Verankerungslänge

Die Verankerungslänge bezeichnet den Abschnitt am Ende eines Bewehrungsstabes, in dem die am Beginn der Verankerungslänge wirkende Zug- oder Druckkraft vollständig über Verbund in den Beton eingeleitet wird. Die Sicherstellung einer ausreichenden Verankerungslänge gehört zu den notwendigen Nachweisen eines Bauteils und gliedert sich in den Arbeitsabschnitt "konstruktive Durchbildung der Bewehrung" ein.

Allgemeine Informationen

Verbund zwischen Beton und Stahl

Kraftübertragung zwischen Beton und Stahl

Die Übertragung von Kräften zwischen Beton und Bewehrungsstahl erfolgt über den Verbund zwischen beiden Materialien. Der gerippte Stahl überträgt durch Form- und Kraftschluss Belastung an den Beton. Von den Rippen strahlen kegelförmig Druckspannungskomponenten in den Beton aus. Aus Gleichgewichtsgründen bilden sich ab einem gewissen Punkt Zugspannungsringe senkrecht zur Stabachse. Damit sich diese Zugringe bilden können, muss eine ausreichende Betondeckung vorhanden sein. Eine zu geringe Betondeckung oder ein zu geringer Stababstand können Längsrisse parallel zur Stabachse zur Folge haben und damit die Verbundwirkung beeinträchtigen.

Die Stärke des Verbunds wird mit der Verbundspannung $f_{bd}$ bezeichnet. Sie wird berechnet mit

$f_{bd}=2,25\cdot \eta _{1}\cdot \eta _{2}\cdot {\frac {f_{ctk;0,05}}{\gamma _{c}}}$

wobei:

$\eta _{1}$	ein Beiwert für die Verbundbedingungen
$\eta _{2}$	ein Beiwert für große Stabdurchmesser
$f_{ctk;0,05}$	der 5 %-Quantil-Wert der charakteristischen Betonzugfestigkeit
$\gamma _{c}$	der Teilsicherheitsbeiwert für die Betonfestigkeit

Der Beiwert $\eta _{1}$ beschreibt die Verbundbedingungen der Verankerung. Dabei gilt

$\eta _{1}=1,0$	für gute Verbundbedingungen
$\eta _{1}=0,7$	für mäßige Verbundbedingungen

Vereinfacht betrachtet befinden sich überwiegend horizontal angeordnete Bewehrungsstäbe im oberen Bereich eines Bauteils im mäßigen Verbund, weil während des Rüttelns Luft und Wasser im Beton nach oben transportiert werden und sich unter oben liegenden Stäben ansammeln können. Nach der Aushärtung des Betons bilden sich hier Poren oder Ablösungen, so dass der Verbund zwischen Beton und Stahl in diesem Bereich beeinträchtigt ist. Genaue Festlegungen zu gutem und mäßigen Verbund finden sich in EC 2, 8.4.2.

Der Beiwert $\eta _{2}$ berücksichtigt sehr große Stabdurchmesser. Ab einem Grenzwert von Ø_s = 32 mm nimmt die Verbundfestigkeit bei sonst gleich bleibenden Bedingungen ab. Der Beiwert wird berechnet mit

$\eta _{2}=1,0$	für Øs ≤ 32 mm
$\eta _{2}=(132-\varnothing _{s})/100$	für Øs > 32 mm

Die Zugfestigkeit $f_{ctk;0,05}$ ist auf die Betondruckfestigkeit $f_{ck}$ zurückführbar. Am einfachsten ist es daher, Tabellen zu benutzen, aus denen die Zugfestigkeit $f_{ctk;0,05}$ bzw. die Verbundfestigkeit $f_{bd}$ in Abhängigkeit von $f_{ck}$ ablesbar sind.

Kleine Herleitung der Verankerungslänge

Im Zuge der Bemessung eines Bauteils wird die nötige Bewehrung bereichsweise für die jeweils maximalen auftretenden Schnittgrößen bestimmt. In der anschließenden konstruktiven Durchbildung wird dann zum Beispiel im Rahmen der Zugkraftdeckung die ermittelte Zugbewehrung dem tatsächlichen Momentenverlauf angepasst und abgestuft. Die so entstehenden Stabenden können nicht direkt an dem Punkt, an dem sie rechnerisch nicht mehr benötigt werden, enden. Vielmehr muss die an diesem Punkt noch im Stab vorhandene Zugkraft im Beton „verankert“ werden, weshalb dieser zusätzliche Stababschnitt als Verankerungslänge $l_{b}$ bezeichnet wird.

Verlauf der Verbundspannungen

Zur Ermittlung der Verankerungslänge wird die zwischen Stahl und Beton wirkende Verbundspannung vereinfachend als konstant angenommen, eine Gegenüberstellung mit dem tatsächlichen Verlauf ist im Bild rechts dargestellt. Der Unterschied zwischen Gebrauchszustand (Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit) und Bruchzustand (Grenzzustand der Tragfähigkeit) erklärt sich hierbei über das Tragverhalten des Betons. Bei niedriger Beanspruchung ist der Beton an der Stelle der Lasteinleitung ungeschädigt und die Verbundspannung dementsprechend hoch. Erhöht sich die Belastung, so wird der Beton zunächst an der Lasteinleitungsstelle geschädigt (plastisch deformiert), wodurch sich die Verbundspannung in die vorher weniger beanspruchten Bereiche umlagert. In der Berechnung wird dieses komplexe Umlagerungsverhalten nicht berücksichtigt und die Verbundspannung wird als konstant angesetzt.

Grundlage der Verankerungslänge

In der dargestellten Skizze muss die Zugkraft $F_{sd}$ vom Stab in den Beton mittels Verbundspannung übertragen werden. Aus Gleichgewichtsgründen gilt nun, dass die Zugkraft $F_{sd}$ kleinergleich der Verbundfestigkeit $f_{bd}$ multipliziert mit der Mantelfläche des Stabes $l_{b}\cdot u$ sein muss, also:

$F_{sd}=f_{bd}\cdot l_{b}\cdot u$

Der Umfang des Bewehrungsstabes wird berechnet mit

$u=\pi \cdot \varnothing _{s}$

Die Gleichung für $F_{sd}$ umgestellt nach der benötigten ("required") Verankerungslänge ergibt

$l_{b,rqd}={\frac {F_{sd}}{\pi \cdot \varnothing _{s}\cdot f_{bd}}}$

Die bisher unbekannte Zugkraft $F_{sd}$ ist das Produkt von Stahlspannung $\sigma _{sd}$ und Bewehrungsfläche $A_{s}$. Die Bewehrungsfläche eines Stabs ist $A_{s}={\frac {\pi }{4}}\cdot \varnothing _{s}^{2}$. Eingesetzt in die Gleichung der Verankerungslänge ergibt sich

$l_{b,rqd}={\frac {{\frac {\pi }{4}}\cdot \varnothing _{s}^{2}\cdot \sigma _{sd}}{\pi \cdot \varnothing _{s}\cdot f_{bd}}}={\frac {\varnothing _{s}}{4}}\cdot {\frac {\sigma _{sd}}{f_{bd}}}$

Die Stahlspannung entspricht der Auslastung des Stahls in Relation zum Bemessungswert der Festigkeit an der Streckgrenze $f_{yd}$ und kann berechnet werden als

$\sigma _{sd}=f_{yd}\cdot {\frac {A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}}$

Formen und Beiwerte der Verankerungslänge

Grundwert der Verankerungslänge

Der Grundwert der Verankerungslänge $l_{b,rqd}$ ist abhängig von drei Größen: dem Stabdurchmesser $\varnothing _{s}$, der Stahlspannung ${\sigma }_{sd}$ und der Verbundfestigkeit $f_{bd}$. Für eine kurze Verankerungslänge sorgen kleine Stabdurchmesser, eine geringe Stahlspannung und hohe Verbundfestigkeit. Die Formel zur Bestimmung von $l_{b,rqd}$ lautet

$l_{b,rqd}={\frac {\varnothing _{s}}{4}}\cdot {\frac {{\sigma }_{sd}}{f_{bd}}}$

Bemessungswert der Verankerungslänge

Der Bemessungswert der Verankerungslänge $l_{bd}$ misst die Länge vom Beginn der Verankerungslänge bis zum Stabende. Die Formel hierfür ist

$l_{bd}={\alpha }_{1}\cdot {\alpha }_{3}\cdot {\alpha }_{4}\cdot {\alpha }_{5}\cdot l_{b,rqd}$

Ersatzverankerungslänge

Alternativ zur Bestimmung der tatsächlichen, gegebenenfalls gebogenen Verankerungslänge $l_{bd}$ kann vereinfacht die gerade Stablänge $l_{b,eq}$ ermittelt werden. Die Formel hierfür lautet

$l_{b,eq}={\alpha }_{1}\cdot {\alpha }_{4}\cdot {\alpha }_{5}\cdot l_{b,rqd}$

Die Ermittlung von $l_{b,eq}$ ist üblich für die Mehrzahl der Fälle der Ermittlung der Verankerungslänge. Lediglich dort, wo die Verankerungslänge unmittelbar an der Stelle der Biegung beginnt, wird auf $l_{bd}$ zurückgegriffen.

Beiwerte der Verankerungslänge

Bei der Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge $l_{bd}$ oder der Ersatzverankerungslänge $l_{b,eq}$ aus dem Grundwert der Verankerungslänge $l_{b,rqd}$ kommen einige Beiwerte zum Einsatz. Diese sind wie folgt:

Beiwert	Bedeutung
${\alpha }_{1}$	- Beiwert für Formgebung
${\alpha }_{2}$	- Beiwert für Mindestbetondeckung
${\alpha }_{3}$	- Beiwert für nicht angeschweißte Querbewehrung
${\alpha }_{4}$	- Beiwert für angeschweißte Querbewehrung
${\alpha }_{5}$	- Beiwert für Querdruck

Übersicht über die Beiwerte

Beiwert für die Formgebung

${\alpha _{1}}$ - Formgebung:

Bei bestimmten Stabenden gilt ${\alpha }_{1}=0,7$, da die Zugkraft durch das Aufbiegen auf einer kürzeren horizontalen Länge abgetragen werden kann. Die an der Krümmung entstehenden Spaltzugkräfte müssen durch hinreichende Betondeckung und Stababstände kompensiert werden, hier ist $c_{d}>3\emptyset _{s}$ festgelegt. Alternativ können die Spaltzugkräfte auch durch Querdruck oder enge Verbügelung im Verankerungsbereich (Bügelabstand < 50 mm) aufgenommen werden.

Bei der Verwendung von Schlaufen besteht zusätzlich die Möglichkeit, unter Einhalten von $c_{d}>3\emptyset _{s}$ und eines Biegerollendurchmessers $D\geq 15\emptyset _{s}$, den Beiwert auf ${\alpha }_{1}=0,5$ zu reduzieren.

Druckstäbe sind immer mit geradem Stabende zu verankern.

Abstand cd für Balken und Platten

${\alpha _{2}}$ - Mindestbetondeckung:

Der Beiwert für die Mindestbetondeckung erlaubt theoretisch eine Reduzierung auf

${\alpha }_{2}=max\left\{{\begin{matrix}1-{\frac {0,15\cdot (c_{d}-\emptyset _{s})}{\emptyset _{s}}}\\0,7\end{matrix}}\right\}\leq 1,0$

In Deutschland ist dieser Beiwert aus der Formel zur Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge gestrichen. Der Grund hierfür liegt in den möglichen Versagensfällen bei ungenügender Verankerungslänge. Diese sind das Herausziehen des Stabes und die Bildung von Spaltrissen im Beton. Eine hinreichende Betondeckung und ein genügender Stababstand erhöhen die Sicherheit gegen Spaltrisse, aber nicht gegen das Herausziehen. Somit würde der Beiwert eine Sicherheit vermitteln, die er gar nicht erzeugt.

${\alpha _{3}}$ - Nicht angeschweißte Querbewehrung:

Werte für K für Balken und Platten

Der Beiwert ${\alpha }_{3}$ betrachtet den günstigen Einfluss einer nicht angeschweißten Querbewehrung im Verankerungsbereich. Dieser gilt allerdings nur, wenn die verwendete Querbewehrungsmenge die Mindestquerbewehrungsmenge übersteigt. Bestimmt wird der Beiwert mit

${\alpha }_{3}=max\left\{{\begin{matrix}1-K\cdot \lambda \\0,7\end{matrix}}\right\}\leq 1,0$

Dabei ist

$\lambda$	$=(\sum A_{st}-\sum A_{st,min})/A_{s}$
$\sum A_{st}$	die Querschnittsfläche der Querbewehrung innerhalb der Verankerungslänge
$\sum A_{st,min})$	die Querschnittsfläche der Mindestbewehrung
$A_{s}$	die Querschnittsfläche des größten einzelnen verankerten Stabs
$K$	Beiwert entsprechend des Bildes

Für Druckstäbe gilt generell $\alpha _{3}=1,0$.

${\alpha _{4}}$ - Angeschweißte Querstäbe:

Angeschweißter Querstab

Unter bestimmten Vorgaben kann einer oder mehrere angeschweißte Querstäbe die benötigte Verankerungslänge reduzieren. Werden die angegebenen Bedingungen eingehalten, so gilt sowohl für Zug- als auch für Druckstäbe $\alpha _{4}=0,7$.

${\alpha _{5}}$ - Querdruck:

Der Beiwert $\alpha _{5}$ betrachtet den Einfluss von Querdruck oder -zug im Verankerungsbereich. Unter Annahme eines Querdrucks $p$ senkrecht zur Verankerungsebene berechnet sich der Beiwert als

$\alpha _{5}=max\left\{{\begin{matrix}1-0,04\cdot p\\0,7\end{matrix}}\right\}$

Für bestimmte Situationen gibt es festgelegte Werte für $\alpha _{5}$:

$1,5$	- bei Querzug senkrecht zur Verankerungsebene
$2/3$	- bei direkter Lagerung
$2/3$	- bei einer allseitig durch Bewehrung gesicherten Betondeckung von mindestens $10\cdot \emptyset _{s}$

Mindestverankerungslänge

Für Zugstäbe ist die Mindestverankerungslänge definiert als

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}0,3\cdot {\alpha }_{1}\cdot {\alpha }_{4}\cdot {\alpha }_{5}\cdot \left({\frac {\emptyset _{s}}{4}}\cdot {\frac {f_{yd}}{f_{bd}}}\right)\\10\cdot {\alpha }_{5}\cdot \emptyset _{s}\end{matrix}}\right\}$

Für Druckstäbe gilt

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}0,6\cdot {\alpha }_{1}\cdot {\alpha }_{4}\cdot {\alpha }_{5}\cdot \left({\frac {\emptyset _{s}}{4}}\cdot {\frac {f_{yd}}{f_{bd}}}\right)\\10\cdot {\alpha }_{5}\cdot \emptyset _{s}\end{matrix}}\right\}$

Am Zwischenauflager gilt in Deutschland vereinfachend

$l_{b,min}=6\cdot \emptyset _{s}$

Randzugkraft

Zugkraftdeckungslinie

Die Verankerungslänge wird für alle Stabenden bestimmt. Die Position dieser Enden ergibt sich aus der Biegebemessung des Bauteils. Da die Biegebemessung auf vereinfachenden Annahmen beruht, wie der Reduktion des gesamten Bauteils auf seine Achse oder die getrennte Betrachtung von Moment und Querkraft, sind an den Stabenden noch Zugkräfte im Stab vorhanden. Diese Randzugkraft $F_{sd}$ kann aus der Differenz zwischen der genaueren Bemessung nach dem Fachwerkmodell und der bereits erfolgten Biegebemessung ermittelt werden, dies geschieht im Rahmen der Zugkraftdeckung.

Ermittlung der Randzugkraft mit Querkraft

Die Differenz wird berechnet mit

$F_{sd}=|V_{Ed}|\cdot a_{L}/z+N_{Ed}$

Das Versatzmaß $a_{L}$ ist die horizontale Verschiebung von der Zugkraftlinie nach Biegebemessung zur Zugkraftlinie nach Fachwerkmodell. Die Formel lautet

$a_{L}=z\cdot (cot\theta -cot\alpha )/2$	- für Bauteile mit Querkraftbewehrung
$a_{L}=d$	- für Bauteile ohne Querkraftbewehrung

Bei diesem Ansatz spielt die Querkraft eine entscheidende Rolle. Damit ist er anwendbar im Bereich größerer Querkraft, wie in der Nähe einer Einzellast oder Auflagerkraft. Nicht in allen Situationen der Bestimmung der Verankerungslänge ist eine solche, nennenswerte Querkraft vorhanden. Für diese Fälle ist die Randzugkraft nach dem folgenden Ansatz zu ermitteln.

Ermittlung der Randzugkraft durch Verschieben der Momentenlinie

Detail Endauflager

Die Randzugkraft kann auch durch Verschieben beziehungsweise Verlängern der Belastung um das Versatzmaß $a_{L}$ nach außen ermittelt werden. Das nebenstehende Bild zeigt den Rand eines Einzelfundaments. Die Verankerungslänge beginnt am Anfang der Biegung des Stabs, im Abstand $x_{0}$ vom Rand. Belastet wird das Einzelfundament an dieser Stelle durch den Sohldruck, hier eine von unten drückende Streckenlast. Diese Streckenlast wird nun zur Ermittlung der Randzugkraft um das Versatzmaß $a_{L}$ nach außen verlängert. Das Moment an der Stelle $x_{0}$ berechnet sich dann als

$M_{Ed,x0}={\frac {p_{Ed}\cdot (x_{0}+a_{L})^{2}}{2}}$

Aus dem Moment berechnet sich die Randzugkraft mit

$F_{sd}={\frac {M_{Ed,x0}}{z}}$

Ab hier können nach den üblichen Regeln die benötigte Bewehrung $A_{s,erf}$, Stahlspannung $\sigma _{sd}$ und dann die Verankerungslänge $l_{b,rqd}$ berechnet werden.

Zu beachten ist, dass bei diesem Ansatz zur Bestimmung der Verankerungslänge nicht die Ersatzverankerungslänge $l_{b,eq}$ bestimmt werden kann, da für diese eine hinreichende Vorlänge zwischen Beginn der Verankerungslänge und Beginn der Biegung vorhanden sein muss. Stattdessen muss hier der Bemessungswert der Verankerungslänge $l_{bd}$ berechnet werden.

Die Entfernung $x_{0}$ berechnet sich aus der Geometrie des Bauteils heraus als

$x_{0}=D_{min}/2+\emptyset _{s}+c_{nom}$

Nachweis-Situationen der Verankerungslänge

Die verschiedenen Situationen der Verankerungslänge unterscheiden sich vor allem in der Ermittlung der erforderlichen Bewehrungsmenge an der jeweiligen Stelle. Darüber hinaus gelten gegebenenfalls besondere Regeln für die Bestimmung von $l_{bd}$, $l_{b,eq}$ und $l_{b,min}$.

Verankerung am Endauflager

Am Endauflager wird die zu verankernde Zugkraft maßgeblich durch die einwirkende Querkraft bestimmt. Die Formel zur Berechnung lautet

$F_{sd}=V_{Ed}\cdot {\frac {a_{L}}{z}}+N_{Ed}\geq {\frac {V_{Ed}}{2}}$

Am Endauflager kann vereinfachend $V_{Ed}=Auflagerkraft$ angesetzt werden. Aus der Randzugkraft wird die benötigte Bewehrung berechnet werden als

$A_{s,erf}={\frac {F_{sd}}{f_{yd}}}$

Die Verankerungslänge am Endauflager beginnt an der Auflagerkante. Die Verankerung muss mindestens bis zur rechnerischen Auflagerlinie des statischen Systems reichen. Außerdem müssen mindestens 25 % der Feldbewehrung bis ins Auflager geführt und dort verankert werden.

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager

Verankerung am Zwischenauflager

Die am Zwischenauflager endende Feldbewehrung liegt im Druckbereich. Deshalb ist sie in vielen Fällen rechnerisch nicht nötig, es gilt $A_{s,erf}=0$, gleiches gilt damit auch für ${\sigma }_{sd}$ und $l_{b,rqd}$. Aus diesem Grund ist am Zwischenauflager $l_{b,min}$ maßgeblich, die außerdem auf $l_{b,min}=6\cdot \emptyset _{s}$ reduziert wird. Die Verankerungslänge am Zwischenauflager beginnt an der Auflagerkante.

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager

Verankerung außerhalb von Auflagern

Abseits der Auflager eines Balkens enden Bewehrungsstäbe im Kontext der Zugkraftdeckung. Bei dieser sind erforderliche und vorhandene Bewehrung an der jeweiligen Stelle unmittelbar bekannt. Damit kann die Bestimmung der Verankerungslänge ohne besondere Regeln durchgeführt werden.

Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern

Verankerung am Kragarmende

Für die Verankerungslänge am Kragarmende gibt es keine expliziten Berechnungsvorschriften. Sie wird in der Regel in der Literatur nicht nachgewiesen. Die Bewehrung wird in der Regel am Kragarmende abgebogen, bei der Länge des Winkelhakenschenkels gehen verschiedene Programme aber unterschiedlich vor. Eine konkrete Möglichkeit der Berechnung ist der Ansatz über das Verschieben der Momentenlinie.

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende

Verankerung am Rand von Einzelfundamenten

Für die Verankerung der Bewehrung am Rand von Einzelfundamenten bietet der EC 2 ein eigenes Berechnungsmodell. Dieses Modell findet in der Praxis kaum Anwendung, da es nur für gerade Stabenden benutzbar ist. Im Allgemeinen wird die Bewehrung am Rand von Einzelfundamenten aber als ein Winkelhaken mit konstruktivem Querstab am Ende ausgebildet. Um für diese Konstruktion die Verankerungslänge zu bestimmen, kann wie beim Kragarmende der Ansatz über das Verschieben der Momentenlinie genutzt werden.

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten

Verankerung an Konsolen

Die Zugkräfte in Konsolen werden generell über eine bis drei Schlaufen aufgenommen. Die Verankerung dieser Zugbewehrung unter der Last in Konsolen gleicht dem Ablauf am Endauflager, da sich die beiden Situationen ähneln. Bei der Bemessung von Konsolen wird die benötigte Bewehrungsmenge unmittelbar an der zu verankernden Stelle bestimmt, damit ist $A_{s,erf}$ bekannt. Zu beachten ist, dass die Verankerungslänge an Konsolen an der der Stütze zugewandten Seite beginnt.

Berechnungsbeispiel zur Verankerung an Konsolen

Quellen

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