Momenten-Krümmungs-Beziehungen (Bsp.)

Auf dieser Seite werden beispielhaft die Momenten-Krümmungs-Beziehungen ermittelt, die Theorie hierfür wird auf einer gesonderten Seite dargestellt (vgl. Momenten-Krümmungs-Beziehungen. Die Berechnungen werden vergleichend mit und ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen durchgeführt.

Aufgabenstellung

Für einen Balken mit Rechteckquerschnitt und gegebener Bewehrung sollen die Momenten-Krümmungs-Beziehungen berechnet werden. Als Festigkeiten sind die rechnerischen Mittelwerte anzusetzen

• b/h=35cm/75cm
• d=70cm
• B500A
• Längsbewehrung: 4⌀25 (A_s,vorh=19,64cm²)
• C 20/25
• $E_{cm}=10000\frac{N}{m{m}^2}=1000\frac{kN}{c{m}^2}$ (Mit der Berücksichtigung von Kriecheinflüssen)

Festigkeiten

$f_{ck}=20\frac{N}{m{m}^2}{f}_{yk}=500\frac{N}{m{m}^2}$

$f_{cR}=0,85\cdot 0,85\cdot 20=14,45\frac{N}{m{m}^2}=1,445\frac{kN}{c{m}^2}$

$f_{yR}=1,1\cdot 500=550\frac{N}{m{m}^2}=55\frac{kN}{c{m}^2}$

$f_{tR}=1,05\cdot 550=577,5\frac{N}{m{m}^2}=57,75\frac{kN}{c{m}^2}$

$f_{ctm}=2,2\frac{N}{m{m}^2}=0,22\frac{kN}{c{m}^2}$

Ermittlung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

Erstrissbildung

Moment

$I_I=\frac{35\cdot 75^3}{12}=1230468c{m}^4$

$z_{I,c1}=\frac{h}{2}=\frac{75}{2}=37,5cm$

$M_{cr}=\frac{0,22\cdot 1230468}{37,5}=7219kNcm=72,19kNm$

Dehnungen

${\epsilon }_{c1,cr1}=\frac{0,22}{1000}=0,22\cdot 10^{-3}$

$z_{I,c2}=\frac{h}{2}=\frac{75}{2}=37,5cm$

$|{\epsilon }_{c2,cr1}|=0,22\cdot 10^{-3}\frac{37,5}{37,5}=0,22\cdot 10^{-3}$

${\epsilon }_{s,cr1}=0,22\cdot 10^{-3}\frac{70-37,5}{37,5}=0,191\cdot 10^{-3}$

Krümmung

${\kappa }_I=\frac{0,191\cdot 10^{-3}+0,22\cdot 10^{-3}}{70}=5,87\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=5,87\cdot 10^{-4}\frac{1}{m}$

Krümmung im gerissenen Zustand bei Erreichen der Streckgrenze des Betonstahls

Moment

Ermittlung des Streckgrenzenmoments nach Schmitz:

${\omega }_{II}=\frac{19,64}{35\cdot 70}\cdot \frac{55}{1,445}$

${\omega }_{II}=0,3$

$\frac{M_y}{b\cdot d^2\cdot f_{c}R}=0,25$

$M_y=0,25\cdot 35\cdot 70^2\cdot 1,445=61954kNcm=619,54kNm$

Dehnungen

${\epsilon }_{sy}=\frac{550}{200000}=2,75\cdot 10^{-3}$

$|0,1\cdot {\epsilon }_{c}2|=0,19\cdot 10^{-3}$

$|{\epsilon }_{c}2|=1,9\cdot 10^{-3}$

Krümmung

${\kappa }_y=\frac{2,75\cdot 10^{-3}+1,9\cdot 10^{-3}}{70}=66,4\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=66,4\cdot 10^{-4}\frac{1}{m}$

Krümmung im gerissenen Zustand unter den Bruchschnittgrößen

Moment

Das Moment wird mit den ω-Tafeln mit dem rechnerischen Mittelwert der Zug- bzw. Druckfestigkeit ermittelt:

$\omega =\frac{19,64\cdot 57,5}{35\cdot 70\cdot 1,445}=0,32$

$\Rightarrow {\mu }_{Eds}=0,267$

$M_y=0,267\cdot 35\cdot 70^2\cdot 1,445=66167kNcm=661,67kNm$

Dehnungen

Die Dehnungen werden ebenfalls aus der ω-Tafel abgelesen:

${\epsilon }_{st}=5,38\cdot 10^{-3}$

$|{\epsilon }_{ct}|=3,5\cdot 10^{-3}$

Krümmung

${\kappa }_y=\frac{5,38\cdot 10^{-3}+3,5\cdot 10^{-3}}{70}=126,86\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=126,86\cdot 10^{-4}\frac{1}{m}$

Quellen

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