Biegebemessung mit dem omega-Verfahren (Bsp.)

Auf dieser Seite wird die Anwendung des $\omega$-Verfahrens an ausgewählten Beispielen dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der Biegebemessung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm; h=75cm) wird durch ein Moment $M_{gk}=80,0kNm$ sowie eine Normalkraft $N_{gk}=30kN$ aus ständigen Lasten und ein Moment $M_{qk}=180,0kNm$ sowie eine Normalkraft $N_{qk}=50kN$ aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die statische Nutzhöhe beträgt 71cm.

Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.

Beanspruchungen und Festigkeiten

$M_{Ed}={\gamma }_g\cdot M_{gk}+{\gamma }_q\cdot M_{qk}$

$M_{Ed}=1,35\cdot 80+1,5\cdot 180=378kNm=37800kNcm$

$N_{Ed}={\gamma }_g\cdot N_{gk}+{\gamma }_q\cdot N_{qk}$

$N_{Ed}=1,35\cdot 30+1,5\cdot 50=115,5kN$

Es handelt sich um einen überwiegend biegebanspruchten Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.
$f_{cd}={\alpha }_{cc}\cdot \frac{f_{ck}}{{\gamma }_c}=0,85\cdot \frac{20}{1,5}=11,33\frac{N}{m{m}^2}=1,13\frac{kN}{c{m}^2}$

$f_{yd}=\frac{f_{yk}}{{\gamma }_s}=\frac{500}{1,15}=435\frac{N}{m{m}^2}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$

Querschnittswerte

$d=71cm$

$z_{s1}=33,5cm$

Bemessung

$M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1}$

$M_{Eds}=37800-115,5\cdot 33,5$

$M_{Eds}=33930,75kNcm$

${\mu }_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}$

${\mu }_{Eds}=\frac{33930,75}{35\cdot 71^2\cdot 1,13}$

${\mu }_{Eds}=0,17<0,296$

Da ${\mu }_{Eds}<0,296$ ist keine Druckbewehrung erforderlich. Der Wert für $\omega$ wird aus der Tafel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abgelesen. Die $\omega$ lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen finden.

$\omega =0,1882$

Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der vereinfachten Stahlkennlinie

$A_{s1}=\frac{1}{{\sigma }_{sd}}\cdot (\omega \cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed})$

$A_{s1}=\frac{1}{43,5}\cdot (0,1882\cdot 35\cdot 71\cdot 1,13+115,5)$

$\underset{\_}{\underset{\_}{A_{s1}=14,8c{m}^2}}$

Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der genaueren Stahlkennlinie

Der genauere Wert für ${\sigma }_{sd}$ kann ebenfalls in Abhängigkeit von ${\mu }_{Eds}$abgelesen werden.

${\sigma }_{sd}=44,4\frac{kN}{c{m}^2}$

$A_{s1}=\frac{1}{{\sigma }_{sd}}\cdot (\omega \cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed})$

$A_{s1}=\frac{1}{44,4}\cdot (0,1882\cdot 35\cdot 71\cdot 1,13+115,5)$

$\underset{\_}{\underset{\_}{A_{s1}=14,5c{m}^2}}$

Plattenbalkenquerschnitte

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