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Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung

Aufgabenstellung

Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden.
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1 und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" ^{[F 1]} empfohlen.
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann.
Im Anschluss dieser Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" durchgeführt.

Vorgaben

Wandabmessungen L / H / h:	4,70 / 2,50 / 0,30 m
Expositionsklasse:	XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
Betonfestigkeitsklasse:	C25/30
Betonzugfestigkeit:	f_ctm = 2,6 N/mm²
Bewehrung aus der Statik:	ø = 12 , s = 15cm
	a_S,1 = a_S,2 = 7,54 cm²/m
Betondeckung:	c_v = c_nom = 25+15 = 40mm
Elastizitätsmodul des Beton	E_cm = 31.000 N/mm²
Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons	$\alpha _{T}=10\cdot 10^{-6}1/K$
Wärmekapazität des Betons	C_c0 = 2.500 kJ/(m³K)
Temperatur der Sohlplatte	T_F = 15°C
Frischbetontemperatur	T_c0 = 18°C
Zementmenge	z = 350 kg/m³
Hydratationswärme des Zementes	Q_H = 175 kJ/kg

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden.
Es ist nur die Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

Lösung

Ermittlung der zulässigen Rissbreite

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben.
Somit beträgt die zulässige Rissbreite

w_{k}={\underline {0,3mm}}

.

zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1 ^{[N 1]}
	Expositionsklasse	Konstruktion
	1	2	3	4	5
		Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund	Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund	Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
		Einwirkungskombination
		quasi-ständig	häufig	häufig	selten
1	X0, XC1	0,4 $^{a)}$	0,2	0,2	-
2	XC2, XC3, XC4	0,3	0,2 $^{b),c)}$	0,2 $^{b)}$	-
3	XS1, XS2, XS3 XD1, XD2, XD3 $^{d)}$	0,3	0,2 $^{b),c)}$	Dekompression	0,2
$^{a)}$ Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dient im Allgemeinen nur des Erscheinungsbildes. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. $^{b)}$ Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. $^{c)}$ Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. $^{d)}$ Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.

Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung

\sigma _{ct,cal}=k\cdot \alpha _{T}\cdot E_{c,t}\cdot \Delta T_{b,W-F}

[N/mm^{2}]

Ermittlung des Beiwertes k

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.

k={\underline {1,0}}

Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmodul

E_{c,t}=\alpha _{E}\cdot E_{cm}

Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmodulen wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

t_{maxT}=1+0,8\cdot h=1+0,8\cdot 0,3=1,24Tage\approx 30Stunden

Verhältniswert $\alpha _{E}$ ^{[F 1]}
	Betonalter	Verhältniswert $\alpha _{E}=E_{c,t}/E_{cm}$
	1	2
1	12 Stunden	0,25
2	16 Stunden	0,45
3	24 Stunden	0,65
4	48 Stunden	0,85
5	14 Tage	1

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

\alpha _{E}=0,65+6\cdot {\cfrac {0,85-0,65}{48-24}}=0,7

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

E_{c,t}=31.000\cdot 0,7={\underline {21.700N/mm^{2}}}

Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte

\Delta T_{b,W-F}=T_{b,m}-T_{F}

T_{b,m}=k_{Tv}\cdot T_{c0}\cdot \Delta T_{b,H}

\Delta T_{b,H}={\cfrac {\alpha _{b}\cdot z\cdot Q_{H}}{C_{c0}}}

Der Verhältniswert $\alpha _{b}$ ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

Verhältniswert $\alpha _{b}$ ^{[F 1]}
	Bauteildicke h [m]	Verhältniswert $\alpha _{b}=\Delta T_{b,H}/\Delta T_{th}$
	1	2
1	0,25	0,65
2	0,40	0,75
3	0,60	0,80
4	0,80	0,85
5	1,00	0,90
6	2,00	1,00

\alpha _{b}=0,65+0,05\cdot {\cfrac {0,75-0,65}{0,40-0,25}}=0,68

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

\Delta T_{b,H}={\cfrac {0,68\cdot 350\cdot 175}{2500}}=16,66K

.

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand zu

T_{b.m}=0,5\cdot 18+16,66=25,66K

.

Die Temperaturdifferenz beträgt damit

\Delta T_{b,W-F}=25,66+15={\underline {30,66K}}

.

Quellen

Normen

↑ Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Kommentierte und konsoldierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016

Fachliteratur

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017

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Status: Seite in Bearbeitung

[N1-2] Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Kommentierte und konsoldierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016

[F1-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017

[F 1]

[N 1]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

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