Version vom 29. April 2024, 21:34 Uhr

Auf dieser Seite wird die Anwendung des $k_{d}$ -Verfahrens an ausgewählten Beispielen dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der Biegebemessung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm; h=75cm) wird durch ein Moment $M_{g k} = 80, 0 k N m$ sowie eine Normalkraft $N_{g k} = 30 k N$ aus ständigen Lasten und ein Moment $M_{q k} = 180, 0 k N m$ sowie eine Normalkraft $N_{q k} = 50 k N$ aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die statische Nutzhöhe beträgt 71cm.

Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.

Beanspruchungen und Festigkeiten

$M_{E d} = γ_{g} \cdot M_{g k} + γ_{q} \cdot M_{q k}$

$M_{E d} = 1, 35 \cdot 80 + 1, 5 \cdot 180 = 378 k N m$

$N_{E d} = γ_{g} \cdot N_{g k} + γ_{q} \cdot N_{q k}$

$N_{E d} = 1, 35 \cdot 30 + 1, 5 \cdot 50 = 115, 5 k N$

Es handelt sich um einen überwiegend biegebanspruchten Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.

Querschnittswerte

$d = 71 c m$

$z_{s 1} = 33, 5 c m$

Bemessung

$M_{E d s} = M_{E d} - N_{E d} \cdot z_{s 1}$

$M_{E d s} = 37800 - 115, 5 \cdot 33, 5$

$M_{E d s} = 33930, 75 k N c m = 339, 3 k N m$

$k_{d} = \frac{d [c m]}{\sqrt{\frac{M_{E d s} [k N m]}{b [m]}}}$

$k_{d} = \frac{71}{\sqrt{\frac{339, 3}{0, 35}}}$

$k_{d} = 2, 28$

Im Folgenden kann der Wert der bezogene Betondruckzonenhöhe abhängig von der Betonfestigkeitsklasse und $k_{d}$ aus der Tafel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abgelesen werden. Die $k_{d}$ -Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen^[1] finden.

$ξ = 0, 2321 < 0, 45$

Da $ξ < 0, 45$ ist keine Druckbewehrung erforderlich. Der Wert für $k_{s}$ kann ebenfalls aus der Tafel für rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abgelesen werden.

$k_{s} = 2, 547$

$A_{s 1} [c m^{2}] = k_{s} \cdot \frac{M_{E d s} [k N m]}{d [c m]} + \frac{N_{E d} [k N]}{43, 5}$

$A_{s 1} [c m^{2}] = 2, 547 \cdot \frac{339, 3}{71} + \frac{115, 5}{43, 5}$

$\underline{\underline{A_{s 1} [c m^{2}] = 14, 83 c m^{2}}}$

Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.

Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm;h=75cm) wird durch ein Moment $M_{g k} = 160, 0 k N m$ sowie eine Normalkraft $N_{g k} = - 30 k N$ aus ständigen Lasten und ein Moment $M_{q k} = 360, 0 k N m$ sowie eine Normalkraft $N_{q k} = - 50 k N$ aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die statische Nutzhöhe beträgt 71cm.

Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.

Beanspruchungen und Festigkeiten

$M_{E d} = γ_{g} \cdot M_{g k} + γ_{q} \cdot M_{q k}$

$M_{E d} = 1, 35 \cdot 160 + 1, 5 \cdot 360 = 756 k N m = 75600 k N c m$

$N_{E d} = γ_{g} \cdot N_{g k} + γ_{q} \cdot N_{q k}$

$N_{E d} = - 1, 35 \cdot 30 - 1, 5 \cdot 50 = - 115, 5 k N$

Es handelt sich um einen überwiegend biegebanspruchten Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.
$f_{c d} = α_{c c} \cdot \frac{f_{c k}}{γ_{c}} = 0, 85 \cdot \frac{20}{1, 5} = 11, 33 \frac{N}{m m^{2}} = 1, 13 \frac{k N}{c m^{2}}$

$f_{y d} = \frac{f_{y k}}{γ_{s}} = \frac{500}{1, 15} = 435 \frac{N}{m m^{2}} = 43, 5 \frac{k N}{c m^{2}}$

Querschnittswerte

$d = 71 c m$

$z_{s 1} = 33, 5 c m$

$d_{2} = 4 c m$

Bemessung

$M_{E d s} = M_{E d} - N_{E d} \cdot z_{s 1}$

$M_{E d s} = 75600 - (- 115, 5) \cdot 33, 5$

$M_{E d s} = 79469, 25 k N c m$

$μ_{E d s} = \frac{M_{E d s}}{b \cdot d^{2} \cdot f_{c d}}$

$μ_{E d s} = \frac{79469, 25}{35 \cdot 7 1^{2} \cdot 1, 13}$

$μ_{E d s} = 0, 40 > 0, 296$

Da $μ_{E d s} > 0, 296$ ist Druckbewehrung erforderlich. Der Werte für $ω_{1}$ und $ω_{2}$ werden aus der Tafel für Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung abgelesen. Die $ω$ -Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen^[1] finden. Um den Anforderungen zur Sicherstellung der Duktilität nach DIN EN 1992-1-1^[2] zu entsprechen, wird eine Tafel mit $ξ = 0, 45$ verwendet.

$\frac{d_{2}}{d} = \frac{4}{71} = 0, 056 \approx 0, 05$

$ω_{1} = 0, 474$

$ω_{2} = 0, 109$

$A_{s 1} = \frac{1}{f y d} \cdot (ω_{1} \cdot b \cdot d \cdot f_{c d} + N_{E d})$

$A_{s 1} = \frac{1}{43, 5} \cdot (0, 474 \cdot 35 \cdot 71 \cdot 1, 13 - 115, 5)$

$\underline{\underline{A_{s 1} = 27, 94 c m^{2}}}$

$A_{s 2} = \frac{1}{f_{y d}} \cdot (ω_{2} \cdot b \cdot d \cdot f_{c d})$

$A_{s 2} = \frac{1}{43, 5} \cdot (0, 109 \cdot 35 \cdot 71 \cdot 1, 13)$

$\underline{\underline{A_{s 2} = 7, 04 c m^{2}}}$

Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.

Seiteninfo

Status: in Bearbeitung

↑ ^1,0 ^1,1 Albert,A., Bautabellen fü Ingenieure, Auflage 26, Bundesanzeigerverlag, 2024
↑ DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013

[Q1-1] 1,0 ^1,1 Albert,A., Bautabellen fü Ingenieure, Auflage 26, Bundesanzeigerverlag, 2024

[Q3-2] DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013

[1]

[2]

@@ Zeile 11: / Zeile 11: @@
 <math>M_{Ed}=\gamma_g\cdot M_{gk}+\gamma_q\cdot M_{qk}</math>
-<math>M_{Ed}=1,35\cdot80+1,5\cdot 180=378kNm=37800kNcm</math>
+<math>M_{Ed}=1,35\cdot80+1,5\cdot 180=378kNm</math>
 <math>N_{Ed}=\gamma_g\cdot N_{gk}+\gamma_q\cdot N_{qk}</math>
@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
 <br>
 Es handelt sich um einen [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/%C3%9Cberwiegend_biegebeanspruchter_Querschnitt überwiegend biegebanspruchten] Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.
-<br>
-<math>f_{cd}=\alpha_{cc}\cdot\frac{f_{ck}}{\gamma_c}=0,85\cdot\frac{20}{1,5}=11,33\frac{N}{mm^2}=1,13\frac{kN}{cm^2}</math>
-<math>f_{yd}=\frac{f_{yk}}{\gamma_s}=\frac{500}{1,15}=435\frac{N}{mm^2}=43,5\frac{kN}{cm^2}</math>
 ==Querschnittswerte==
 <math>d=71cm</math>
@@ Zeile 31: / Zeile 28: @@
 <math> M_{Eds}=37800-115,5\cdot33,5 </math>
-<math> M_{Eds}=33930,75kNcm </math>
+<math> M_{Eds}=33930,75kNcm=339,3kNm </math>
-<math>\mu_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}</math>
+<math>k_d=\frac{d[cm]}{\sqrt{\frac{M_{Eds}[kNm]}{b[m]}}}</math>
-<math>\mu_{Eds}=\frac{33930,75}{35\cdot 71^2\cdot 1,13}</math>
+<math>k_d=\frac{71}{\sqrt{\frac{339,3}{0,35}}}</math>
-<math>\mu_{Eds}=0,17<0,296</math>
+<math>k_d=2,28</math>
-Da <math>\mu_{Eds}<0,296</math> ist keine Druckbewehrung erforderlich. Mithilfe des bezogenen Moments werden im Folgenden die für die Bemessung relevanten Größen aus dem allgemeinen Bemessungsdiagramm abgelesen.
+Im Folgenden kann der Wert der bezogene Betondruckzonenhöhe abhängig von der Betonfestigkeitsklasse und <math>k_d</math> aus der Tafel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abgelesen werden. Die <math>k_d</math>-Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen<ref Name = "Q1">Albert,A., Bautabellen fü Ingenieure, Auflage 26, Bundesanzeigerverlag, 2024</ref> finden.
-<math>\varepsilon_{s1}=11,6</math>&permil;
+<math>\xi=0,2321<0,45</math>
-<math>\zeta=\frac{z}{d}=0,9</math>
+Da <math>\xi<0,45</math> ist keine Druckbewehrung erforderlich. Der Wert für <math>k_s</math> kann ebenfalls aus der Tafel für rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abgelesen werden.
-<math>\Rightarrow \ z=0,9\cdot71=63,9cm</math>
+<math>k_s=2,547</math>
-===Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der vereinfachten Stahlkennlinie===
+<math>A_{s1}[cm^2]=k_s\cdot\frac{M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}+\frac{N_{Ed}[kN]}{43,5}</math>
-<math>\varepsilon_{s1}</math>=11,6&permil;>2,17&permil;
-Da die vorhandene Stahlspannung über der Fließspannung liegt, darf die volle Bemessungszugfestigkeit angesetzt werden.
+<math>A_{s1}[cm^2]=2,547\cdot\frac{339,3}{71}+\frac{115,5}{43,5}</math>
-<math>\sigma_{sd}=f_{yd}=43,5\frac{kN}{cm^2}</math>
+<math>\underline{\underline{A_{s1}[cm^2]=14,83cm^2}}</math>
-<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds}}{z}+N_{Ed}\right)</math>
+Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.
-<math> A_{s1}=\frac{1}{43,5}\cdot\left(\frac{33930,75}{63,9}+115,5\right)</math>
-<math>\underline{\underline{A_{s1}=14,86cm^2}}</math>
-===Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der genaueren Stahlkennlinie===
-Der genauere Wert für <math>\sigma_{sd}</math> ergibt sich aus den thoretischen Zusammenhängen der Stahlkennlinie mit geneigtem Ast und der abgelesenen Stahldehnung.
-<math>\sigma_{sd}=44,4\frac{kN}{cm^2}</math>
-<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds}}{z}+N_{Ed}\right)</math>
-<math> A_{s1}=\frac{1}{44,4}\cdot\left(\frac{33930,75}{63,9}+115,5\right)</math>
-<math>\underline{\underline{A_{s1}=14,56cm^2}}</math>
 =Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung=
-Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.
 ==Aufgabenstellung==
@@ Zeile 116: / Zeile 95: @@
 Da <math>\mu_{Eds}>0,296</math> ist Druckbewehrung erforderlich.
+Der Werte für <math>\omega_1</math> und <math>\omega_2</math> werden aus der Tafel für Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung abgelesen. Die <math>\omega</math>-Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen<ref Name = "Q1"></ref> finden. Um den Anforderungen zur Sicherstellung der Duktilität nach DIN EN 1992-1-1<ref Name = "Q3">DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013</ref> zu entsprechen, wird eine Tafel mit <math>\xi=0,45</math> verwendet.
-<math>lim\ \mu_{Eds}=0,296</math>
-<math>lim\ M_{Eds}=lim\ \mu_{Eds}\cdot b\cdot d^2\cdot f_{cd}</math>
-<math>lim\ M_{Eds}=0,296\cdot 35\cdot 71^2\cdot 1,13</math>
-<math>lim\ M_{Eds}=59014kNcm</math>
-<math>\Delta M_{Eds}=M_{Eds}-lim\ M_{Eds}</math>
-<math>\Delta M_{Eds}=79469,25-59014</math>
-<math>\Delta M_{Eds}=20455kNcm</math>
-Mithilfe des bezogenen Grenzmoments werden im Folgenden die für die Bemessung relevanten Größen aus dem allgemeinen Bemessungsdiagramm abgelesen. Um den Anforderungen zur Sicherstellung der Duktilität nach DIN EN 1992-1-1<ref Name = "Q3">DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013</ref> zu entsprechen, wird die bezogene Druckzonenhöhe auf <math>\xi=0,45</math> begrenzt.
 <math>\frac{d_2}{d}=\frac{4}{71}=0,056\thickapprox0,05</math>
-<math>\varepsilon_{s1}=4,2</math>&permil;
+<math>\omega_1=0,474</math>
-<math>\varepsilon_{s2}=-3,1</math>&permil;
-Da sowohl die Spannung der Zug- und Druckbewehrung über der Fließgrenze liegen, darf jeweils mit der vollen Bemessungszugfestigkeit gerechnet werden.
-<math>\sigma_{sd}=f_{yd}=43,5\frac{kN}{cm^2}</math>
-<math>\sigma_{s2d}=f_{yd}=43,5\frac{kN}{cm^2}</math>
-<math>\zeta=\frac{z}{d}=0,825</math>
-<math>\Rightarrow \ z=0,825\cdot71=58,58cm</math>
+<math>\omega_2=0,109</math>
-<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds,lim}}{z}+\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}+N_{Ed}\right)</math>
+<math>A_{s1}=\frac{1}{f{yd}}\cdot\left(\omega_1\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math>
-<math> A_{s1}=\frac{1}{43,5}\cdot\left(\frac{59014}{58,58}+\frac{20455}{71-4}-115,5\right)</math>
+<math>A_{s1}=\frac{1}{43,5}\cdot\left(0,474\cdot 35\cdot 71\cdot 1,13-115,5\right)</math>
-<math>\underline{\underline{A_{s1}=27,52cm^2}}</math>
+<math>\underline{\underline{A_{s1}=27,94cm^2}}</math>
-<math> A_{s2}=\frac{1}{\sigma_{s2d}}\cdot\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}</math>
+<math>A_{s2}=\frac{1}{f_{yd}}\cdot\left(\omega_2\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}\right)</math>
-<math> A_{s2}=\frac{1}{43,5}\cdot\frac{20455}{71-4}</math>
+<math>A_{s2}=\frac{1}{43,5}\cdot\left(0,109\cdot 35\cdot 71\cdot 1,13\right)</math>
-<math>\underline{\underline{A_{s2}=7,02cm^2}}</math>
+<math>\underline{\underline{A_{s2}=7,04cm^2}}</math>
 Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.

Biegebemessung mit dem kd-Verfahren (Bsp.): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 29. April 2024, 21:34 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Beanspruchungen und Festigkeiten

Querschnittswerte

Bemessung

Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Beanspruchungen und Festigkeiten

Querschnittswerte

Bemessung

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Biegebemessung mit dem kd-Verfahren (Bsp.): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 29. April 2024, 21:34 Uhr

Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Beanspruchungen und Festigkeiten

Querschnittswerte

Bemessung

Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Beanspruchungen und Festigkeiten

Querschnittswerte

Bemessung

Navigationsmenü

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