Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Sohlplatte (Bsp.)

Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Sohlplatte für eine verringerte Zwangsbeanspruchung

Aufgabenstellung

Als Vergleich soll für die Sohlplatte aus dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.)" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden.
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1 und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" empfohlen.
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann.
Im Anschluss dieser Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.)" durchgeführt.

Vorgaben

Sohlplattenabmessungen L / B / h:	17,00 / 15,00 / 0,50 m
Expositionsklasse:	XC2 - Gründungsbauteil
Betonfestigkeitsklasse:	C35/45
Betonzugfestigkeit:	$f_{ctm}=3,2N/m{m}^2$
Bewehrung aus der Statik:	Q 524A oben und unten
	$a_{s,o}=a_{s,u}=5,24c{m}^2/m$
Betondeckung:	$c_v=c_{nom}=20+15=35mm$
Unterkonstruktion:	Unterbeton mit Flügelglättung und 2 Lagen PE-Folie

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden.
Es ist nur die Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

Lösung

Ermittlung der zulässigen Rissbreite

Die Sohlplatte besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC2 vorgegeben.
Somit beträgt die zulässige Rissbreite

$w_k=\underset{\_}{0,3mm}$.

zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1

	1	2	3	4	5
	Expositionsklasse	Konstruktion
		Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund	Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund	Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
		Einwirkungskombination
		quasi-ständig	häufig	häufig	selten
1	X0, XC1	0,4${a)}^{}$	0,2	0,2	-
2	XC2, XC3, XC4	0,3	0,2${b),c)}^{}$	0,2${b)}^{}$
3	XS1, XS2, XS3 XD1, XD2, XD3${d)}^{}$			Dekompression	0,2
${a)}^{}$Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dient im Allgemeinen nur des Erscheinungsbildes. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. ${b)}^{}$Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. ${c)}^{}$Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. ${d)}^{}$Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.

Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung

Spannung unter der Sohlpatte

Die Spannung unter Sohlplatte setzt sich nur aus dem Eigengewicht zusammen.

${\sigma }_0={\gamma }_G\cdot h\cdot {\gamma }_c=1,35\cdot 0,5\cdot 25=\underset{\_}{16,88kN/m^2}$

Reibungsbeiwert

Verwendet wird ein Unterbeton mit Flügelglättung und 2 Lagen PE-Folie als Trennlage.

Reibungsbeiwerte

	1	2	3
	Unterkonstruktion ${}_{a)}$	Trennlage	Reibungsbeiwert ${\mu }_0$ für die erste Verschiebung
1	grobkörniger Baugrund ohne Sandbettung	keine	1,4 … 2,1 ${}_{e)}$
2	Kies-Sand-Bodenaustausch (nicht bindig)	bei Dicke der Bodenplatte h = 0,2m	> 1,4
3		bei Dicke der Bodenplatte h = 0,8m	≈ 0,9
4	sandiger Baugrund oder grobkörniger Baugrund mit Sandbettung unter der Sohlplatte	keine	0,9 … 1,1 ${}_{e)}$
5		Noppenbahn (d ≈ 0,6mm)	0,8 … 1,0 ${}_{d),e)}$
6		1 Lage PE-Folie ${}_{b)}$	0,5 … 0,7 ${}_{d),e)}$
7	Sandbett (Dicke 6 … 10 cm, mittlere Korngröße 0,35mm)	keine (Direktauflagerung auf nicht feinkörnigem, bindigem Boden)	0,7
8	Perimeterdämmung auf Unterbeton bei beliebigem Baugrund	bei Dicke der Bodenplatte h ≤ 0,3m	≈ 0,8 ${}_{d)}$
9		bei Dicke der Bodenplatte h ≥ 0,8m	≈ 0,5 ${}_{d)}$
10	Unterbeton abgezogen (makrorau)	2 Lagen PE-Folie ${}_{b)}$ je 0,2mm:
11		bei Dicke der Bodenplatte h = 0,3m	≤ 2,0
12		bei Dicke der Bodenplatte h = 1,5m	≤ 1,3
13		Bitumenschweißbahn ${}_{c)}$	0,35 … 0,7 ${}_{d),e)}$
14		Dickbitumen ${}_{c)}$	0,03 … 0,2 ${}_{d),e)}$
15		Trennschicht aus 2 Lagen dicker PE-Folie ${}_{b)}$ mit zwischenliegender Schicht aus Silikonfett als Schmiermittel	≈ 0,8
16	Unterbeton mit Flügelglättung	1 Lage PE-Folie ${}_{b)}$	0,8 … 1,4 ${}_{d),e)}$
17		2 Lagen PE- Folie ${}_{b)}$	≤ 0,8
18		mit PTFE ${}_{b)}$ beschichtete Folie	0,2 … 0,5 ${}_{e)}$
19		Trennschicht aus 2 Lagen dicker PE-Folie ${}_{b)}$ mit zwischenliegender Schicht aus Silikonfett als Schmiermittel	≈ 0,3
20		1- bis 2-lagige Bitumenschweißbahn ${}_{c)}$, stumpf gestoßen:
21		bei Dicke der Bodenplatte h = 0,3m	≈ 0,45
22		bei Dicke der Bodenplatte h > 1,0m	≈ 0,2
23	Sicherheitsbeiwert für Reibung ${}_{h)}$	${\gamma }_r=1,35$ ${}_{f)}$
24		${\gamma }_r=1,25$ ${}_{g)}$
25	Bemessungswert der Reibung	${\mu }_d={\gamma }_r\cdot {\mu }_0$
${}_{a)}$ Die Oberfläche der Unterkonstruktion muss den Anforderungen der Ebenheit nach DIN 18202 entsprechen. ${}_{b)}$ PE = Polyethylen, PTFE = Polytetraflour- Ethylen ${}_{c)}$ Bituminöse Trennschichten sind nur bei ausreichender Schichtdicke und Temperaturen in der Trennschicht >10°C wirksam. ${}_{d)}$ Vorschlag der Autoren der Fachliteraturquellen ${}_{e)}$ Bewegt sich der Reibungsbeiwert in einer Spannbreite empfehlen die Autoren der Fachliteraturquellen die Annahme des höheren Wertes, wenn kein Einfluss auf die Ausführung besteht. ${}_{f)}$ nach "Lohmeyer Stahlbetonbau" und "Weiße Wannen einfach und sicher - 9.Auflage" ${}_{g)}$ nach "Weiße Wannen einfach und sicher - 11.Auflage" ${}_{h)}$ Die Autoren der Fachliteraturen empfehlen mit den angegebenen Sicherheitsbeiwerten zu rechnen, da die Auswahl des Reibungsbeiwertes mit einiger Unsicherheit behaftet ist.

Aus der Tabelle ergibt sich damit ein Bemessungswert der Reibung bei der sichereren Annahme des Teilsicherheitsbeiwertes ${\gamma }_r=1,35$ von

${\mu }_d=1,35\cdot 0,8=\underset{\_}{1,08}$.

Zugspannung in der Sohlplatte

${\sigma }_{ct,d}=\frac{{\gamma }_{ct}\cdot {\mu }_d\cdot {\sigma }_0\cdot L}{2\cdot a_{ct}}=\frac{1,0\cdot 1,08\cdot 16,88\cdot 17,0}{2\cdot 0,5\cdot 1}=309,92kN/m^2=\underset{\_}{0,31N/m{m}^2}$

Abschätzen der erforderlichen Bewehrung

Festigkeitsbeiwert

Datei:Diagramm von Meyer & Meyer.jpeg

Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrische Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme

${\beta }_{ct,vorh}=\frac{{\sigma }_{ct,d}}{f_{ctm}}=\frac{0,31}{3,2}=\underset{\_}{0,1}$

Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm

Bewehrung aus dem Diagramm:	$a_{S,o,Diagr}=a_{S,u,Diagr}\approx 11,5c{m}^2/m$
mit	${\beta }_{ct,Diagr}=0,5$
	$c_{v,Diagr}=40mm$
	$w_{k,Diagr}=0,2mm$

$a_S\approx a_{S,Diagr}\cdot \sqrt{\frac{{\beta }_{ct,vorh}\cdot c_{v,vorh}\cdot w_{k,Diagr}}{{\beta }_{ct,Diagr}\cdot c_{v,Diagr}\cdot w_{k,vorh}}}=11,5\cdot \sqrt{\frac{0,1\cdot 35\cdot 0,2}{0,5\cdot 40\cdot 0,3}}=\underset{\_}{3,93c{m}^2/m}$

Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

Betondeckung und statische Nutzhöhe

$c_v=c_{nom}=35mm$ (aus der Statik)

$d_1=35+\frac{10}{2}=40mm=\underset{\_}{4,0cm}$

$d=h-d_1=50-4=46cm$

Wirkungstiefe der Bewehrung

$a_{c,eff}=2\cdot b\cdot h_{c,ef}$	mit $b=100cm/m$
$\frac{h}{d_1}=\frac{50}{4}=12,5$	$>5,0$
	$<30,0$
$h_{c,ef}=0,1\cdot h+2,0\cdot d_1=0,1\cdot 50+2,0\cdot 4=13,0cm$	$<\frac{h}{2}=\frac{50}{2}=25,0cm$

$a_{c,eff}=2\cdot 100\cdot 13,0=\underset{\_}{2600c{m}^2/m}$

Ermittlung der Beiwerte

$k_c=1,0$	für reinen Zug
Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
$k=0,8-20\cdot \frac{0,8-0,5}{80-30}=0,68$	Interpolation der in der DIN EN 1992-1-1 vorgegebenen Werte.

Ermittlung des Grenzdurchmessers

${\varnothing }_S^{*}={\varnothing }_S\cdot \frac{f_{ct,0}}{{\sigma }_{ct,d}}=10\cdot \frac{2,9}{0,31}=94mm$

${\varnothing }_S^{*}={\varnothing }_S\cdot \frac{8\cdot (h-d)}{k\cdot k_c\cdot h_{cr}}\cdot \frac{f_{ct,0}}{{\sigma }_{ct,d}}$	mit $(h-d)=d_1$
	und $h_{cr}=\frac{h}{2}=\frac{50}{2}=25,0cm$

${\varnothing }_S^{*}=10\cdot \frac{8\cdot 4}{0,68\cdot 1,0\cdot 25}\cdot \frac{2,9}{0,31}=88mm$

Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt

${\varnothing }_S^{*}=\underset{\_}{88mm}$.

Ermittlung der Stahlspannung

${\sigma }_S=\sqrt{\frac{6\cdot w_k\cdot E_S\cdot f_{ct,0}}{{\varnothing }_S^{*}}}$	mit $E_S=200.000N/m{m}^2$
	und $f_{ct,0}=2,9N/m{m}^2$

${\sigma }_S=\sqrt{\frac{6\cdot 0,3\cdot 200.000\cdot 2,9}{88}}=\underset{\_}{108,92N/m{m}^2}$

Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

$a_{S,min}$	$=\frac{k\cdot k_c\cdot a_{ct}\cdot {\sigma }_{ct,d}}{{\sigma }_S}$
	$=\frac{0,68\cdot 1,0\cdot 50\cdot 100\cdot 0,31}{108,92}$
	$=9,77c{m}^2/m$

$a_{S,min}$	$=\frac{a_{ct,eff}\cdot {\sigma }_{ct,d}}{{\sigma }_S}$	$\ge \frac{k\cdot a_{ct}\cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}}$
	$=\frac{2600\cdot 0,31}{108,92}$	$\ge \frac{0,68\cdot 50\cdot 100\cdot 0,31}{500}$
	$=7,40c{m}^2/m$	$>2,11c{m}^2/m$

Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen

$\underset{\_}{7,40c{m}^2/m}$

eingelegt werden.

Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet.

$a_{S,o}=a_{S,u}=\frac{7,40}{2}=3,70c{m}^2/m\approx 3,93c{m}^2/m$

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer ist als die statisch erforderliche Bewehrung, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

$a_{S,o}=a_{S,u}=3,70c{m}^2/m<5,24c{m}^2/m$

Quellen

Normen

Fachliteratur

Links

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