Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung

Aufgabenstellung

Ansicht und Schnitt der Wand

Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden.
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1^{[N 1]} und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" ^{[F 1]} empfohlen.
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann.
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" durchgeführt.

Vorgaben

Wandabmessungen L / H / h:	4,70 / 2,50 / 0,30 m
Expositionsklasse:	XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
Betonfestigkeitsklasse:	C25/30
Betonzugfestigkeit:	f_ctm = 2,6 N/mm²
Bewehrung aus der Statik:	ø = 12 , s = 15 cm
	a_S,1 = a_S,2 = 7,54 cm²/m
Betondeckung:	c_v = c_nom = 25 + 15 = 40 mm
Elastizitätsmodul des Betons:	E_cm = 31.000 N/mm²
Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons:	α_T = 10 ∙ 10^-6 1/K
Wärmekapazität des Betons:	C_c0 = 2.500 kJ/(m³K)
Temperatur der Sohlplatte:	T_F = 15°C
Frischbetontemperatur:	T_c0 = 18°C
Zementmenge:	z = 350 kg/m³
Hydratationswärme des Zementes:	Q_H = 175 kJ/kg

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden.
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

Lösung

Ermittlung der zulässigen Rissbreite

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben.
Somit beträgt die zulässige Rissbreite

w_{k}={\underline {0,3mm}}

.

zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1 ^{[N 1]}
	Expositionsklasse	Konstruktion
	1	2	3	4	5
		Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund	Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund	Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
		Einwirkungskombination
		quasi-ständig	häufig	häufig	selten
1	X0, XC1	0,4^a)	0,2	0,2	-
2	XC2, XC3, XC4	0,3	0,2^b),c)	0,2^b)	-
3	XS1, XS2, XS3 XD1, XD2, XD3^d)	0,3	0,2^b),c)	Dekompression	0,2
^a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. ^b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. ^c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. ^d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.

Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung

\sigma _{ct,cal}=k\cdot \alpha _{T}\cdot E_{c,t}\cdot \Delta T_{b,W-F}

[N/mm^{2}]

Ermittlung des Beiwertes k

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle k={\underline {1,0}}}

Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle E_{c,t}=\alpha _{E}\cdot E_{cm}}

Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmoduln wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle t_{maxT}=1+0,8\cdot h=1+0,8\cdot 0,3=1,24Tage\approx 30Stunden}

Verhältniswert α_E ^{[F 1]}
	Betonalter	Verhältniswert α_E = E_c,t / E_cm
	1	2
1	12 Stunden	0,25
2	16 Stunden	0,45
3	24 Stunden	0,65
4	48 Stunden	0,85
5	14 Tage	1

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \alpha _{E}=0,65+6\cdot {\cfrac {0,85-0,65}{48-24}}=0,7} .

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} } .

Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta T_{b,W-F} = T_{b,m} - T_F }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{b,m} = k_{Tv} \cdot T_{c0} \cdot \Delta T_{b,H} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} }

Der Verhältniswert α_b ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

Verhältniswert α_b ^{[F 1]}
	Bauteildicke h [m]	Verhältniswert α_b = ΔT_b,H / ΔT_th
	1	2
1	0,25	0,65
2	0,40	0,75
3	0,60	0,80
4	0,80	0,85
5	1,00	0,90
6	2,00	1,00

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 } .

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K} .

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_{Tv} = 0,5 } für h < 0,5 m

zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K } .

Die Temperaturdifferenz beträgt somit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} } .

Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 }

Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} }

Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 }

ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_{ct,d} = 0,35 + 0,88 \cdot \cfrac{0,5 - 0,35}{2 - 1} = 0,48 } .

Beiwert k_ct,d ^{[F 1]}
	Verhältnis L/H ^a)	Beiwert k_ct,d
	1	2
1	≤ 1	≈ 0,35
2	≤ 2	≈ 0,50
3	≤ 3	≈ 0,60
4	≤ 4	≈ 0,70
5	≤ 6	≈ 0,85
6	≤ 8	≈ 0,95
7	≤ 10	≈ 1,00
8	> 10	= 1,00
^a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H

Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 } .

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σ_ct,d durchgeführt werden.

Abschätzen der erforderlichen Bewehrung

Festigkeits-Zeitbeiwert

Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrische Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme ^{[F 1]}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} }

Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm

Bewehrung aus dem Diagramm:	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 10,0 cm^2/m }
mit	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta_{ct,Diagr} = 0,5 }
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{v,Diagr} = 40mm }
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w_{k,Diagr} = 0,2mm}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_s \approx a_{S,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 10,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,4 \cdot 40 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{7,30 cm^2/m} }

Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

Betondeckung und statische Nutzhöhe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_v = c_{nom} = 40mm } (aus der Statik)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm }

Wirkungstiefe der Bewehrung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} }	mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = 100 cm/m }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle >5,0 }
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle <30,0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} }

Ermittlung der Beiwerte

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_c = 1,0 }	für reinen Zug
Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k = 0,8 }	Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.

Ermittlung des Grenzdurchmessers

Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung^{[F 2]}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} }	mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (h-d) = d_1 }
	und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm}

Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varnothing_S^* = \underline{32mm} } .

Ermittlung der Stahlspannung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } }	mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_S = 200.000 N/mm^2 }
	und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180,62 N/mm^2} }

Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1^{[N 1]} angegebenen Tabelle abgelesen werden.

Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{s,min} }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} }
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180,62} }
	$=14,62cm^{2}/m$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{s,min} }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} }
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180,62} }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{500} }
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 14,86 cm^2/m }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle > 5,28 cm^2/m }

Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{14,62 cm^2/m} }

eingelegt werden.

Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung

Bewehrungsanordnung in der Wand

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{14,62}{2} = 7,31 cm^2/m \approx 7,30 cm^2/m}

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{s,o} = a_{s,u} = 7,31 cm^2/m < 7,54 cm^2/m}

Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)"

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{S,min} = 14,62cm^2/m < 17,86 cm^2/m }

Quellen

Fachliteratur

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017
↑ Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016

Normen

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016

[F1-2] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017

[F2-3] Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016

[N1-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016

[N 1]

[F 1]

[F 2]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

Inhaltsverzeichnis

Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung

Aufgabenstellung

Vorgaben

Lösung

Ermittlung der zulässigen Rissbreite

Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung

Ermittlung des Beiwertes k

Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls

Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte

Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung

Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen

Abschätzen der erforderlichen Bewehrung

Festigkeits-Zeitbeiwert

Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm

Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

Betondeckung und statische Nutzhöhe

Wirkungstiefe der Bewehrung

Ermittlung der Beiwerte

Ermittlung des Grenzdurchmessers

Ermittlung der Stahlspannung

Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung

Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)"

Quellen

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