Biegebemessung (einachsige Biegung): Unterschied zwischen den Versionen

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Ziel der Bemessung bzw. des Nachweises eines überwiegend beanspruchten Bauteils ist nachzuweisen, dass der Querschnitt die äußeren Schnittgrößen (<math>M_{Ed}</math> und <math>N_{Ed}</math>) im Grenzzustand der Tragfähigkeit aufnehmen kann. Bei der Bemessung wird das aufnehmbare Moment durch die Veränderung der Bewehrungsquerschnittsfläche an die vorhandenen äußeren Schnittgrößen angepasst. Beim Nachweis eines biegebeanspruchten Bauteils wird für eine gegebene Bewehrung überprüft, ob die aufnehmbaren Schnittgrößen die einwirkenden Schnittgrößen übersteigt. <br />
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Ziel der Bemessung bzw. des Nachweises eines [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/%C3%9Cberwiegend_biegebeanspruchter_Querschnitt überwiegend beanspruchten Bauteils] ist nachzuweisen, dass der Querschnitt die äußeren Schnittgrößen (<math>M_{Ed}</math> und <math>N_{Ed}</math>) im Grenzzustand der Tragfähigkeit aufnehmen kann. Bei der Bemessung wird das aufnehmbare Moment durch die Veränderung der Bewehrungsquerschnittsfläche an die vorhandenen äußeren Schnittgrößen angepasst. Beim Nachweis eines biegebeanspruchten Bauteils wird für eine gegebene Bewehrung überprüft, ob die aufnehmbaren Schnittgrößen die einwirkenden Schnittgrößen übersteigt. <br />
 
<br />
 
<br />
 
<math> M_{Ed}\leq M_{Rd} \qquad\qquad N_{Ed}\leq N_{Rd} </math>
 
<math> M_{Ed}\leq M_{Rd} \qquad\qquad N_{Ed}\leq N_{Rd} </math>
 
<br />
 
<br />
 +
wobei:
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:{|
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|-
 +
| <math> M_{Ed} </math> … || einwirkendes Moment
 +
|-
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| <math> N_{Ed} </math> … || einwirkende Normalkraft
 +
|-
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| <math> M_{Rd} </math> … || aufnehmbares Moment
 +
|-
 +
| <math> N_{Rd} </math> … || aufnehmbare Normalkraft
 +
|}</li>
 +
<br />   
  
 
=Tragverhalten=
 
=Tragverhalten=
 
==Dehnungsbereiche==
 
==Dehnungsbereiche==
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Beeinflusst wird die Tragfähigkeit von Biegebauteilen durch die Festigkeiten von Stahl und Beton sowie durch die Querschnittswerte (Breite, Höhe und Form der Druckzone, statische Nutzhöhe, Bewehrungsquerschnittsfläche).
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Beeinflusst wird die Tragfähigkeit von Biegebauteilen durch die Festigkeiten von Stahl und Beton, deren Zusammenhang mit den Dehnungswerten sowie durch die Querschnittswerte (Breite, Höhe und Form der Druckzone, statische Nutzhöhe, Bewehrungsquerschnittsfläche).
  
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Die Bemessung im Grenzzustand setzt voraus, dass die Bruchdehnung der Bewehrung oder des Betons überschritten wird und dementsprechend ein Stahl- oder Betonversagen eintritt (vgl. Bild… und Bild …). Abhängig von der Beton- und Stahldehnung können dabei fünf Dehnungsbereiche unterschieden werden:
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Die Bemessung im Grenzzustand setzt voraus, dass die Bruchdehnung der Bewehrung oder des Betons überschritten wird und dementsprechend ein Stahl- oder Betonversagen eintritt. Abhängig von der Beton- und Stahldehnung können dabei fünf Dehnungsbereiche unterschieden werden<ref Name = "Q1">Wommelsdorff,O., Albert,A., Fischer,J., Stahlbetonbau-Bemessung und Konstruktion Teil 1, 11. Auflage, Köln: Bundesanzeiger Verlag, 2017</ref>:
  
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'''Dehnungsbereiche 1:'''
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[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)2.png|right|thumb|500px|Dehnungsbereiche]]
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Im gesamten treten ausschließlich Zugdehnungen auf. Die Bewehrung erreicht ihre Bruchdehnung von 25\textperthousand, das Versagen findet durch das Versagen der Bewehrung statt. Da vor dem Versagen die Fließgrenze überschritten wird, findet eine Ankündigung des Versagens durch breite Risse statt.
 
  
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Dehnungsbereiche 2:
+
<ul>
−
Die Grenzdehnung der Zugbewehrung wird erreicht, in der Druckzone sind noch Tragreserven vorhanden. Das Versagen findet durch Versagen der Zugbewehrung mit Vorankündigung statt.
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<li>'''Dehnungsbereiche 1:'''
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Im gesamten Querschnitt treten ausschließlich Zugdehnungen auf. Die Bewehrung erreicht ihre Bruchdehnung von 25&permil;, das Versagen findet durch das Versagen der Bewehrung statt. Da vor dem Versagen die Fließgrenze überschritten wird, findet eine Ankündigung des Versagens durch breite Risse statt.<br />
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<math> \varepsilon_o>0 </math> <br />
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<math> \varepsilon_u>0 </math>
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<br />
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wobei:
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:{|
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|-
 +
| <math> \varepsilon_o </math> … || untere Randspannung
 +
|-
 +
| <math> \varepsilon_u </math> … || obere Randspannung
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|}</li>
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<br />     
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<li>'''Dehnungsbereiche 2:'''
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Die Grenzdehnung der Zugbewehrung wird erreicht, in der Druckzone sind noch Tragreserven vorhanden. Das Versagen findet durch Versagen der Zugbewehrung mit Vorankündigung statt.<br />
 +
<br />
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<math> \varepsilon_{s1}=\varepsilon_{su} </math> <br />
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<math> 0>\varepsilon_c>\varepsilon_{c2u} </math></li> 
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<br />
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wobei:
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:{|
 +
|-
 +
| <math> \varepsilon_{s1} </math> … || vorhandene Stahlsdehnung
 +
|-
 +
| <math> \varepsilon_{su} </math> … || Bruchdehnung des Stahls
 +
|-
 +
| <math> \varepsilon_{c} </math> … || vorhandene Betondehnung
 +
|-
 +
| <math> \varepsilon_{c2u} </math> … || Bruchstauchung des Betons
 +
|}</li>
 +
<br />     
 +
<li>'''Dehnungsbereiche 3:'''
 +
Die Fließgrenze des Stahls wird überschritten, die Bruchdehnung der Bewehrung wird aber nicht erreicht. Die Bruchdehnung der Betondruckzone wird erreicht. Das Versagen findet durch das Versagen der Betondruckzone statt. Trotz des Betonversagens findet eine Versagensankündigung statt, da der Stahl vor dem Bruch plastizieren kann.<br />
 +
<br />
 +
<math> \varepsilon_{su}>\varepsilon_{s1}>\varepsilon_{y} </math> <br />
 +
<math> \varepsilon_c=\varepsilon_{c2u} </math></li> 
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> \varepsilon_{y} </math> … || Stahldehnung an der Fließgrenze
 +
|}</li>
 +
<br />   
 +
<li>'''Dehnungsbereiche 4:'''
 +
Der Stahl erreicht die Fließgrenze nicht, die Bruchdehnung des Betons wir überschritten. Die maßgebende Versagensart ist das Betonversagen, da die Stahldehnung unter der Fließgrenze bleibt, findet keine Vorankündigung des Versagens statt. Da wegen der geringen Stahldehnung nicht die volle Zugfestigkeit des Stahls aktiviert wird, ergibt die Bemessung in diesem Bereich große, unwirtschaftliche Bewehrungsquerschnittsflächen <ref name = "Q2"></ref>.<br /><br />
 +
<math> \varepsilon_{y}>\varepsilon_{s1}</math> <br />
 +
<math> \varepsilon_c=\varepsilon_{c2u} </math></li> 
 +
<br />
 +
<li>'''Dehnungsbereiche 5:'''
 +
Im gesamten Querschnitt treten nur Druckbeanspruchungen auf. Das Versagen findet durch Versagen des Betons ohne Vorankündigung statt.<br />
 +
<br />
 +
<math> \varepsilon_o<0 </math> <br />
 +
<math> \varepsilon_u<0 </math></li>
 +
<br /> 
 +
</ul>
 +
Für überwiegend biegebeanspruchte Bauteile sind die Dehnungsbereiche 2 bis 4 relevant. Querschnitt im Dehnungsbereich 1 und 5 sind [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/%C3%9Cberwiegend_l%C3%A4ngskraftbeanspruchter_Querschnitt überwiegend längskraftbeansprucht]. Bei der Bemessung ist stets ein Versagen mit Vorankündigung anzustreben, die Querschnitte sollten sich dementsprechend in den Dehnungsbereichen 2 oder 3 befinden.
  
−
Dehnungsbereiche 3:
+
==Spannungsdehnungslinie==
−
Die Fließgrenze des Stahls wird überschritten, die Bruchdehnung der Bewehrung wird aber nicht erreicht. Die Bruchdehnung der Betondruckzone wird erreicht. Das Versagen findet durch das Versagen der Betondruckzone statt. Trotz des Betonversagens findet eine Versagensankündigung statt, da der Stahl vor dem Bruch plastizieren kann.
+
[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)4.png|right|thumb|300px|Dehnungsverteilung im Zustand I und II]]
 +
Unter der Voraussetzung, dass sich der Querschnitt in einem der Dehnungsbereiche 1 bis 3 befindet, kann die Spannungs-Dehnungs-Linie von biegebeanspruchten Stahlbetonbauteilen wie auch die für solche unter Zugbeanspruchung in verschiedene Bereiche bzw. Zustände eingeteilt werden:
  
−
Dehnungsbereiche 4:
+
<ul>
−
Der Stahl erreicht die Fließgrenze nicht, die Bruchdehnung des Betons wir überschritten. Die maßgebende Versagensart ist das Betonversagen, da die Stahldehnung unter der Fließgrenze bleibt, findet keine Vorankündigung des Versagens statt. Da wegen der geringen Stahldehnung nicht die volle Zugfestigkeit des Stahls aktiviert wird, ergibt die Bemessung in diesem Bereich große, unwirtschaftliche Bewehrungsquerschnittsflächen.
+
<li>'''Zustand I:''' In diesem Zustand ist der Beton noch ungerissen, die Betonzugfestigkeit wurde noch in keinem Punkt überschritten, er endet mit der erstmaligen Überschreitung der Betonzugfestigkeit und somit mit der Entstehung des Erstrisses. Im Zustand I spielt die Bewehrung, wegen der geringen Dehnung, welche auch nur eine geringe Zugfestigkeit bewirkt, noch keine Rolle. Das Elastizitätsmodul entspricht dem des Betons.</li>
 +
<li>'''Zustand IIa:''' Dies ist der Bereich, in dem die Rissbildung stattfindet. Er endet, wenn die Rissabstände so gering sind, dass die Zugfestigkeit des Betons zwischen den Rissen nicht mehr überschritten wird. In der Zugzone des Rissquerschnitts beteiligt sich der Beton nicht mehr am Lastabtrag. Die Rissbildung ist mit einem Steifigkeitsabfall verbunden.</li>
 +
<li>'''Zustand IIb:''' Die Rissbildung ist abgeschlossen, bei zunehmender Stahlspannung treten keine neuen Risse mehr auf. Die mit der zunehmenden Stahlspannung verbundenen Stahldehnungen führen zu einer Verbreiterung der vorhandenen Risse. Zustand II a endet, wenn die Fließgrenze des Stahls erreicht wird.</li>
 +
<li>'''Zustand III:''' Der Stahl beginnt nach der Überschreitung der Fließgrenze zu plastizieren. Es findet noch eine leichte Steigerung der Stahlspannungen statt. Zustand III endet mit dem Versagen der Bewehrung (Dehnungsbereich 1 und 2) oder der Betondruckzone (Dehnungsbereich 3).</li>
 +
</ul>
  
−
Dehnungsbereiche 5:
+
Befindet sich der Querschnitt im Dehnungsbereich 4 gelten die gleichen Beziehungen abgesehen davon, dass Zustand III entfällt, da vor der Erreichung der Fließgrenze des Stahls das Betonversagen stattfindet.
−
Im gesamten Querschnitt treten nur Druckbeanspruchungen auf. Das Versagen findet durch Versagen des Betons ohne Vorankündigung statt.
 
  
−
Für überwiegend biegebeanspruchte Bauteile sind die Dehnungsbereiche 2 bis 4 relevant. Querschnitt im Dehnungsbereich 1 und 5 sind überwiegend längskraftbeansprucht. Bei der Bemessung ist stets ein Versagen mit Vorankündigung anzustreben, die Querschnitte sollten sich dementsprechend in den Dehnungsbereichen 2 oder 3 befinden.
+
Im Zustand I sind die Spannungen noch linear über den Querschnitt verteilt, eine geschlossene Ermittlung der inneren Schnittgrößen ist daher möglich. Im Zustand II und III sind die Spannungen nicht mehr linear über den Querschnitt verteilt; in der Zugzone wird die Betonspannung null, da die Bemessung im Rissquerschnitt stattfindet. Außerdem wird die Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons wegen der höheren Dehnungen nichtlinear<ref Name = "Q2">Zilch,K., Zehetmaier,G., Bemessung im konstruktiven Betonbau, 2. Auflage, Berlin/Heidelberg: Springer Verlag, 2006</ref>.
  
 +
==Sicherstellung der Duktilität==
  
−
Die Biegebemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit hat die Aufgaben,
+
Um eine ausreichende Versagensankündigung zu garantieren, ist sicherzustellen, dass die bei der Rissbildung freiwerdenden Zugkräfte durch die Zugbewehrung ohne schlagartiges Versagen aufgenommen werden können. Dies wird durch die Anordnung einer Mindestbewehrung sichergestellt.
  
−
*nachzuweisen, dass der vorab gewählte Betonquerschnitt in der Lage ist die vorhandenen Druckspannungen aufzunehmen und  
+
Außerdem ist sicherzustellen, dass die Stahldehnung zum Versagenszeitpunkt über der Fließgrenze liegt. Hierfür ist die Druckzonenhöhe zu begrenzen. Wenn die Betonstauchung am oberen Rand der Bruchstauchung des Betons entspricht, findet eine Erhöhung der aufnehmbaren Betondruckkraft nur noch durch die Vergrößerung der Druckzone statt<ref name = "Q2"></ref>, hierdurch sinkt der Hebelarm der inneren Kräfte. Aufgrund der linearen Dehnungsverteilung über die Querschnittshöhe nimmt außerdem mit steigender Druckzonenhöhe x die Dehnung der Zugbewehrung ab. Wenn die Stahldehnung der Zugbewehrung dabei unter die Fließgrenze fällt, kommt es zu unwirtschaftlichen Bemessungsergebnissen und zu einem Versagen ohne Vorankündigung.
  
−
*die erforderliche Stahlquerschnittsfläche der Biegezugbewehrung an den Stellen der maximalen Biegebeanspruchung zu bestimmen.
+
Der theoretische Wert der bezogenen Druckzonenhöhe, bei dem die Dehnung der Zugbewehrung die Fließgrenze noch geradeso erreicht, beträgt x/d=0,617. Gemäß DIN EN 1992-1-1/NA 5.4<ref Name = "Q3">DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013</ref> sollte x/d für normalfeste Beton kleiner 0,45 und für hochfeste Betone kleiner 0,35 sein.
  
 +
Um die bezogene Druckzonenhöhe zu begrenzen, gibt es zwei Möglichkeiten. Die erste Möglichkeit ist eine Verbreiterung der Druckzone (vgl. [[Biegebemessung überwiegend biegebeanspruchter Bauteile (einachsige Biegung)#Plattenbalken|Plattenbalken]]), die zweite die Anordnung von Druckbewehrung (vgl. [[Biegebemessung überwiegend biegebeanspruchter Bauteile (einachsige Biegung)#Druckbewehrung|Druckbewehrung]]).
  
−
Um eine Bemessung des Querschnitts im Grenzzustand der Tragfähigkeit zu ermöglichen, werden im Voraus folgende grundlegende Annahmen getroffen:<ref Name = "Name der Quelle">Schneider Bautabellen für Ingenieure, 20. Auflage, Köln: Werner Verlag, 2012</ref><br />
+
=Bemessung=
 +
[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)3.png|right|thumb|300px|Darstellung der relevanten Kräfte und geometrischen Größen für die Bemessung]]
 +
Die Biegebemessung erfolgt für Bauteile im Zustand II im Rissquerschnitt<ref Name = "Q4"></ref>. Eine geschlossene Lösung ist wegen der Nichtlinearität im Zustand II nicht mehr möglich. Aus demselben Grund ist auch die getrennte Bemessung für Normalkraft und Momente ausgeschlossen, da die Superposition der Auswirkung beider Lastfälle nicht mehr möglich ist<ref name = "Q2"></ref>.
  
−
*Querschnitte, die vor der Verformung eben waren, bleiben eben (Bernoulli Hypothese)
+
==Vorbemessung==
 +
Da für die Bemessung die [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Statische_Nutzh%C3%B6he statische Nutzhöhe] bekannt sein muss, welche wiederum abhängig von der Geometrie und Anordnung der Bewehrung ist, ist eine Vorbemessung der Bewehrung erforderlich, diese kann mit den folgenden Gleichungen erfolgen.
  
 +
<math>A_{s,est}=\frac{M_{Eds,est}}{f_{yd}\cdot z_{est}}+\frac{N_{Ed}}{f_{yd}}</math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> A_{s,est} </math> … || geschätzte Bewehrungsquerschnittsfläche
 +
|-
 +
| <math> M_{Eds,est} </math> … || geschätztes auf die Schwerelinie der Bewehrung bezogenes Bemessungsmoment
 +
|-
 +
| <math> f_{yd} </math> … || Bemessungsfestigkeit des Stahls
 +
|-
 +
| <math> z_{est} </math> … || geschätzter Hebelarm der inneren Kräfte
 +
|}</li>
 +
<br />   
  
−
*Es liegt vollkommener Verbund vor, das heißt die Dehnungen des Betons entsprechen den Dehnungen des Betonstahls
+
mit:
  
 +
<math>M_{Eds,est}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1,est}</math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> z_{s1,est} </math> … || geschätzte Abstand der Schwerelinie der Bewehrung von der des Querschnitts
 +
|}</li>
 +
<br />   
  
−
*Die Zugfestigkeit des Betons darf im Grenzzustand der Tragfähigkeit nicht berücksichtigt werden, das heißt sämtliche Zugkräfte müssen durch den Betonstahl aufgenommen werden
+
Anhaltswerte für <math>z_{est}</math> und <math>z_{s1,est}</math> ergeben sich wie folgt:
  
 +
<table>
 +
  <tr>
 +
    <td>Platten und Balken</td>
 +
    <td><math>\qquad\qquad\qquad z_{est}=0,75\cdot h\qquad\qquad\qquad</math></td>
 +
    <td><math>\qquad\qquad\qquad z_{s1,est}=0,4\cdot h\qquad\qquad\qquad</math></td>
 +
  </tr>
 +
  <tr>
 +
    <td>Plattenbalken</td>
 +
    <td><math>\qquad\qquad\qquad z_{est}=0,80\cdot h\qquad\qquad\qquad</math></td>
 +
    <td><math>\qquad\qquad\qquad z_{s1,est}=0,8\cdot z_{I,c1}\qquad\qquad\qquad</math></td>
 +
  </tr>
 +
</table>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> h </math> … || Querschnittshöhe
 +
|-
 +
| <math> z_{I,c1}</math> … || Abstand der Schwerelinie vom Zugrand im Zustand I
 +
|}</li>
 +
<br />   
  
−
*Für die Spannungs-Stauchungs- Verknüpfung im Beton gilt im Regelfall folgendes vereinfachtes Diagramm:
+
Ergibt sich nach der Bemessung eine Abweichung der tatsächlichen statischen Nutzhöhe von der aus der Vorbemessung, ist die Bemessung mit der neuen statischen Nutzhöhe zu wiederholen. Darauf kann verzichtet werden, wenn die statisch Nutzhöhe größer wird, da das Bemessungsergebnis dann auf der sicheren Seite liegt.
  
−
:::[[Datei:Spannung Beton.PNG]]
+
==äußere Schnittgrößen==
 +
In der Regel ist es sinnvoll die äußeren Schnittgrößen auf die Schwerelinie der Bewehrung zu beziehen. Verschiebt man die Normalkraft für die Bemessung gedanklich auf die Schwerelinie der Bewehrung, ist dies auch beim einwirkdenden Moment zu berücksichtigen.
  
−
Gilt für Betone der Festigkeitsklasse bis C50/60 bzw. Leichtbetone bis C50/55
+
<math> M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1} </math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> M_{Eds} </math> … || auf die Schwerelinie der Bewehrung bezogenes Bemessungsmoment
 +
|-
 +
| <math> z_{s1}</math> … || Hebelarm der inneren Kräfte
 +
|}</li>
 +
<br />   
  
 +
==Grundsätzliche Annahmen==
  
−
*Die Spannungs-Dehnungs/Stauchungs-Verhältnisse im Stahlbeton werden für die Bemessung wie folgt beschrieben:
+
Die folgenden Voraussetzungen werden der Biegebemessung zugrunde gelegt<ref Name = "Q5">DIN EN 1992-1-1, Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2011</ref>:
 +
<ul>
 +
<li>Die Hypothese von Bernoulli gilt, d.h. dass angenommen wird, dass die Dehnungen linear über den Querschnitt verteilt sind (Ebenbleiben der Querschnitte). Diese Annahme gilt für schlanke Bauteile (<math>l/h\geq</math>2 bzw. für Kragträger <math>l_k/h\geq1</math>), nicht erfüllt ist sie in Bereichen mit konzentrierter Lasteinleitung (z. B. unter Einzellasten oder im Auflagerbereich). Für Bereiche in denen nicht davon ausgegangen werden kann, dass die Dehnungen linear über den Querschnitt verteilt sind, müssen andere Bemessungsverfahren verwendet werden z.B. Stabwerkmodelle.</li>
  
−
[[Datei:Spannung Stahl.PNG]]
+
[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)5.png|right|thumb|250px|Dehnungsvertilung über den Querschnitt im Grenzzustand der Tragfähigkeit]]
  
−
Linie I: Zur Vereinfachung wird ein horizontal weiterlaufender Ast angenommen f<sub>yk</sub>=500N/mm²
+
<li>Die Zugfestigkeit des Betons wird in der Bemessung nicht angesetzt, die Bemessung erfolgt im Rissquerschnitt.</li>
  
−
Linie II: Ansteigender Ast zugelassen zur Querschnittsbemessung, wenn die Dehnung maximal &epsilon;<sub>ud</sub>=25 &permil; beträgt
+
<li>Zwischen der Bewehrung und dem Beton wird starrer Verbund vorausgesetzt, d.h. die Dehnung der Bewehrung entspricht der der angrenzenden Betonfaser.</li>
  
 +
<li>Für die Spannungsdehnungslinie des Betons und der Bewehrung gelten die dargestellten Zusammenhänge. Für die Spannungsdehnungslinie des Stahls kann eine vereinfachte oder eine genauere Spannungsdehnungslinie verwendet werden. Bei der vereinfachten wird nach Überschreitung der Streckgrenze keine Spannungszunahme mehr berücksichtigt (horizontaler Ast), bei der genaueren schon (geneigter Ast)</li>
 +
</ul>
 +
[[File:Spannung Beton.PNG|right|thumb|200px|Spannungsdehnungslinie Beton]]
 +
[[File:Spannung Stahl.PNG|right|thumb|200px|Spannungsdehnungslinie des Stahls mit hotizontalem (Linie I) oder geneigtem Ast (Linie II)]]
 +
Die Ermittlung des Bauteilwiderstands erfolgt durch Variation der Dehnungsebenen, bis sich innere und äußere Schnittgrößen im Gleichgewicht befinden. Da dies ein iterativer Prozess ist, der bei einer Handrechnung einen hohen Aufwand bedeutet, werden i.d.R Bemessungshilfsmittel verwendet, diese können gängigen Tabellenwerekn z.B. Schneider Bautabellen<ref Name = "Q4">Albert,A., Bautabellen fü Ingenieure, Auflage 26, Bundesanzeigerverlag, 2024</ref> entnommen werden. Für die Erstellung von Bemessungshilfsmitteln bietet sich die Verwendung von dimensionslosen Beiwerten an, häufig wird das bezogene Moment <math>\mu_{Eds}</math> als Eingangswert verwendet.
  
−
*Es gelten folgende möglichen Dehnungsverteilungen im Stahlbetonquerschnitt:<ref Name = "Name der Quelle1">Avak,R., Conchon,R., Aldejohann,M., Stahlbetonbau in Beispielen Teil 1, 7. Auflage, Nürnberg/Düsseldorf: Bundesanzeiger Verlag, 2016</ref><br />
+
<math>\mu_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}</math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> \mu_{Eds} </math> … || bezogenes Moment
 +
|-
 +
| <math> b</math> … || Querschnittsbreite
 +
|-
 +
| <math> d</math> … || statische Nutzhöhe
 +
|-
 +
| <math> f_{cd}</math> … || Bemessungsdruckfestigkeit des Betons
 +
|}</li>
 +
<br />  
  
−
[[Datei:Dehnungsverteilung Stahlbeton.PNG]]
+
Im Folgenden werden das allgemeine Bemessungsdiagramm, das <math>\omega</math>-Verfahren und das <math>k_d</math>-Verfahren vorgestellt. Anschließend findet auch noch eine Herleitung der Gleichungen für die Biegebemessung mit einem parabel-rechteckförmigen Spannungsverlauf in der Druckzone (iterative Lösung) und mit dem vereinfachten rechteckförmigen Spannungsblock (geschlossene Lösung) statt.
  
−
Für Betone bis zur Festigkeitsklasse C50/60 gelten die Grenzstauchungen:
+
==Druckbewehrung==
  
−
&epsilon;<sub>c2</sub>=-3,5&permil; bei Biegebeanspruchung und
+
Durch die Anordnung einer Druckbewehrung wird die Betondruckzone entlastet und die Druckzonenhöhe reduziert bzw. nicht mehr gesteigert.
 +
In der Regel kann bei der Bemessung trotz der Druckbewehrung mit der Bruttofläche der Betondruckzone gerechnet werden, da die Unterschiede im Vergleich zur Bemessung mit der Nettofläche gering sind<ref name = "Q2"></ref>.
  
−
&epsilon;<sub>c2</sub>=&epsilon;<sub>c1</sub>=-2,2&permil; bei zentrischem Druck
+
Für Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung stehen ebenfalls Bemessungshilfsmittel zur Verfügung<ref name = "Q4"></ref>. Es können auch die Bemessungshilfsmittel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung verwendet werden, dabei ist dann das einwirkende Moment aufzuteilen.
  
−
Der Betonstahl versagt bei einer Grenzdehnung von &epsilon;<sub>s1</sub>=&epsilon;<sub>s2</sub>=25&permil;
+
[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)7.png|right|thumb|300px|Bemessung von Querschnitten mir Druckbewehrung durch Aufteilung des einwirkenden Moments]]
  
−
==Nachweisführung und Bewehrungsermittlung mit Bemessungshilfen==
+
Zunächst läuft die Biegebemessung wie gewohnt ab. Als bezogenes Moment wird das verwendet, bei dem die angestrebte bezogene Druckzonenhöhe erreicht wird (z.B <math>\mu_{Eds}=0,296</math> für x/d=0,45). Mithilfe des bezogenen Moments kann das aufnehmbare Moment der so ermittelten Zugbewehrung berechnet werden. Dieses Moment wird im weiteren als Grenzmoment bezeichnet.
  
−
Eine iterative Handrechnung ist in der Praxis sehr umständlich und daher nicht üblich.
+
<math>lim\ M_{Eds}=lim\ \mu_{Eds}\cdot b\cdot d^2\cdot f_{cd}</math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> lim\ M_{Eds} </math> … || Bemessungsmoment für x/d=0,45
 +
|-
 +
| <math> lim\ \mu_{Eds}</math> … || bezogenes Moment für x/d=0,45
 +
|}</li>
 +
<br />   
  
−
Der Nachweis der Grenztragfähigkeit und die Ermittlung der Längsbewehrung erfolgen im Allgemeinen mit Bemessungstafeln, wie sie beispielsweise in [Schneider Bautabellen für Ingenieure 20.Auflage Abs.5.6 Tafeln 1-9] zu finden sind.<ref>Goris,A., Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1, 5. Auflage, Siegen: Beuth, 2014</ref><br />
+
<math>A_{s1,lim\ M}=\frac{1}{f_{yd}}\cdot\left(\frac{lim\ M_{Eds}}{z}+N_{Ed}\right)</math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> A_{s1,lim\ M} </math> … || Querschnittsfläche der Zugbewehrung für x/d=0,45
 +
|-
 +
| <math> z</math> … || Hebelarm der inneren Kräfte
 +
|}</li>
 +
<br />  
  
 +
Die Differenz zwischen Gesamtmoment und Grenzmoment muss durch weitere Zugbewehrung und Druckbewehrung aufgenommen werden.
  
−
Um mit den Bemessungshilfen arbeiten zu können, müssen die Bauteilabmessungen und Materialparameter bekannt sein.
+
<math>\Delta M_{Eds}=M_{Eds}-lim\ M_{Eds}</math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> \Delta M_{Eds} </math> … || Anteil des Gesamtmoments, welcher über x/d=0,45 hinaus geht
 +
|}</li>
 +
<br />   
  
−
Die statische Nutzhöhe d kann für den Fall, dass sie vor der Bewehrungsermittlung noch unbekannt ist über eine Vorbemessung
+
Da dieser Momentenanteil nur durch die Druckbewehrung und die zusätzliche Zugbewehrung aufgenommen wird, liegen für diesen Momentenanteil wieder lineare Dehnungsverhältnisse vor und die erforderliche Bewehrung lässt sich mithilfe der folgenden Gleichung ermitteln.
  
−
abgeschätzt werden und gegebenenfalls nach der Bewehrungswahl noch einmal korrigiert werden und für eine erneute Bemessung verwendet werden.
+
<math>A_{s1,\Delta M}=\frac{1}{f_{yd}}\cdot\left(\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}\right)</math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> A_{s1,\Delta M} </math> … || Querschnittsfläche der Zugbewehrung für \Delta M_{Eds}
 +
|-
 +
| <math> d_2 </math> … || Abstand der Schwerelinie der Druckbewehrung vom gedrückten Rand
 +
|}</li>
 +
<br />   
  
 +
<math>A_{s2}=\frac{1}{\sigma_{s2}}\cdot\left(\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}\right)</math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> A_{s2} </math> … || Querschnittsfläche der Druckbewehrung
 +
|-
 +
| <math>\sigma_{s2} </math> … || Stahlspannung der Druckbewehrung
 +
|}</li>
 +
<br />   
  
−
Mit Hilfe der Bemessungstafeln bzw. Diagrammen kann nun bei bekanntem maximalen einwirkenden Moment die erforderliche Bewehrung,  
+
Die gesamte Querschnittsfläche der Zugbewehrung ergibt sich durch die Addition beider Anteile, die Querschnittsfläche der Druckbewehrung entspricht der für den zweiten Momentenanteil.
  
−
oder bei bekanntem Bewehrungsquerschnitt das maximal aufnehmbare Moment ermittelt werden.
+
<math>A_{s1}=A_{s1,lim\ M}+A_{s1,\Delta M}</math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> A_{s1} </math> … || Querschnittsfläche der Zugbewehrung
 +
|}</li>
 +
<br />   
  
 +
Um ein frühzeitiges Ausknicken der Druckbewehrung zu vermeiden, ist diese ausreichend zu umbüglen (vgl. DIN EN 1992-1-1 9.1.2.1<ref name = "Q4"></ref>). In der Regel ist durch die ohnehin erforderliche Querkraftbewehrung eine ausreichende Umbügelung gegeben.
  
−
Um die Verwendung der Hilfsmittel '''Querschnittsunabhängig''' und damit '''allgemein anwendbar''' zu machen, werden verschiedene dimensionslose bezogene Parameter entwickelt:<ref name="Name der Quelle1" /><ref Name = "Name der Quelle2">Bolle,G., Skript Stahlbetonbau 1, Themenkomplex 5- Bemessung bei überwiegender Biegung im Grenzzustand der Tragfähigkeit (Rechteckquerschnitt), Wismar, 2014</ref><br />
+
==Plattenbalken==
 +
<p>
 +
Da bei Plattenbalken nur die stegnahen Bereiche vollständig mitwirken und sich die Platte mit zunehmendem Abstand zum Steg der aufgezwungenen Verformung entzieht, wurde die [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Mitwirkende_Plattenbreite mitwirkende Plattenbreite] eingeführt. In diesem Bereich wird die komplexe Form der Druckverteilung zu einer mit konstantem Verlauf vereinfacht.
 +
</p>
 +
Bei der Bemessung von Plattenbalken können abhängig von der Lage der Spannungsnulllinie unterschiedliche Fälle unterschieden werden.
  
−
[[Datei:Beiwerte.PNG]]
+
Ist die Druckzonenhöhe kleiner als die Höhe der Platte befindet sich die gesamte Druckzone in der Platte und ist somit rechteckförmig (<math> \xi<h_f/d</math>). Die Bemessung kann wie für Rechteckquerschnitte durchgeführt werden, als Querschnittsbreite ist die mitwirkende Plattenbreite anzusetzen.
  
−
Einwirkende Schnittgrößen müssen auf die mit Hilfe von zs1 auf den Schwerpunkt der Bewehrung übertragen werden:
+
[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)8.png|right|thumb|250px|Lage der Spannungsnulllinie in der Platte]]
  
−
<math>M_\mathrm{Eds}=M_\mathrm{Ed}-N_\mathrm{Ed}\cdot z\mathrm{s1}~</math> (entfällt im Modul S340.de, da keine Normalkraft definierbar)
+
Übersteigt die Druckzonenhöhe die Plattenhöhe, ist die Druckzone nicht mehr rechteckförmig (<math> \xi>h_f/d</math> (wobei <math>h_f</math>...Plattenhöhe)). Dies muss in der Bemessung berücksichtigt werden. Für diesen Fall stehen gesonderte Bemessungshilfsmittel zur Verfügung.
  
 +
[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)9.png|right|thumb|250px|Lage der Spannungsnulllinie im Steg (positive Momente)]]
  
−
Das bezogene Moment in der Höhe der gesuchten Bewehrung ergibt sich zu:
+
In Bereichen mit negativen Momenten befindet sich die Druckzone im Steg. Es ergibt sich eine rechteckförmige Druckzone, die Bemessung kann wie für Rechteckquerschnitte durchgeführt werden, als Querschnittsbreite ist die Stegbreite anzusetzen. Wenn die bezogene Druckzonenhöhe wie von der Norm gefordert auf 0,45 begrenzt wird, kann der Vergleich der Steghöhe mit der Druckzonenhöhe entfallen, da die Steghöhe in der Regel größer als die Plattenhöhe ist und dadurch von vornherein davon ausgegangen werden kann, dass die Druckzone ganz im Steg liegt.
  
−
<math>\mu_\mathrm{Eds}=\cfrac{M_\mathrm{Eds}}{b\cdot d^2 \cdot f_\mathrm{cd}}~</math>
+
[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)10.png|right|thumb|250px|Lage der Spannungsnulllinie im Steg (negative Momente)]]
  
 +
==Bemessungshilfsmittel==
 +
===Allgemeines Bemessungsdiagramm===
 +
Der Eingangswert für das allgemeine Bemessungsdiagramm ist das bezogene Moment, es handelt sich dementsprechend um eine dimensionsloses Bemessungshilfsmittel. Aufgrund dessen kann das allgemeine Bemessungsdiagramm auch für andere Stahlsorten als B500 verwendet werden.
  
−
Die Betondruckkraft Fcd ergibt sich, indem die Fläche der Druckspannungen <math>\sigma_\mathrm{cd}~</math> über die Druckzonenhöhe <math>x~</math> integriert wird:
+
[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)6.png|right|thumb|250px|Allgemeines Bemssungsdiagramm]]
−
 
 
−
<math>F_\mathrm{cd}=\int_0^x \sigma_\mathrm{cd}\cdot b \cdot dz~</math>
 
  
 +
Bei der Verwendung des allgemeinen Bemessungsdiagramms ist zu beachten, dass es unterschiedliche Diagramme für normalfeste und hochfeste Betone gibt.
  
−
Mit dem Völligkeitsbeiwert <math>\alpha_{R}~</math>, der das Verhältnis der integrierten Fläche zur einhüllenden Rechteckfläche beschreibt, ergbibt sich:
+
Bei diesem Bemessungshilfsmittel ist die Genauigkeit der Bemessungsergebnisse geringer als beim <math>\omega</math>- und <math>k_d</math>-Verfahren, da die Ablesegenauigkeit beschränkt ist.
 +
====Rechteckquerschnitt ohne Druckbewehrung====
 +
Abgelesen werden können die Stahldehnung, die Betonstauchung, die bezogene Druckzonenhöhe und der bezogene Hebelarm der inneren Kräfte.
  
−
<math>F_{cd}=\alpha_{R}\cdot b\cdot x\cdot f_{cd}~</math>
+
Mithilfe der Stahldehnung lässt sich die Stahlspannung ermitteln. Mit dieser kann in einem nächsten Schritt die erforderliche Bewehrungsmenge ermittelt werden.
  
 +
<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds}}{z}+N_{Ed}\right)</math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> \sigma_{sd} </math> … || Bemessungswert der Stahlspannung der Zugbewehrung(entspricht bei Verwendung des horizontalen Asts der Stahlkennlinie der Bemessungszugfestigkeit)
 +
|}</li>
 +
<br />   
  
−
Es wird eine bezogene Druckzonenhöhe eingeführt: <math>\xi = \cfrac{x}{d}~</math> bzw. <math>x=\xi\cdot d~</math>
+
[https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Biegebemessung_mit_dem_allgemeinen_Bemessungsdiagramm_(Bsp.) Beispiel]
  
−
<math>F_{cd}=\alpha_{R}\cdot b\cdot \xi\cdot d\cdot f_{cd}~</math>oder auch: <math>\cfrac{F_{cd}}{b\cdot d\cdot f_{cd}}= \alpha_{R}\cdot \xi ~</math>
+
====Rechteckquerschnitt mit Druckbewehrung====
 +
Verwendet man für die Ermittlung des bezogenen Moments das Grenzmoment, ist auch die Bemessung von Rechteckquerschnitten mit Druckbewehrung möglich. Zusätzlicher Eingagnswert ist das Verhältnis <math>d_2/d</math>, zusätzlicher Ablesewerte ist die Stauchung der Druckbewehrung.
  
 +
Die Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsflächen erfolgt mit den folgenden Gleichungen:
  
−
Mit dem Bauteilwiderstand <math>M_{Rds}=F{cd}\cdot z~</math> und der Aussage: <math>M_{Eds}=M_{Rds}~</math>und dem bezogenen Moment:
+
<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds,lim}}{z}+\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}+N_{Ed}\right)</math>
  
−
<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}=\cfrac{F_{cd}}{b\cdot d\cdot f_{cd}}\cdot \cfrac{z}{d}~</math>
+
<math> A_{s2}=\frac{1}{\sigma_{s2d}}\cdot\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}</math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> \sigma_{s2d} </math> … || Bemessungswert der Stahlspannung der Druckbewehrung (entspricht i.d.R. der Bemessungszugfestigkeit)
 +
|}</li>
 +
<br />  
  
 +
[https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Biegebemessung_mit_dem_allgemeinen_Bemessungsdiagramm_(Bsp.) Beispiel]
  
−
Es wird ein bezogener innerer Hebelarm <math>\zeta~</math> eingeführt aus:
+
===<math>\omega</math>-Verfahren===
  
−
<math>a=k\cdot x=k_{a}\cdot \xi \cdot d~</math> und <math>z= d- a= (1- k_{a}\cdot \xi)\cdot d= \zeta\cdot d~</math>
+
Das <math>\omega</math>-Verfahren stellt die tabellarische Umsetzung des allgemeinen Bemessungsdiagramms dar. Die Ablesewerte können entweder auf der sicheren Seite liegend aufgerundet oder interpoliert werden. Durch die Interpolation werden genauere Ergebnisse im Vergleich zum allgemeinen Bemessungsdiagramm erzielt.
  
−
<math>a=~</math> Abstand von <math>F_{cd}~</math> zur oberen Bauteilkante
+
Eingangswert ist das bezogene Moment, es handelt sich dementsprechend um ein dimensionsloses Bemessungshilfsmittel.Da alle Eingangswerte dimensionslos sind, kann das <math>\omega</math>-Verfahren auch für andere Stähle als B500 verwendet werden, allerdings sind die angegebenen Stahlspannungen dann nicht mehr gültig.
  
 +
Zusätzlich zu den anderen bezogenen Größen wird der mechanische Bewehrungsgrad <math>\omega</math> eingeführt. Dieser wird für die Ermittlung der Bewehrung ermittelt.
  
−
Aus allen jetzt bekannten Beziehungen ergibt sich:
+
Bei der Verwendung des <math>\omega</math>-Verfahrens ist darauf zu achten, dass es unterschiedliche Tafeln für normalfeste und hochfeste Betone gibt.
 +
====Rechteckquerschnitt ohne Druckbewehrung====
 +
Neben dem mechanischen Bewehrungsgrad können auch die bezogene Betondruckzonenhöhe, der bezogene Hebelarm der inneren Kräfte, die Betonstauchung und die Stahldehnung abgelesen werden. Außerdem können auch die Stahlspannungen abgelesen werden, die sich für einen B500 ergeben. Dabei sind die Stahlspannungen beruhend auf der Spannungs-Dehnungs-Linie mit horizontalem und geneigtem Ast ablesbar.
  
−
<math>\mu_{Eds}= \cfrac{\alpha_{R}\cdot b\cdot \xi\cdot d\cdot f_{cd}}{b\cdot d\cdot f_{cd}}\cdot \cfrac{(1-k_{a}\cdot \xi)\cdot d}{d}~</math>
+
<math>A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\omega\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> \omega </math> … || mechanischer Bewehrungsgrad
 +
|}</li>
 +
<br />  
  
 +
[https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Biegebemessung_mit_dem_omega-Verfahren_(Bsp.) Beispiel]
  
−
&rArr; <math>\underline{\mu_{Eds}= \alpha_{R}\cdot \xi\cdot \zeta}~</math>
+
====Rechteckquerschnitt mit Druckbewehrung====
 +
Für die Bemessung von Rechteckquerschnitten mit Druckbewehrung stehen gesonderte Bemessungstafeln zur Verfügung. Zusätzliche Eingangswerte sind das Verhältnis <math>d_2/d</math> und die angestrebte bezogene Druckzonenhöhe.
  
 +
Außerdem müssen für unterschiedliche Stahlsorten und Teilsicherheitsbeiwerte des Stahls unterschiedliche Tafeln verwendet werden.
  
 +
Abgelesen werden können der mechanische Zugbewehrungsgrad und der mechanische Druckbewehrungsgrad, mit welchen die Ermittlung der Querschnittsfläche der Druck- und Zugbewehrung möglich ist.
  
−
Die erforderliche Bewehrung lässt sich wie folgt ermitteln:
+
<math>A_{s1}=\frac{1}{f{yd}}\cdot\left(\omega_1\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math>
  
−
<math>N_{Rd}= F_{sd}- F_{cd}~</math> mit <math>N_{Ed}= N_{Rd}~</math>
+
<math>A_{s2}=\frac{1}{f_{yd}}\cdot\left(\omega_2\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}\right)</math>
  
−
&rArr;<math>F_{sd}= F_{cd}+ N_{Ed}~</math>
+
[https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Biegebemessung_mit_dem_omega-Verfahren_(Bsp.) Beispiel]
  
 +
====Plattenbalkenquerschnitte====
 +
Auch für Plattenbalkenquerschnitte stehen gesonderte Bemessungstafeln zur Verfügung. Diese sind grundsätzlich zu verwendet, wenn die Druckzone des Plattenbalkens nicht rechteckförmig ist, können aber auch für Plattenbalken mit einer rechteckförmigen Druckzone verwendet werden.
  
−
Mit bekanntem <math>M_{Eds}= F_{cd}\cdot z~</math> ergibt sich <math>F_{sd}=\cfrac{M_{Eds}}{z}+N_{Ed}~</math>
+
Für unterschiedliche Stahlsorten und Teilsicherheitsbeiwerte des Stahls müssen unterschiedliche Tafeln verwendet werden. Außerdem wird hier nur der vereinfachte horizontale Verlauf der Spannungs-Dehnungslinie des Stahls verwendet.
  
−
<math>F_{sd}= \sigma_{sd}\cdot A_{s}~</math> unter der Annahme <math>\sigma_{sd}=f_{yd}~</math>
+
Eingangswerte sind neben dem bezogenen Moment das Verhältnis der Plattenhöhe zur statischen Nutzhöhe und das von mitwirkender Plattenbreite zu Stegbreite. Ablesewert ist der mechanische Bewehrungsgrad <math>\omega</math>.
  
 +
Die Anordnung von Druckbewehrung in Plattenbalken kann mit diesem Bemessungshilfsmittel nicht berücksichtigt werden.
  
−
&rArr;<math>\underline{A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}}\cdot (\cfrac{M_{Eds}}{z}+N_{Ed})}~</math>
+
Die Ermittlung der Bewehrung erfolgt wie gewohnt mit <math>\omega</math>. Die für die Bemessung verwendete Querschnittsbreite ist die mitwirkende Plattenbreite.
  
 +
<math>A_{s1}=\frac{1}{f{yd}}\cdot\left(\omega_1\cdot b_f\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> b_f </math> … || mitwirkende Plattenbreite
 +
|}</li>
 +
<br />   
  
−
Die hergeleiteten dimensionslosen Parameter hängen nur von dem vorgegebenen Dehnungsverhältnis ab, nicht aber von den Abmessungen des Bauteils.
+
[https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Biegebemessung_mit_dem_omega-Verfahren_(Bsp.) Beispiel]
  
−
Werden die Beziehungen für alle zulässigen Dehnungsverhältnisse ausgewertet, können Bemessungshilfen erstellt werden,
+
===<math>k_d</math>-Verfahren===
 +
Bei dem <math>k_d</math>-Verfahren handelt es sich um ein dimensionsgebundenes Verfahren, bei der Ermittlung von <math>k_d</math> und <math>A_s1</math> ist daher unbedingt auf die Verwendung der richtigen Einheiten zu achten. Eingangswerte bei Verwendung der Bemessungstafeln ist neben <math>k_d</math> die Betonfestigkeitsklasse.
  
−
mit denen bei bekanntem Dehnungsverhältnis, das aufnehmbare Moment und die erforderliche Bewehrung, ermittelt werden können.
+
<math>k_d=\frac{d[cm]}{\sqrt{\frac{M_{Eds}[kNm]}{b[m]}}}</math>
  
 +
Auch hier stehen wieder Bemessungstafeln getrennt für normalfesten und hochfesten Beton zur Verfügung. Diese Tafeln gelten ebenfalls für eine bestimmte Stahlsorte und einen bestimmten Teilsicherheitsbeiwert für den Stahl.
  
 +
Die Ablesewerte sind entweder auf der sicheren Seite liegend aufzurunden oder für genauere Ergebnisse zu interpolieren.
  
−
----
+
====Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung====
 +
Abgelesen werden können <math>k_s</math>, die bezogene Druckzonenhöhe, der bezogene Hebelarm der inneren Kräfte sowie die Stauchung des Betons und die Dehnung der Zugbewehrung.
  
−
===Allgemeines Bemessungsdiagramm===
+
Die Ermittlung der Querschnittsfläche der Zugbewehrung erfolgt mithilfe von <math>k_s</math>.
  
−
[[Allgemeines Bemessungsdiagramm|Allgemeines Bemessungsdiagramm]]<ref name="Name der Quelle" />
+
<math>A_{s1}[cm^2]=k_s\cdot\frac{M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}+\frac{N_{Ed}[kN]}{43,5}</math>
  
−
Das allgemeine Bemessungsdiagramm ist für alle Normalbetone bis zur Festigkeitsklasse '''C50/60''' anwendbar.
+
[https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Biegebemessung_mit_dem_kd-Verfahren_(Bsp.) Beispiel]
  
−
Als Eingangswert dient entweder das bezogene Moment
+
====Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung====
 +
Die Bemessung von Rechteckquerschnitten mit Druckbewehrung mit dem <math>k_s</math>-Verfahren ist möglich, hierfür werden die zusätzlichen Beiwerte <math>k_s2</math>,<math>\rho_1</math> und <math>\rho_2</math> eingeführt.
  
−
<math>\mu_{Eds}= \cfrac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}~</math>
+
Zusätzlicher Eingangswert ist die angestrebte bezogene Druckzonenhöhe. Für die Ablesung von <math>\rho_1</math> und <math>\rho_2</math> wird außerdem das Verhältnis von <math>d_2/d</math> benötigt. Die Ablesewerte sind <math>k_{s1}</math>,<math>k_{s2}</math>,<math>\rho_1</math> und <math>\rho_2</math>.
  
 +
Die Querschnittsfläche der Zugbewehrung kann mithilfe von <math>k_{s1}</math> und <math>\rho_1</math>, die der Druckbewehrung mithilfe von <math>k_{s2}</math> und <math>\rho_2</math> ermittelt werden.
  
−
Es können alle dazugehörigen Parameter und die Dehnungsverteilung abgelesen werden und die erforderliche Bewehrung mit:
+
<math>A_{s1}[cm^2]=\rho_1\cdot k_{s1}\cdot\frac{M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}+\frac{N_{Ed}[kN]}{43,5}</math>
  
−
<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}}\cdot (\cfrac{M_{Eds}}{z}+ N_{Ed})~</math> ermittelt werden.
+
<math>A_{s2}[cm^2]=\rho_2\cdot k_{s2}\cdot\frac{M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}</math>
  
 +
[https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Biegebemessung_mit_dem_kd-Verfahren_(Bsp.) Beispiel]
  
−
Oder, bei bekannter Bewehrungsquerschnittsfläche, der Druckzonenparameter:
+
==Gleichungen für eine Handrechnung bzw. eine computerbasierte Lösung==
  
−
<math>\nu_{cd}=\cfrac{f_{yd}\cdot A_{s}}{f_{cd}\cdot b\cdot d}~</math>
+
===parabel-rechteck-förmiger Verlauf der Druckspannungen (iterative Lösung)===
 +
Ziel der Bemessung ist, dass das aufnehmbare Moment mindestens so groß wie das einwirkende Moment ist. Es wird nur die iterative Berechnung von Rechteckquerschnitten ohne Druckbewehrung näher betrachtet. Eine Abwandlung der Gleichungen für Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung und Plattenbalken unter der Berücksichtigung der geänderten Umstände ist möglich.
  
 +
<math> M_{Eds}=M_{Rd}</math>
  
−
Damit kann das bezogene Moment abgelesen und die Tragfähigkeit durch umstellen der Formel zu
+
Wird der Drehpunkt in den Angriffspunkt der Stahlzugkraft bzw. der Betondruckkraft gelegt, ergibt sich das aufnehmbare Moment wie folgt.
  
−
<math>M_{Eds}=\mu_{Eds}\cdot f_{cd}\cdot b\cdot d~</math> ermittelt werden.
+
<math> M_{Eds}=M_{Rd}=(F_{s1}-N_{Ed})\cdot z=F_c\cdot z</math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> F_{s1} </math> … || Stahlzugkraft
 +
|-
 +
| <math> F_c </math> … || Betondruckkraft
 +
|}</li>
 +
<br />   
  
 +
Da die Bewehrungsquerschnittsfläche nicht bekannt ist wird im Weiteren mit der Betondruckkraft weiter gerechnet.
  
−
'''Hinweis''': Bei Verwendung des Diagramms sind immer geringe Ableseungenauigkeiten zu erwarten
+
<math> M_{Eds}=F_c\cdot z</math>
  
 +
Die Betondruckkraft und der Hebelarm der inneren Kräfte können mit den folgenden Gleichungen ermittelt werden.
  
−
----
+
<math> F_c=\alpha_r\cdot b\cdot x\cdot f_c</math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> \alpha_r </math> … || Völligkeitsgrad
 +
|-
 +
| <math> x </math> … || Druckzonenhöhe
 +
|}</li>
 +
<br />   
  
−
===Bemessungstafeln mit dimensionslosen Beiwerten (Omega-Verfahren)===
+
<math>\alpha_r=\left(\begin{matrix}
 +
1-\frac{\varepsilon_{c2}}{\varepsilon_c}-\frac{1-\left(1-\frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}}\right)^{n+1}}{n+1}&0\leq\varepsilon\leq\varepsilon_{c2} \\
 +
1-\frac{\varepsilon_{c2}}{\varepsilon_c\cdot(n+1)}&\varepsilon_{c2}\leq\varepsilon\leq\varepsilon_{c2u}\\
 +
\end{matrix}\right)</math>
  
−
Die Bemessungstafeln zeigen das allgemeine Bemessungsdiagramm in tabellierter Form, erweitert um den mechanischen Bewehrungsgrad <math>\omega~</math> <ref name="Name der Quelle1" />
+
<math> x=\frac{\varepsilon_c\cdot d}{\varepsilon_{s1}+\varepsilon_c}</math>
  
−
<math>\omega=\cfrac{A_{s}\cdot \sigma_{sd} - N_{Ed}}{b\cdot d\cdot f_{cd}}~</math>
+
<math> z=d-a</math>
  
 +
<math> a=\kappa_a\cdot x</math>
 +
<br />
 +
wobei:
 +
:{|
 +
|-
 +
| <math> a </math> … || Abstand der inneren Druckkraft
 +
|-
 +
| <math> \kappa_a </math> … || Höhenbeiwert
 +
|}</li>
 +
<br />   
  
−
Mit bekanntem Moment dient wieder das bezogene Moment <math>\mu_{Eds}~</math> als Einganswert und <math>\omega~</math> kann abgelesen werden (Entweder ungünstigerer Wert oder interpolieren)
+
<math>\kappa_a=\left(\begin{matrix}
 +
1-\frac{1}{\alpha_R}\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{\varepsilon_{c2}^2}{\varepsilon_c^2}\cdot\left(\frac{\left(1-\frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}}\right)^{n+1}-1}{n+1}\right)-\frac{\left(1-\frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}}\right)^{n+2}-1}{n+2}\right)\\
 +
0\leq\varepsilon_c\leq\varepsilon_{c2} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ \ \ \\
 +
1-\frac{1}{\alpha_r}\cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{\varepsilon_{c2}^2}{\varepsilon_{c2}^2\cdot(n+1)}+\frac{\varepsilon_{c2}^2}{\varepsilon_{c2}^2\cdot(n+2)}\right)\qquad\qquad\qquad\qquad\ \  \\
 +
\varepsilon_{c2}\leq\varepsilon_c\leq\varepsilon_{c2u}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ \ \ \\
 +
\end{matrix}\right)</math>
  
−
und über die Formel <math>A_{s}=\cfrac{1}{\sigma_{sd}}\cdot (\omega\cdot b\cdot d\cdot f_{cd} + N_{Ed})~</math> der erforderliche Bewehrungsquerschnitt ermittelt werden.
+
Sowohl der Hebelarm der inneren Kräfte als auch die Betondruckkraft ist abhängig von der Stahldehnung bzw. der Betonstauchung. Diese werden im Weiteren so lange variiert, bis das Gleichgewicht zwischen innerem und äußerem Moment gegeben ist. Wenn die maßgebende Versagensform das Stahlversagen ist, entspricht die Stahldehnung der Bruchdehnung und die Betonstauchung wird variiert. Wird Betonversagen maßgebend, wird entspricht die Stauchung des Betons der Bruchstauchung und die Stahldehnung wird variiert.
  
−
Bei bekanntem Querschnitt kann durch umstellen der Formel zu <math>\omega= \cfrac{A_{s}\cdot f_{yd}}{f_{cd}\cdot b\cdot d}~</math>, <math>\omega~</math> als Eingangswert verwendet werden.
+
Nach Abschluss der Iteration lässt sich die Querschnittsfläche der Zugbewehrung mit den folgenden Gleichungen ermitteln.
  
−
<math>\mu_{Eds}</math> kann abgelesen werden und das aufnehmbare Moment ermittelt werden.
+
<math> F_{s1}=A_{s1}\cdot\sigma_{s1}</math>
  
 +
<math> M_{Eds}=(F_{s1}-N_{Ed})\cdot z</math>
  
−
Auszug aus dimensionsloser Tabelle:<ref name="Name der Quelle" />
+
<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{s1}}\cdot\left(\frac{M_{Eds}}{z}+N_{Ed}\right)</math>
  
−
[[Datei:Dimensionslos.PNG]]
+
Kontrollieren lässt sich das Bemessungsergebnis durch Aufstellen des Gleichgewichts der horizontalen Kräfte.
  
 +
<math>\sum N=-F_{cd}-N_{Ed}+F_{cd}</math>
  
−
----
 
  
−
===Bemessungstafeln mit dimensionsgebundenen Beiwerten (kd–Verfahren)===
+
===rechteckförmiger Verlauf der Druckspannungen (geschlossene Lösung)===
 +
Gemäß DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q5"></ref> kann neben einer parabel-rechteck-förmigen auch eine rechteckförmige Spannungsverteilung in der Druckzone für die Bemessung verwendet werden. Vorteil der Verwendung des Spannungsblocks für die Bemessung ist, dass eine geschlossene Lösung möglich ist. Hierdurch ist eine einfache Handrechnung ohne Bemessungshilfsmittel möglich ist.
  
−
Für das kd-Verfahren werden dimensionsgebundene, von der Festigkeitsklasse abhängige <math>k_{d}~</math>-Beiwerte ermittelt. <ref name="Name der Quelle1" />
+
Für die Verwendung des Spannungsblocks werden folgende Beiwerte eingeführt<ref name = "Q5"></ref>.
  
−
<math>k_{d}=\cfrac{d[cm]}{\sqrt{M_{Eds}[kNm]/ b[m]}}~</math>
+
<table border="1">
 +
  <tr align="center">
 +
    <th><math>f_{ck}</math></th>
 +
    <th><math>\eta</math></th>
 +
    <th><math>\lambda</math></th>
 +
  </tr>
 +
  <tr align="center">
 +
    <td><math>\leq50N/mm^2</math></td>
 +
    <td>1,00</td>
 +
    <td>0,80</td>
 +
  </tr>
 +
  <tr align="center">
 +
    <td><math>>50N/mm^2</math></td>
 +
    <td><math>1,0-\frac{f_{ck}-50}{200}</math></td>
 +
    <td><math>0,8-\frac{f_{ck}-50}{400}</math></td>
 +
  </tr>
 +
</table>
  
 +
Die Bemessung kann mit den folgenden Gleichungen erfolgen.
  
−
<math>k_{s}~</math> - Wert wird abgelesen und der Stahlquerschnitt ermittelt
+
<math>\mu_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{f_{cd}\cdot d^2\cdot b}</math>
  
 +
<math>\xi=\frac{x\cdot\lambda}{d}=1-\sqrt{1-2\cdot\frac{\mu_{Eds}}{\eta}}</math>
  
−
<math>A_{s}[cm^2]=k_{s}\cdot \cfrac{M_{Eds}[KnM]}{d[cm]}+ \cfrac{N_{Ed}[kN]}{43,5}~</math>
+
<math>A_{s}=\frac{1}{\sigma_s}\cdot\left(\eta\cdot\xi\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math>
  
 +
=Quellen=
  
−
Bei bekanntem Querschnitt wird <math>k_{s}~</math> durch entsprechendes umstellen der Formel ermittelt,
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<references/>
  
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-> <math>k_{d}~</math> abgelesen und das aufnehmbare Moment ermittelt.
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{{Seiteninfo
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|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
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|Status = Seite fertig, ungeprüft|}}
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Auszug aus dimensionsgebundener Tabelle:<ref name="Name der Quelle" />
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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]
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[[Datei:Dimensionsgebunden.PNG]]
 
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Mit steigender Belastung, steigt auch das bezogene Moment und die Höhe der Druckzone, so kann es bei zu hohen
 
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Beanspruchungen der Druckzone zu einem unangekündigtem Versagen kommen.
 
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Aus diesem Grunde wird die bezogene Höhe der Druckzone auf den Wert <math>\xi_{lim}~</math> begrenzt.
 
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<math>\xi_{lim}~</math> lässt sich folgendermaßen ermitteln: <math>\xi_{lim}=\cfrac{\epsilon_{cu2}}{\epsilon_{cu2}-\epsilon_{sy}}~</math>
 
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Für Normalbetone <C50/60 ergibt sich aufgrund der selben Randstauchung <math>\epsilon_{cu2}~</math> für <math>\xi_{lim}=0,617~</math>
 
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Sollte dieser Grenzwert überschritten werden, muss die Druckzone durch zusätzliche "Druckbewehrung" verstärkt werden.
 
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Hierzu gibt es ebenfalls Bemessungshilfen.
 
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Bei Plattenbalken, die mit der Platte in der Druckzone liegen, muss keine Druckbewehrung angeordnet werden.
 
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===Vorgehensweise Plattenbalken===
 
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Bei der Biegebemessung von Plattenbalken ist zunächst die [[Mitwirkende Plattenbreite|Mitwirkende Plattenbreite]] zu ermitteln.
 
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Befindet sich die Platte in der Druckzone, ist das bezogene Moment <math>\mu_{Eds}~</math> mit der effektiven Plattenbreite zu ermitteln<ref name="Name der Quelle2" />
 
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Mit dem bezogenen Moment als Eingangswert wird aus der Tafel für Rechteckquerschnitte <math>\xi~</math> abgelesen.
 
−
 
 
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−
Bei <math>\xi < \cfrac{h_{f}}{d}~</math> liegt die Dehnungsnulllinie in der Platte und die Bemessung kann wie bei einem Rechteckquerschnitt erfolgen.
 
−
 
 
−
Bei <math>\xi > \cfrac{h_{f}}{d}~</math> liegt die Dehnungsnulllinie im Steg und es muss mit gesonderten Tafeln für Plattenbalken gearbeitet werden.
 
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Im Bereich negativer Momente muss ebenfalls die Lage der Dehnungsnulllinie geprüft werden,  
 
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sollte sie im Steg liegen ist ebenso wie bei einem Rechteckquerschnitt vorzugehen mit der Breite <math>b=~</math> Stegbreite.
 
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Um die richtige Tafel für Plattenbalkenquerschnitte zu wählen müssen die Verhältnisse <math>\cfrac{h_{f}}{d}~</math> und <math>\cfrac{b_{f}}{b_{w}}~</math> ermittelt werden.
 
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Anschließend kann aus der passenden Tafel <math>\omega~</math> abgelesen werden und die Querschnittsfläche der Bewehrung über
 
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<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}}\cdot (\omega\cdot b_{f}\cdot f_{cd}+ N_{Ed})~</math>
 
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errechnet werden.
 
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==Quellen==
 
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<references/>
 
  
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Aktuelle Version vom 29. April 2024, 23:56 Uhr

Ziel der Bemessung bzw. des Nachweises eines überwiegend beanspruchten Bauteils ist nachzuweisen, dass der Querschnitt die äußeren Schnittgrößen ( und ) im Grenzzustand der Tragfähigkeit aufnehmen kann. Bei der Bemessung wird das aufnehmbare Moment durch die Veränderung der Bewehrungsquerschnittsfläche an die vorhandenen äußeren Schnittgrößen angepasst. Beim Nachweis eines biegebeanspruchten Bauteils wird für eine gegebene Bewehrung überprüft, ob die aufnehmbaren Schnittgrößen die einwirkenden Schnittgrößen übersteigt.


wobei:

… einwirkendes Moment
… einwirkende Normalkraft
… aufnehmbares Moment
… aufnehmbare Normalkraft


Tragverhalten

Dehnungsbereiche

Beeinflusst wird die Tragfähigkeit von Biegebauteilen durch die Festigkeiten von Stahl und Beton, deren Zusammenhang mit den Dehnungswerten sowie durch die Querschnittswerte (Breite, Höhe und Form der Druckzone, statische Nutzhöhe, Bewehrungsquerschnittsfläche).

Die Bemessung im Grenzzustand setzt voraus, dass die Bruchdehnung der Bewehrung oder des Betons überschritten wird und dementsprechend ein Stahl- oder Betonversagen eintritt. Abhängig von der Beton- und Stahldehnung können dabei fünf Dehnungsbereiche unterschieden werden[1]:

Dehnungsbereiche
  • Dehnungsbereiche 1: Im gesamten Querschnitt treten ausschließlich Zugdehnungen auf. Die Bewehrung erreicht ihre Bruchdehnung von 25‰, das Versagen findet durch das Versagen der Bewehrung statt. Da vor dem Versagen die Fließgrenze überschritten wird, findet eine Ankündigung des Versagens durch breite Risse statt.



    wobei:
    … untere Randspannung
    … obere Randspannung


  • Dehnungsbereiche 2: Die Grenzdehnung der Zugbewehrung wird erreicht, in der Druckzone sind noch Tragreserven vorhanden. Das Versagen findet durch Versagen der Zugbewehrung mit Vorankündigung statt.



    • wobei:
    … vorhandene Stahlsdehnung
    … Bruchdehnung des Stahls
    … vorhandene Betondehnung
    … Bruchstauchung des Betons


  • Dehnungsbereiche 3: Die Fließgrenze des Stahls wird überschritten, die Bruchdehnung der Bewehrung wird aber nicht erreicht. Die Bruchdehnung der Betondruckzone wird erreicht. Das Versagen findet durch das Versagen der Betondruckzone statt. Trotz des Betonversagens findet eine Versagensankündigung statt, da der Stahl vor dem Bruch plastizieren kann.



    • wobei:
    … Stahldehnung an der Fließgrenze


  • Dehnungsbereiche 4: Der Stahl erreicht die Fließgrenze nicht, die Bruchdehnung des Betons wir überschritten. Die maßgebende Versagensart ist das Betonversagen, da die Stahldehnung unter der Fließgrenze bleibt, findet keine Vorankündigung des Versagens statt. Da wegen der geringen Stahldehnung nicht die volle Zugfestigkeit des Stahls aktiviert wird, ergibt die Bemessung in diesem Bereich große, unwirtschaftliche Bewehrungsquerschnittsflächen [2].



  • Dehnungsbereiche 5: Im gesamten Querschnitt treten nur Druckbeanspruchungen auf. Das Versagen findet durch Versagen des Betons ohne Vorankündigung statt.



Für überwiegend biegebeanspruchte Bauteile sind die Dehnungsbereiche 2 bis 4 relevant. Querschnitt im Dehnungsbereich 1 und 5 sind überwiegend längskraftbeansprucht. Bei der Bemessung ist stets ein Versagen mit Vorankündigung anzustreben, die Querschnitte sollten sich dementsprechend in den Dehnungsbereichen 2 oder 3 befinden.

Spannungsdehnungslinie

Dehnungsverteilung im Zustand I und II

Unter der Voraussetzung, dass sich der Querschnitt in einem der Dehnungsbereiche 1 bis 3 befindet, kann die Spannungs-Dehnungs-Linie von biegebeanspruchten Stahlbetonbauteilen wie auch die für solche unter Zugbeanspruchung in verschiedene Bereiche bzw. Zustände eingeteilt werden:

  • Zustand I: In diesem Zustand ist der Beton noch ungerissen, die Betonzugfestigkeit wurde noch in keinem Punkt überschritten, er endet mit der erstmaligen Überschreitung der Betonzugfestigkeit und somit mit der Entstehung des Erstrisses. Im Zustand I spielt die Bewehrung, wegen der geringen Dehnung, welche auch nur eine geringe Zugfestigkeit bewirkt, noch keine Rolle. Das Elastizitätsmodul entspricht dem des Betons.
  • Zustand IIa: Dies ist der Bereich, in dem die Rissbildung stattfindet. Er endet, wenn die Rissabstände so gering sind, dass die Zugfestigkeit des Betons zwischen den Rissen nicht mehr überschritten wird. In der Zugzone des Rissquerschnitts beteiligt sich der Beton nicht mehr am Lastabtrag. Die Rissbildung ist mit einem Steifigkeitsabfall verbunden.
  • Zustand IIb: Die Rissbildung ist abgeschlossen, bei zunehmender Stahlspannung treten keine neuen Risse mehr auf. Die mit der zunehmenden Stahlspannung verbundenen Stahldehnungen führen zu einer Verbreiterung der vorhandenen Risse. Zustand II a endet, wenn die Fließgrenze des Stahls erreicht wird.
  • Zustand III: Der Stahl beginnt nach der Überschreitung der Fließgrenze zu plastizieren. Es findet noch eine leichte Steigerung der Stahlspannungen statt. Zustand III endet mit dem Versagen der Bewehrung (Dehnungsbereich 1 und 2) oder der Betondruckzone (Dehnungsbereich 3).

Befindet sich der Querschnitt im Dehnungsbereich 4 gelten die gleichen Beziehungen abgesehen davon, dass Zustand III entfällt, da vor der Erreichung der Fließgrenze des Stahls das Betonversagen stattfindet.

Im Zustand I sind die Spannungen noch linear über den Querschnitt verteilt, eine geschlossene Ermittlung der inneren Schnittgrößen ist daher möglich. Im Zustand II und III sind die Spannungen nicht mehr linear über den Querschnitt verteilt; in der Zugzone wird die Betonspannung null, da die Bemessung im Rissquerschnitt stattfindet. Außerdem wird die Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons wegen der höheren Dehnungen nichtlinear[2].

Sicherstellung der Duktilität

Um eine ausreichende Versagensankündigung zu garantieren, ist sicherzustellen, dass die bei der Rissbildung freiwerdenden Zugkräfte durch die Zugbewehrung ohne schlagartiges Versagen aufgenommen werden können. Dies wird durch die Anordnung einer Mindestbewehrung sichergestellt.

Außerdem ist sicherzustellen, dass die Stahldehnung zum Versagenszeitpunkt über der Fließgrenze liegt. Hierfür ist die Druckzonenhöhe zu begrenzen. Wenn die Betonstauchung am oberen Rand der Bruchstauchung des Betons entspricht, findet eine Erhöhung der aufnehmbaren Betondruckkraft nur noch durch die Vergrößerung der Druckzone statt[2], hierdurch sinkt der Hebelarm der inneren Kräfte. Aufgrund der linearen Dehnungsverteilung über die Querschnittshöhe nimmt außerdem mit steigender Druckzonenhöhe x die Dehnung der Zugbewehrung ab. Wenn die Stahldehnung der Zugbewehrung dabei unter die Fließgrenze fällt, kommt es zu unwirtschaftlichen Bemessungsergebnissen und zu einem Versagen ohne Vorankündigung.

Der theoretische Wert der bezogenen Druckzonenhöhe, bei dem die Dehnung der Zugbewehrung die Fließgrenze noch geradeso erreicht, beträgt x/d=0,617. Gemäß DIN EN 1992-1-1/NA 5.4[3] sollte x/d für normalfeste Beton kleiner 0,45 und für hochfeste Betone kleiner 0,35 sein.

Um die bezogene Druckzonenhöhe zu begrenzen, gibt es zwei Möglichkeiten. Die erste Möglichkeit ist eine Verbreiterung der Druckzone (vgl. Plattenbalken), die zweite die Anordnung von Druckbewehrung (vgl. Druckbewehrung).

Bemessung

Darstellung der relevanten Kräfte und geometrischen Größen für die Bemessung

Die Biegebemessung erfolgt für Bauteile im Zustand II im Rissquerschnitt[4]. Eine geschlossene Lösung ist wegen der Nichtlinearität im Zustand II nicht mehr möglich. Aus demselben Grund ist auch die getrennte Bemessung für Normalkraft und Momente ausgeschlossen, da die Superposition der Auswirkung beider Lastfälle nicht mehr möglich ist[2].

Vorbemessung

Da für die Bemessung die statische Nutzhöhe bekannt sein muss, welche wiederum abhängig von der Geometrie und Anordnung der Bewehrung ist, ist eine Vorbemessung der Bewehrung erforderlich, diese kann mit den folgenden Gleichungen erfolgen.


wobei:

… geschätzte Bewehrungsquerschnittsfläche
… geschätztes auf die Schwerelinie der Bewehrung bezogenes Bemessungsmoment
… Bemessungsfestigkeit des Stahls
… geschätzter Hebelarm der inneren Kräfte


mit:


wobei:

… geschätzte Abstand der Schwerelinie der Bewehrung von der des Querschnitts


Anhaltswerte für und ergeben sich wie folgt:

Platten und Balken
Plattenbalken


wobei:

… Querschnittshöhe
… Abstand der Schwerelinie vom Zugrand im Zustand I


Ergibt sich nach der Bemessung eine Abweichung der tatsächlichen statischen Nutzhöhe von der aus der Vorbemessung, ist die Bemessung mit der neuen statischen Nutzhöhe zu wiederholen. Darauf kann verzichtet werden, wenn die statisch Nutzhöhe größer wird, da das Bemessungsergebnis dann auf der sicheren Seite liegt.

äußere Schnittgrößen

In der Regel ist es sinnvoll die äußeren Schnittgrößen auf die Schwerelinie der Bewehrung zu beziehen. Verschiebt man die Normalkraft für die Bemessung gedanklich auf die Schwerelinie der Bewehrung, ist dies auch beim einwirkdenden Moment zu berücksichtigen.


wobei:

… auf die Schwerelinie der Bewehrung bezogenes Bemessungsmoment
… Hebelarm der inneren Kräfte


Grundsätzliche Annahmen

Die folgenden Voraussetzungen werden der Biegebemessung zugrunde gelegt[5]:

  • Die Hypothese von Bernoulli gilt, d.h. dass angenommen wird, dass die Dehnungen linear über den Querschnitt verteilt sind (Ebenbleiben der Querschnitte). Diese Annahme gilt für schlanke Bauteile (2 bzw. für Kragträger ), nicht erfüllt ist sie in Bereichen mit konzentrierter Lasteinleitung (z. B. unter Einzellasten oder im Auflagerbereich). Für Bereiche in denen nicht davon ausgegangen werden kann, dass die Dehnungen linear über den Querschnitt verteilt sind, müssen andere Bemessungsverfahren verwendet werden z.B. Stabwerkmodelle.
    • Dehnungsvertilung über den Querschnitt im Grenzzustand der Tragfähigkeit
  • Die Zugfestigkeit des Betons wird in der Bemessung nicht angesetzt, die Bemessung erfolgt im Rissquerschnitt.
  • Zwischen der Bewehrung und dem Beton wird starrer Verbund vorausgesetzt, d.h. die Dehnung der Bewehrung entspricht der der angrenzenden Betonfaser.
  • Für die Spannungsdehnungslinie des Betons und der Bewehrung gelten die dargestellten Zusammenhänge. Für die Spannungsdehnungslinie des Stahls kann eine vereinfachte oder eine genauere Spannungsdehnungslinie verwendet werden. Bei der vereinfachten wird nach Überschreitung der Streckgrenze keine Spannungszunahme mehr berücksichtigt (horizontaler Ast), bei der genaueren schon (geneigter Ast)
Spannungsdehnungslinie Beton
Spannungsdehnungslinie des Stahls mit hotizontalem (Linie I) oder geneigtem Ast (Linie II)

Die Ermittlung des Bauteilwiderstands erfolgt durch Variation der Dehnungsebenen, bis sich innere und äußere Schnittgrößen im Gleichgewicht befinden. Da dies ein iterativer Prozess ist, der bei einer Handrechnung einen hohen Aufwand bedeutet, werden i.d.R Bemessungshilfsmittel verwendet, diese können gängigen Tabellenwerekn z.B. Schneider Bautabellen[4] entnommen werden. Für die Erstellung von Bemessungshilfsmitteln bietet sich die Verwendung von dimensionslosen Beiwerten an, häufig wird das bezogene Moment als Eingangswert verwendet.


wobei:

… bezogenes Moment
… Querschnittsbreite
… statische Nutzhöhe
… Bemessungsdruckfestigkeit des Betons


Im Folgenden werden das allgemeine Bemessungsdiagramm, das -Verfahren und das -Verfahren vorgestellt. Anschließend findet auch noch eine Herleitung der Gleichungen für die Biegebemessung mit einem parabel-rechteckförmigen Spannungsverlauf in der Druckzone (iterative Lösung) und mit dem vereinfachten rechteckförmigen Spannungsblock (geschlossene Lösung) statt.

Druckbewehrung

Durch die Anordnung einer Druckbewehrung wird die Betondruckzone entlastet und die Druckzonenhöhe reduziert bzw. nicht mehr gesteigert. In der Regel kann bei der Bemessung trotz der Druckbewehrung mit der Bruttofläche der Betondruckzone gerechnet werden, da die Unterschiede im Vergleich zur Bemessung mit der Nettofläche gering sind[2].

Für Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung stehen ebenfalls Bemessungshilfsmittel zur Verfügung[4]. Es können auch die Bemessungshilfsmittel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung verwendet werden, dabei ist dann das einwirkende Moment aufzuteilen.

Bemessung von Querschnitten mir Druckbewehrung durch Aufteilung des einwirkenden Moments

Zunächst läuft die Biegebemessung wie gewohnt ab. Als bezogenes Moment wird das verwendet, bei dem die angestrebte bezogene Druckzonenhöhe erreicht wird (z.B für x/d=0,45). Mithilfe des bezogenen Moments kann das aufnehmbare Moment der so ermittelten Zugbewehrung berechnet werden. Dieses Moment wird im weiteren als Grenzmoment bezeichnet.


wobei:

… Bemessungsmoment für x/d=0,45
… bezogenes Moment für x/d=0,45



wobei:

… Querschnittsfläche der Zugbewehrung für x/d=0,45
… Hebelarm der inneren Kräfte


Die Differenz zwischen Gesamtmoment und Grenzmoment muss durch weitere Zugbewehrung und Druckbewehrung aufgenommen werden.


wobei:

… Anteil des Gesamtmoments, welcher über x/d=0,45 hinaus geht


Da dieser Momentenanteil nur durch die Druckbewehrung und die zusätzliche Zugbewehrung aufgenommen wird, liegen für diesen Momentenanteil wieder lineare Dehnungsverhältnisse vor und die erforderliche Bewehrung lässt sich mithilfe der folgenden Gleichung ermitteln.


wobei:

… Querschnittsfläche der Zugbewehrung für \Delta M_{Eds}
… Abstand der Schwerelinie der Druckbewehrung vom gedrückten Rand



wobei:

… Querschnittsfläche der Druckbewehrung
… Stahlspannung der Druckbewehrung


Die gesamte Querschnittsfläche der Zugbewehrung ergibt sich durch die Addition beider Anteile, die Querschnittsfläche der Druckbewehrung entspricht der für den zweiten Momentenanteil.


wobei:

… Querschnittsfläche der Zugbewehrung


Um ein frühzeitiges Ausknicken der Druckbewehrung zu vermeiden, ist diese ausreichend zu umbüglen (vgl. DIN EN 1992-1-1 9.1.2.1[4]). In der Regel ist durch die ohnehin erforderliche Querkraftbewehrung eine ausreichende Umbügelung gegeben.

Plattenbalken

Da bei Plattenbalken nur die stegnahen Bereiche vollständig mitwirken und sich die Platte mit zunehmendem Abstand zum Steg der aufgezwungenen Verformung entzieht, wurde die mitwirkende Plattenbreite eingeführt. In diesem Bereich wird die komplexe Form der Druckverteilung zu einer mit konstantem Verlauf vereinfacht.

Bei der Bemessung von Plattenbalken können abhängig von der Lage der Spannungsnulllinie unterschiedliche Fälle unterschieden werden.

Ist die Druckzonenhöhe kleiner als die Höhe der Platte befindet sich die gesamte Druckzone in der Platte und ist somit rechteckförmig (). Die Bemessung kann wie für Rechteckquerschnitte durchgeführt werden, als Querschnittsbreite ist die mitwirkende Plattenbreite anzusetzen.

Lage der Spannungsnulllinie in der Platte

Übersteigt die Druckzonenhöhe die Plattenhöhe, ist die Druckzone nicht mehr rechteckförmig ( (wobei ...Plattenhöhe)). Dies muss in der Bemessung berücksichtigt werden. Für diesen Fall stehen gesonderte Bemessungshilfsmittel zur Verfügung.

Lage der Spannungsnulllinie im Steg (positive Momente)

In Bereichen mit negativen Momenten befindet sich die Druckzone im Steg. Es ergibt sich eine rechteckförmige Druckzone, die Bemessung kann wie für Rechteckquerschnitte durchgeführt werden, als Querschnittsbreite ist die Stegbreite anzusetzen. Wenn die bezogene Druckzonenhöhe wie von der Norm gefordert auf 0,45 begrenzt wird, kann der Vergleich der Steghöhe mit der Druckzonenhöhe entfallen, da die Steghöhe in der Regel größer als die Plattenhöhe ist und dadurch von vornherein davon ausgegangen werden kann, dass die Druckzone ganz im Steg liegt.

Lage der Spannungsnulllinie im Steg (negative Momente)

Bemessungshilfsmittel

Allgemeines Bemessungsdiagramm

Der Eingangswert für das allgemeine Bemessungsdiagramm ist das bezogene Moment, es handelt sich dementsprechend um eine dimensionsloses Bemessungshilfsmittel. Aufgrund dessen kann das allgemeine Bemessungsdiagramm auch für andere Stahlsorten als B500 verwendet werden.

Allgemeines Bemssungsdiagramm

Bei der Verwendung des allgemeinen Bemessungsdiagramms ist zu beachten, dass es unterschiedliche Diagramme für normalfeste und hochfeste Betone gibt.

Bei diesem Bemessungshilfsmittel ist die Genauigkeit der Bemessungsergebnisse geringer als beim - und -Verfahren, da die Ablesegenauigkeit beschränkt ist.

Rechteckquerschnitt ohne Druckbewehrung

Abgelesen werden können die Stahldehnung, die Betonstauchung, die bezogene Druckzonenhöhe und der bezogene Hebelarm der inneren Kräfte.

Mithilfe der Stahldehnung lässt sich die Stahlspannung ermitteln. Mit dieser kann in einem nächsten Schritt die erforderliche Bewehrungsmenge ermittelt werden.


wobei:

… Bemessungswert der Stahlspannung der Zugbewehrung(entspricht bei Verwendung des horizontalen Asts der Stahlkennlinie der Bemessungszugfestigkeit)


Beispiel

Rechteckquerschnitt mit Druckbewehrung

Verwendet man für die Ermittlung des bezogenen Moments das Grenzmoment, ist auch die Bemessung von Rechteckquerschnitten mit Druckbewehrung möglich. Zusätzlicher Eingagnswert ist das Verhältnis , zusätzlicher Ablesewerte ist die Stauchung der Druckbewehrung.

Die Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsflächen erfolgt mit den folgenden Gleichungen:


wobei:

… Bemessungswert der Stahlspannung der Druckbewehrung (entspricht i.d.R. der Bemessungszugfestigkeit)


Beispiel

-Verfahren

Das -Verfahren stellt die tabellarische Umsetzung des allgemeinen Bemessungsdiagramms dar. Die Ablesewerte können entweder auf der sicheren Seite liegend aufgerundet oder interpoliert werden. Durch die Interpolation werden genauere Ergebnisse im Vergleich zum allgemeinen Bemessungsdiagramm erzielt.

Eingangswert ist das bezogene Moment, es handelt sich dementsprechend um ein dimensionsloses Bemessungshilfsmittel.Da alle Eingangswerte dimensionslos sind, kann das -Verfahren auch für andere Stähle als B500 verwendet werden, allerdings sind die angegebenen Stahlspannungen dann nicht mehr gültig.

Zusätzlich zu den anderen bezogenen Größen wird der mechanische Bewehrungsgrad eingeführt. Dieser wird für die Ermittlung der Bewehrung ermittelt.

Bei der Verwendung des -Verfahrens ist darauf zu achten, dass es unterschiedliche Tafeln für normalfeste und hochfeste Betone gibt.

Rechteckquerschnitt ohne Druckbewehrung

Neben dem mechanischen Bewehrungsgrad können auch die bezogene Betondruckzonenhöhe, der bezogene Hebelarm der inneren Kräfte, die Betonstauchung und die Stahldehnung abgelesen werden. Außerdem können auch die Stahlspannungen abgelesen werden, die sich für einen B500 ergeben. Dabei sind die Stahlspannungen beruhend auf der Spannungs-Dehnungs-Linie mit horizontalem und geneigtem Ast ablesbar.


wobei:

… mechanischer Bewehrungsgrad


Beispiel

Rechteckquerschnitt mit Druckbewehrung

Für die Bemessung von Rechteckquerschnitten mit Druckbewehrung stehen gesonderte Bemessungstafeln zur Verfügung. Zusätzliche Eingangswerte sind das Verhältnis und die angestrebte bezogene Druckzonenhöhe.

Außerdem müssen für unterschiedliche Stahlsorten und Teilsicherheitsbeiwerte des Stahls unterschiedliche Tafeln verwendet werden.

Abgelesen werden können der mechanische Zugbewehrungsgrad und der mechanische Druckbewehrungsgrad, mit welchen die Ermittlung der Querschnittsfläche der Druck- und Zugbewehrung möglich ist.

Beispiel

Plattenbalkenquerschnitte

Auch für Plattenbalkenquerschnitte stehen gesonderte Bemessungstafeln zur Verfügung. Diese sind grundsätzlich zu verwendet, wenn die Druckzone des Plattenbalkens nicht rechteckförmig ist, können aber auch für Plattenbalken mit einer rechteckförmigen Druckzone verwendet werden.

Für unterschiedliche Stahlsorten und Teilsicherheitsbeiwerte des Stahls müssen unterschiedliche Tafeln verwendet werden. Außerdem wird hier nur der vereinfachte horizontale Verlauf der Spannungs-Dehnungslinie des Stahls verwendet.

Eingangswerte sind neben dem bezogenen Moment das Verhältnis der Plattenhöhe zur statischen Nutzhöhe und das von mitwirkender Plattenbreite zu Stegbreite. Ablesewert ist der mechanische Bewehrungsgrad .

Die Anordnung von Druckbewehrung in Plattenbalken kann mit diesem Bemessungshilfsmittel nicht berücksichtigt werden.

Die Ermittlung der Bewehrung erfolgt wie gewohnt mit . Die für die Bemessung verwendete Querschnittsbreite ist die mitwirkende Plattenbreite.


wobei:

… mitwirkende Plattenbreite


Beispiel

-Verfahren

Bei dem -Verfahren handelt es sich um ein dimensionsgebundenes Verfahren, bei der Ermittlung von und ist daher unbedingt auf die Verwendung der richtigen Einheiten zu achten. Eingangswerte bei Verwendung der Bemessungstafeln ist neben die Betonfestigkeitsklasse.

Auch hier stehen wieder Bemessungstafeln getrennt für normalfesten und hochfesten Beton zur Verfügung. Diese Tafeln gelten ebenfalls für eine bestimmte Stahlsorte und einen bestimmten Teilsicherheitsbeiwert für den Stahl.

Die Ablesewerte sind entweder auf der sicheren Seite liegend aufzurunden oder für genauere Ergebnisse zu interpolieren.

Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung

Abgelesen werden können , die bezogene Druckzonenhöhe, der bezogene Hebelarm der inneren Kräfte sowie die Stauchung des Betons und die Dehnung der Zugbewehrung.

Die Ermittlung der Querschnittsfläche der Zugbewehrung erfolgt mithilfe von .

Beispiel

Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung

Die Bemessung von Rechteckquerschnitten mit Druckbewehrung mit dem -Verfahren ist möglich, hierfür werden die zusätzlichen Beiwerte , und eingeführt.

Zusätzlicher Eingangswert ist die angestrebte bezogene Druckzonenhöhe. Für die Ablesung von und wird außerdem das Verhältnis von benötigt. Die Ablesewerte sind ,, und .

Die Querschnittsfläche der Zugbewehrung kann mithilfe von und , die der Druckbewehrung mithilfe von und ermittelt werden.

Beispiel

Gleichungen für eine Handrechnung bzw. eine computerbasierte Lösung

parabel-rechteck-förmiger Verlauf der Druckspannungen (iterative Lösung)

Ziel der Bemessung ist, dass das aufnehmbare Moment mindestens so groß wie das einwirkende Moment ist. Es wird nur die iterative Berechnung von Rechteckquerschnitten ohne Druckbewehrung näher betrachtet. Eine Abwandlung der Gleichungen für Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung und Plattenbalken unter der Berücksichtigung der geänderten Umstände ist möglich.

Wird der Drehpunkt in den Angriffspunkt der Stahlzugkraft bzw. der Betondruckkraft gelegt, ergibt sich das aufnehmbare Moment wie folgt.


wobei:

… Stahlzugkraft
… Betondruckkraft


Da die Bewehrungsquerschnittsfläche nicht bekannt ist wird im Weiteren mit der Betondruckkraft weiter gerechnet.

Die Betondruckkraft und der Hebelarm der inneren Kräfte können mit den folgenden Gleichungen ermittelt werden.


wobei:

… Völligkeitsgrad
… Druckzonenhöhe



wobei:

… Abstand der inneren Druckkraft
… Höhenbeiwert


Sowohl der Hebelarm der inneren Kräfte als auch die Betondruckkraft ist abhängig von der Stahldehnung bzw. der Betonstauchung. Diese werden im Weiteren so lange variiert, bis das Gleichgewicht zwischen innerem und äußerem Moment gegeben ist. Wenn die maßgebende Versagensform das Stahlversagen ist, entspricht die Stahldehnung der Bruchdehnung und die Betonstauchung wird variiert. Wird Betonversagen maßgebend, wird entspricht die Stauchung des Betons der Bruchstauchung und die Stahldehnung wird variiert.

Nach Abschluss der Iteration lässt sich die Querschnittsfläche der Zugbewehrung mit den folgenden Gleichungen ermitteln.

Kontrollieren lässt sich das Bemessungsergebnis durch Aufstellen des Gleichgewichts der horizontalen Kräfte.


rechteckförmiger Verlauf der Druckspannungen (geschlossene Lösung)

Gemäß DIN EN 1992-1-1[5] kann neben einer parabel-rechteck-förmigen auch eine rechteckförmige Spannungsverteilung in der Druckzone für die Bemessung verwendet werden. Vorteil der Verwendung des Spannungsblocks für die Bemessung ist, dass eine geschlossene Lösung möglich ist. Hierdurch ist eine einfache Handrechnung ohne Bemessungshilfsmittel möglich ist.

Für die Verwendung des Spannungsblocks werden folgende Beiwerte eingeführt[5].

1,00 0,80

Die Bemessung kann mit den folgenden Gleichungen erfolgen.

Quellen

  1. ↑ Wommelsdorff,O., Albert,A., Fischer,J., Stahlbetonbau-Bemessung und Konstruktion Teil 1, 11. Auflage, Köln: Bundesanzeiger Verlag, 2017
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 Zilch,K., Zehetmaier,G., Bemessung im konstruktiven Betonbau, 2. Auflage, Berlin/Heidelberg: Springer Verlag, 2006
  3. ↑ DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 Albert,A., Bautabellen fü Ingenieure, Auflage 26, Bundesanzeigerverlag, 2024
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 DIN EN 1992-1-1, Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2011
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