{I}=5,87\cdot 10^{-4}{\frac {1}{m}}$

Krümmung im gerissenen Zustand bei Erreichen der Streckgrenze des Betonstahls

Dehnungen

Ermittlung der Stahldehnung im gerissenen Zustand unter den Schnittgrößen, die zur Erstrissbildung führen:

$\alpha _{e}={\frac {E_{s}}{E_{c,eff}}}={\frac {200000}{10000}}=20$

$x={\frac {\alpha _{e}\cdot A_{s1}}{b}}\cdot \left(-1+{\sqrt {1+{\frac {2\cdot b\cdot d}{\alpha _{e}\cdot A_{s1}}}}}\right)$

$x={\frac {20\cdot 19,64}{35}}\cdot \left(-1+{\sqrt {1+{\frac {2\cdot 35\cdot 70}{20\cdot 19,64}}}}\right)=29,97cm$

$z=d-{\frac {x}{3}}=70-{\frac {29,97}{3}}=60cm$

$\sigma _{s,cr2}={\frac {M_{cr}}{z\cdot A_{s1}}}={\frac {7219}{60\cdot 19,64}}=6,12{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$\varepsilon _{s,cr2}={\frac {\sigma _{s,cr2}}{E_{s}}}={\frac {6,12}{20000}}=0,306\cdot 10^{-3}$

Ermittlung der mittleren Stahldehnung an der Streckgrenze:

$\varepsilon _{sm}=\varepsilon _{s2}-\beta _{t}\cdot \left(\varepsilon _{s,cr2}-\varepsilon _{s,cr1}\right)$

$\varepsilon _{sy}=\varepsilon _{s2}={\frac {55}{20000}}=2,75\cdot 10^{-3}$

$\beta _{t}=0,4$ (Kurzzeitbelastung)

$\varepsilon _{smy}=2,75\cdot 10^{-3}-0,4\cdot (0,306\cdot 10^{-3}-0,191\cdot 10^{-3})$

$\varepsilon _{smy}=2,704\cdot 10^{-3}$

Die Betonstauchung ändert sich durch die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen nicht:

$|\varepsilon _{c2}|=1,9\cdot 10^{-3}$

Krümmungen

$\kappa _{my}={\frac {2,704\cdot 10^{-3}+1,9\cdot 10^{-3}}{70}}=65,77\cdot 10^{-6}{\frac {1}{cm}}=65,77\cdot 10^{-4}{\frac {1}{m}}$

Krümmung im gerissenen Zustand unter den Bruchschnittgrößen

Dehnungen

$\varepsilon _{sm}=\varepsilon _{sy}-\beta _{t}\cdot \left(\varepsilon _{s,cr2}-\varepsilon _{s,cr1}\right)+\delta _{t}\cdot \left(1-{\frac {\sigma _{sr}}{f_{y}}}\right)\cdot \left(\varepsilon _{s2}-\varepsilon _{sy}\right)$

$\varepsilon _{s2}=\varepsilon _{st}=5,38\cdot 10^{-3}$

$\varepsilon _{smt}=2,75\cdot 10^{-3}-0,4\cdot (0,306\cdot 10^{-3}-0,191\cdot 10^{-3})+0,6\cdot \left(1-{\frac {0,191\cdot 10^{-3}\cdot 20000}{55}}\right)\cdot \left(5,38\cdot 10^{-3}-2,75\cdot 10^{-3}\right)$

$\varepsilon _{smt}=4,17\cdot 10^{-3}$

Die Betonstauchung ändert sich durch die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen nicht:

$|\varepsilon _{ct}|=3,5\cdot 10^{-3}$

Krümmungen

$\kappa _{mt}={\frac {4,17\cdot 10^{-3}+3,5\cdot 10^{-3}}{70}}=109,6\cdot 10^{-6}{\frac {1}{cm}}=109,6\cdot 10^{-4}{\frac {1}{m}}$

Darstellung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen

Vergleich der Momenten-Krümmungs-Beziehungen mit und ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

Quellen

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