Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung

Aufgabenstellung

Ansicht und Schnitt der Wand

Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden.
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1 und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" empfohlen.
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann.
Im Anschluss dieser Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" durchgeführt.

Vorgaben

Wandabmessungen L / H / h:	4,70 / 2,50 / 0,30 m
Expositionsklasse:	XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
Betonfestigkeitsklasse:	C25/30
Betonzugfestigkeit:	fctm = 2,6 N/mm2
Bewehrung aus der Statik:	ø = 12 , s = 15cm
	aS,1 = aS,2 = 7,54 cm2/m
Betondeckung:	cv = cnom = 25+15 = 40mm
Elastizitätsmodul des Beton	Ecm = 31.000 N/mm2
Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons	αT = 10 ∙ 10-6 1/K
Wärmekapazität des Betons	Cc0 = 2.500 kJ/(m3K)
Temperatur der Sohlplatte	TF = 15°C
Frischbetontemperatur	Tc0 = 18°C
Zementmenge	z = 350 kg/m3
Hydratationswärme des Zementes	QH = 175 kJ/kg

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden.
Es ist nur die Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

Lösung

Ermittlung der zulässigen Rissbreite

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben.
Somit beträgt die zulässige Rissbreite

$w_k=\underset{\_}{0,3mm}$.

zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1

	1	2	3	4	5
	Expositionsklasse	Konstruktion
		Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund	Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund	Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
		Einwirkungskombination
		quasi-ständig	häufig	häufig	selten
1	X0, XC1	0,4${a)}^{}$	0,2	0,2	-
2	XC2, XC3, XC4	0,3	0,2${b),c)}^{}$	0,2${b)}^{}$
3	XS1, XS2, XS3 XD1, XD2, XD3${d)}^{}$			Dekompression	0,2
${a)}^{}$Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dient im Allgemeinen nur des Erscheinungsbildes. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. ${b)}^{}$Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. ${c)}^{}$Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. ${d)}^{}$Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.

Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung

${\sigma }_{ct,cal}=k\cdot {\alpha }_T\cdot E_{c,t}\cdot \mathrm{\Delta }{T}_{b,W-F}$ $[N/m{m}^2]$

Ermittlung des Beiwertes k

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.

$k=\underset{\_}{1,0}$

Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmodul

$E_{c,t}={\alpha }_E\cdot E_{cm}$

Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmodulen wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

$t_{maxT}=1+0,8\cdot h=1+0,8\cdot 0,3=1,24Tage\approx 30Stunden$

Verhältniswert α_E

	1	2
	Betonalter	Verhältniswert αE = Ec,t / Ecm
1	12 Stunden	0,25
2	16 Stunden	0,45
3	24 Stunden	0,65
4	48 Stunden	0,85
5	14 Tage	1

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

${\alpha }_E=0,65+6\cdot \frac{0,85-0,65}{48-24}=0,7$

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

$E_{c,t}=31.000\cdot 0,7=\underset{\_}{21.700N/m{m}^2}$

Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte

$\mathrm{\Delta }{T}_{b,W-F}=T_{b,m}-T_F$

$T_{b,m}=k_{Tv}\cdot T_{c0}\cdot \mathrm{\Delta }{T}_{b,H}$

$\mathrm{\Delta }{T}_{b,H}=\frac{{\alpha }_b\cdot z\cdot Q_H}{C_{c0}}$

Der Verhältniswert ${\alpha }_b$ ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

Verhältniswert α_b

	1	2
	Bauteildicke h [m]	Verhältniswert αb = ΔTb,H / ΔTth
1	0,25	0,65
2	0,40	0,75
3	0,60	0,80
4	0,80	0,85
5	1,00	0,90
6	2,00	1,00

${\alpha }_b=0,65+0,05\cdot \frac{0,75-0,65}{0,40-0,25}=0,68$

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

$\mathrm{\Delta }{T}_{b,H}=\frac{0,68\cdot 350\cdot 175}{2500}=16,66K$.

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand zu mit

$k_{Tv}=0,5$ für h < 0,5 m

zu

$T_{b.m}=0,5\cdot 18+16,66=25,66K$.

Die Temperaturdifferenz beträgt damit

$\mathrm{\Delta }{T}_{b,W-F}=25,66-15=\underset{\_}{10,66K}$.

Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung

${\sigma }_{ct,cal}=1,0\cdot 10\cdot 10^{-6}\cdot 21.700\cdot 10,66=2,3N/m{m}^2$

Ermittlung des Bemessungswert der Betonzugspannungen

${\sigma }_{ct,d}=k_{ct,d}\cdot {\sigma }_{ct,cal}$

Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe von

$\frac{L}{H}=\frac{4,70}{2,50}=1,88$

ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von

$k_{ct,d}=0,35+0,88\cdot \frac{0,5-0,35}{2-1}=0,48$.

Beiwert $k_{ct,d}$

	1	2
	Verhältnis L/H ${a)}^{}$	Beiwert $k_{ct,d}$
1	$\le 1$	$\approx 0,35$
2	$\le 2$	$\approx 0,50$
3	$\le 3$	$\approx 0,60$
4	$\le 4$	$\approx 0,70$
5	$\le 6$	$\approx 0,85$
6	$\le 8$	$\approx 0,95$
7	$\le 10$	$\approx 1,00$
8	$>10$	$=1,00$
${a)}^{}$ Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H

Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu

${\sigma }_{ct,d}=0,48\cdot 2,3=\underset{\_}{1,1N/m{m}^2}<f_{ct,eff}=0,65\cdot 2,6=1,7N/m{m}^2$.

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen durchgeführt werden.

Abschätzen der erforderlichen Bewehrung

Festigkeits-Zeitbeiwert

Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrische Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme

${\beta }_{ct,vorh}=\frac{{\sigma }_{ct,d}}{f_{ctm}}=\frac{1,1}{2,6}=\underset{\_}{0,4}$

Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm

Bewehrung aus dem Diagramm:	$a_{S,o,Diagr}=a_{S,u,Diagr}\approx 10,0c{m}^2/m$
mit	${\beta }_{ct,Diagr}=0,5$
	$c_{v,Diagr}=40mm$
	$w_{k,Diagr}=0,2mm$

$a_S\approx a_{S,Diagr}\cdot \sqrt{\frac{{\beta }_{ct,vorh}\cdot c_{v,vorh}\cdot w_{k,Diagr}}{{\beta }_{ct,Diagr}\cdot c_{v,Diagr}\cdot w_{k,vorh}}}=10,0\cdot \sqrt{\frac{0,4\cdot 40\cdot 0,2}{0,5\cdot 40\cdot 0,3}}=\underset{\_}{7,30c{m}^2/m}$

Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

Betondeckung und statische Nutzhöhe

$c_v=c_{nom}=40mm$ (aus der Statik)

$d_1=40+\frac{12}{2}=46mm=\underset{\_}{4,6cm}$

$d=h-d_1=30-4,6=25,4cm$

Wirkungstiefe der Bewehrung

$a_{c,eff}=2\cdot b\cdot h_{c,ef}$	mit $b=100cm/m$
$\frac{h}{d_1}=\frac{30}{4,6}=6,5$	$>5,0$
	$<30,0$
$h_{c,ef}=0,1\cdot h+2,0\cdot d_1=0,1\cdot 30+2,0\cdot 4,6=12,2cm$	$<\frac{h}{2}=\frac{30}{2}=15,0cm$

$a_{c,eff}=2\cdot 100\cdot 12,2=\underset{\_}{2440c{m}^2/m}$

Ermittlung der Beiwerte

$k_c=1,0$	für reinen Zug
Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
$k=0,8$	Die Querschnittshöhe h beträgt 30 cm.

Ermittlung des Grenzdurchmessers

${\varnothing }_S^{*}={\varnothing }_S\cdot \frac{f_{ct,0}}{{\sigma }_{ct,d}}=12\cdot \frac{2,9}{1,1}=32mm$

${\varnothing }_S^{*}={\varnothing }_S\cdot \frac{8\cdot (h-d)}{k\cdot k_c\cdot h_{cr}}\cdot \frac{f_{ct,0}}{{\sigma }_{ct,d}}$	mit $(h-d)=d_1$
	und $h_{cr}=\frac{h}{2}=\frac{30}{2}=15,0cm$

${\varnothing }_S^{*}=12\cdot \frac{8\cdot 4,6}{0,8\cdot 1,0\cdot 15}\cdot \frac{2,9}{1,1}=97mm$

Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt

${\varnothing }_S^{*}=\underset{\_}{32mm}$.

Ermittlung der Stahlspannung

${\sigma }_S=\sqrt{\frac{6\cdot w_k\cdot E_S\cdot f_{ct,0}}{{\varnothing }_S^{*}}}$	mit $E_S=200.000N/m{m}^2$
	und $f_{ct,0}=2,9N/m{m}^2$

${\sigma }_S=\sqrt{\frac{6\cdot 0,3\cdot 200.000\cdot 2,9}{32}}=\underset{\_}{180,6N/m{m}^2}$

Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

$a_{S,min}$	$=\frac{k\cdot k_c\cdot a_{ct}\cdot {\sigma }_{ct,d}}{{\sigma }_S}$
	$=\frac{0,8\cdot 1,0\cdot 30\cdot 100\cdot 1,1}{180,6}$
	$=14,62c{m}^2/m$

$a_{S,min}$	$=\frac{a_{ct,eff}\cdot {\sigma }_{ct,d}}{{\sigma }_S}$	$\ge \frac{k\cdot a_{ct}\cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}}$
	$=\frac{2440\cdot 1,1}{180,6}$	$\ge \frac{0,8\cdot 30\cdot 100\cdot 1,1}{500}$
	$=14,86c{m}^2/m$	$>5,28c{m}^2/m$

Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen

$\underset{\_}{14,62c{m}^2/m}$

eingelegt werden.

Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung

Bewehrungsanordnung in der Wand

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet.

$a_{S,o}=a_{S,u}=\frac{14,62}{2}=7,31c{m}^2/m\approx 7,30c{m}^2/m$

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer ist als die statisch erforderliche Bewehrung, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

$a_{S,o}=a_{S,u}=7,31c{m}^2/m<7,54c{m}^2/m$

Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)"

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.

$a_{S,min}=14,62c{m}^2/m<16,94c{m}^2/m$

Quellen

Normen

Fachliteratur

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