Momenten-Krümmungs-Beziehungen (Bsp.)

Auf dieser Seite werden beispielhaft die Momenten-Krümmungs-Beziehungen ermittelt, die Theorie hierfür wird auf einer gesonderten Seite dargestellt (vgl. Momenten-Krümmungs-Beziehungen. Die Berechnungen werden vergleichend mit und ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen durchgeführt.

Aufgabenstellung

Für einen Balken mit Rechteckquerschnitt und gegebener Bewehrung sollen die Momenten-Krümmungs-Beziehungen berechnet werden. Als Festigkeiten sind die rechnerischen Mittelwerte anzusetzen

• b/h=35cm/75cm
• d=70cm
• B500A
• Längsbewehrung: 4⌀25 (A_s,vorh=19,64cm²)
• C 20/25
• $E_{cm}=10000{\frac {N}{mm^{2}}}=1000{\frac {kN}{cm^{2}}}$ (Mit der Berücksichtigung von Kriecheinflüssen)

Festigkeiten

$f_{ck}=20{\frac {N}{mm^{2}}}\qquad \qquad f_{yk}=500{\frac {N}{mm^{2}}}$

$f_{cR}=0,85\cdot 0,85\cdot 20=14,45{\frac {N}{mm^{2}}}=1,445{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$f_{yR}=1,1\cdot 500=550{\frac {N}{mm^{2}}}=55{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$f_{tR}=1,05\cdot 550=577,5{\frac {N}{mm^{2}}}=57,75{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$f_{ctm}=2,2{\frac {N}{mm^{2}}}=0,22{\frac {kN}{cm^{2}}}$

Ermittlung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen ohne Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

Erstrissbildung

Moment

$I_{I}={\frac {35\cdot 75^{3}}{12}}=1230468cm^{4}$

$z_{I,c1}={\frac {h}{2}}={\frac {75}{2}}=37,5cm$

$M_{cr}={\frac {0,22\cdot 1230468}{37,5}}=7219kNcm=72,19kNm$

Dehnungen

$\varepsilon _{c1,cr1}={\frac {0,22}{1000}}=0,22\cdot 10^{-3}$

$z_{I,c2}={\frac {h}{2}}={\frac {75}{2}}=37,5cm$

$|\varepsilon _{c2,cr1}|=0,22\cdot 10^{-3}{\frac {37,5}{37,5}}=0,22\cdot 10^{-3}$

$\varepsilon _{s,cr1}=0,22\cdot 10^{-3}{\frac {70-37,5}{37,5}}=0,191\cdot 10^{-3}$

Krümmung

$\kappa _{I}={\frac {0,191\cdot 10^{-3}+0,22\cdot 10^{-3}}{70}}=5,87\cdot 10^{-6}{\frac {1}{cm}}=5,87\cdot 10^{-4}{\frac {1}{m}}$

Krümmung im gerissenen Zustand bei Erreichen der Streckgrenze des Betonstahls

Moment

Ermittlung des Streckgrenzenmoments nach Schmitz:

$\omega _{II}={\frac {19,64}{35\cdot 70}}\cdot {\frac {55}{1,445}}$

$\omega _{II}=0,3$

${\frac {M_{y}}{b\cdot d^{2}\cdot f_{c}R}}=0,25$

$M_{y}=0,25\cdot 35\cdot 70^{2}\cdot 1,445=61954kNcm=619,54kNm$

Dehnungen

$\varepsilon _{sy}={\frac {550}{200000}}=2,75\cdot 10^{-3}$

$|0,1\cdot \varepsilon _{c}2|=0,19\cdot 10^{-3}$

$|\varepsilon _{c}2|=1,9\cdot 10^{-3}$

Krümmung

$\kappa _{y}={\frac {2,75\cdot 10^{-3}+1,9\cdot 10^{-3}}{70}}=66,4\cdot 10^{-6}{\frac {1}{cm}}=66,4\cdot 10^{-4}{\frac {1}{m}}$

Krümmung im gerissenen Zustand unter den Bruchschnittgrößen

Moment

Das Moment wird mit den ω-Tafeln mit dem rechnerischen Mittelwert der Zug- bzw. Druckfestigkeit ermittelt:

$\omega ={\frac {19,64\cdot 57,5}{35\cdot 70\cdot 1,445}}=0,32$

$\Rightarrow \mu _{Eds}=0,267$

$M_{y}=0,267\cdot 35\cdot 70^{2}\cdot 1,445=66167kNcm=661,67kNm$

Dehnungen

Die Dehnungen werden ebenfalls aus der ω-Tafel abgelesen:

$\varepsilon _{st}=5,38\cdot 10^{-3}$

$|\varepsilon _{ct}|=3,5\cdot 10^{-3}$

Krümmung

$\kappa _{y}={\frac {5,38\cdot 10^{-3}+3,5\cdot 10^{-3}}{70}}=126,86\cdot 10^{-6}{\frac {1}{cm}}=126,86\cdot 10^{-4}{\frac {1}{m}}$

Quellen

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