Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.): Unterschied zwischen den Versionen
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[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]] | [[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]] | ||
Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden.<br/> | Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden.<br/> | ||
− | Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = " | + | Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. <br/> |
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann.<br/> | Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann.<br/> | ||
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" durchgeführt. | Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" durchgeführt. | ||
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Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden.<br/> | Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden.<br/> | ||
− | Es ist | + | Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend. |
== Lösung == | == Lösung == | ||
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{| class="wikitable" style="margin: auto;" | {| class="wikitable" style="margin: auto;" | ||
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1 | |+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1 | ||
− | <ref name = " | + | <ref name = "Q1"> </ref> |
|- | |- | ||
|rowspan="5"| | |rowspan="5"| | ||
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|- | |- | ||
|3 | |3 | ||
− | !rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 | + | !rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 <br/> |
XD1, XD2, XD3<sup>d)</sup> | XD1, XD2, XD3<sup>d)</sup> | ||
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression | |rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression | ||
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2 | |rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2 | ||
|- | |- | ||
− | |colspan="6"|<sup>a)</sup>Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und | + | |colspan="6"|<sup>a)</sup>Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden.<br/> |
− | <sup>b)</sup>Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. | + | <sup>b)</sup>Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen.<br/> |
− | <sup>c)</sup>Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. | + | <sup>c)</sup>Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen.<br/> |
<sup>d)</sup>Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein. | <sup>d)</sup>Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein. | ||
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{| class="wikitable" style="margin: auto;" | {| class="wikitable" style="margin: auto;" | ||
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert α<sub>E</sub> | |+style="text-align: left;" | Verhältniswert α<sub>E</sub> | ||
− | <ref name = " | + | <ref name = "Q2"> </ref> |
|- | |- | ||
|rowspan="2"| | |rowspan="2"| | ||
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Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu | Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu | ||
− | :: <math> E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} </math> | + | :: <math> E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} </math>. |
==== ''Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte'' ==== | ==== ''Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte'' ==== | ||
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:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math> | :: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math> | ||
− | Der Verhältniswert < | + | Der Verhältniswert α<sub>b</sub> ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu |
{| class="wikitable" style="margin: auto;" | {| class="wikitable" style="margin: auto;" | ||
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert α<sub>b</sub> | |+style="text-align: left;" | Verhältniswert α<sub>b</sub> | ||
− | <ref name = " | + | <ref name = "Q2"></ref> |
|- | |- | ||
|rowspan="2"| | |rowspan="2"| | ||
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|- | |- | ||
|1 | |1 | ||
− | |style="text-align: center;" |0,25 | + | |style="text-align: center; color:red" |0,25 |
− | |style="text-align: center;" |0,65 | + | |style="text-align: center; color:red" |0,65 |
|- | |- | ||
|2 | |2 | ||
− | |style="text-align: center;" |0,40 | + | |style="text-align: center; color:red" |0,40 |
− | |style="text-align: center;" |0,75 | + | |style="text-align: center; color:red" |0,75 |
|- | |- | ||
|3 | |3 | ||
Zeile 208: | Zeile 208: | ||
|} | |} | ||
− | :: <math> \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 </math> | + | :: <math> \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 </math>. |
Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um | Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um | ||
Zeile 214: | Zeile 214: | ||
:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K</math>. | :: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K</math>. | ||
− | Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand | + | Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit |
:: <math> k_{Tv} = 0,5 </math> für h < 0,5 m | :: <math> k_{Tv} = 0,5 </math> für h < 0,5 m | ||
Zeile 222: | Zeile 222: | ||
:: <math> T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K </math>. | :: <math> T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K </math>. | ||
− | Die Temperaturdifferenz beträgt | + | Die Temperaturdifferenz beträgt somit |
:: <math> \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} </math>. | :: <math> \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} </math>. | ||
Zeile 230: | Zeile 230: | ||
:: <math> \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 </math> | :: <math> \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 </math> | ||
− | ==== ''Ermittlung des | + | ==== ''Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen'' ==== |
:: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math> | :: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math> | ||
− | Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe von | + | Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von |
:: <math> \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 </math> | :: <math> \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 </math> | ||
Zeile 243: | Zeile 243: | ||
{| class="wikitable" style="margin: auto;" | {| class="wikitable" style="margin: auto;" | ||
− | |+style="text-align: left;" | Beiwert < | + | |+style="text-align: left;" | Beiwert k<sub>ct,d</sub> |
− | <ref name = " | + | <ref name = "Q2"></ref> |
|- | |- | ||
|rowspan="2"| | |rowspan="2"| | ||
Zeile 250: | Zeile 250: | ||
|style="text-align: center;" |2 | |style="text-align: center;" |2 | ||
|- | |- | ||
− | !Verhältnis L/H < | + | !Verhältnis L/H <sup>a)</sup> |
− | !Beiwert < | + | !Beiwert k<sub>ct,d</sub> |
|- | |- | ||
|1 | |1 | ||
− | |style="text-align: center;" | | + | |style="text-align: center; color:red" | ≤ 1 |
− | |style="text-align: center;" | | + | |style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,35 |
|- | |- | ||
|2 | |2 | ||
− | |style="text-align: center;" | | + | |style="text-align: center; color:red" | ≤ 2 |
− | |style="text-align: center;" | | + | |style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,50 |
|- | |- | ||
|3 | |3 | ||
− | |style="text-align: center;" | | + | |style="text-align: center;" | ≤ 3 |
− | |style="text-align: center;" | | + | |style="text-align: center;" | ≈ 0,60 |
|- | |- | ||
|4 | |4 | ||
− | |style="text-align: center;" | | + | |style="text-align: center;" | ≤ 4 |
− | |style="text-align: center;" | | + | |style="text-align: center;" | ≈ 0,70 |
|- | |- | ||
|5 | |5 | ||
− | |style="text-align: center;" | | + | |style="text-align: center;" | ≤ 6 |
− | |style="text-align: center;" | | + | |style="text-align: center;" | ≈ 0,85 |
|- | |- | ||
|6 | |6 | ||
− | |style="text-align: center;" | | + | |style="text-align: center;" | ≤ 8 |
− | |style="text-align: center;" | | + | |style="text-align: center;" | ≈ 0,95 |
|- | |- | ||
|7 | |7 | ||
− | |style="text-align: center;" | | + | |style="text-align: center;" | ≤ 10 |
− | |style="text-align: center;" | | + | |style="text-align: center;" | ≈ 1,00 |
|- | |- | ||
|8 | |8 | ||
− | |style="text-align: center;" | | + | |style="text-align: center;" | > 10 |
− | |style="text-align: center;" | | + | |style="text-align: center;" | = 1,00 |
|- | |- | ||
− | |colspan="3"|< | + | |colspan="3"|<sup>a)</sup> Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H |
|} | |} | ||
Zeile 292: | Zeile 292: | ||
:: <math> \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 </math>. | :: <math> \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 </math>. | ||
− | Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen durchgeführt werden. | + | Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σ<sub>ct,d</sub> durchgeführt werden. |
=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung === | === Abschätzen der erforderlichen Bewehrung === | ||
==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ==== | ==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ==== | ||
− | [[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung | + | [[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 6.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "Q2"> </ref> <br/>]] |
:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} </math> | :: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} </math> | ||
Zeile 304: | Zeile 304: | ||
::{| | ::{| | ||
− | | Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{ | + | | Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 10,0 cm^2/m </math> |
|- | |- | ||
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math> | |mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math> | ||
Zeile 313: | Zeile 313: | ||
|} | |} | ||
− | :: <math> | + | :: <math> a_s \approx a_{S,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 10,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,4 \cdot 40 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{7,30 cm^2/m} </math> |
=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung === | === Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung === | ||
==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ==== | ==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ==== | ||
− | |||
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) <br /> | :: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) <br /> | ||
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> <br /> | :: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> <br /> | ||
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math> | :: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math> | ||
− | |||
− | ==== '' | + | ==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ==== |
− | |||
::{| | ::{| | ||
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math> | | <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math> | ||
|- | |- | ||
− | | <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6, | + | | <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math> |
|- | |- | ||
| || <math> <30,0 </math> | | || <math> <30,0 </math> | ||
Zeile 337: | Zeile 334: | ||
<br /> | <br /> | ||
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math> | :: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math> | ||
− | |||
==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ==== | ==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ==== | ||
− | |||
::{| | ::{| | ||
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug | |<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug | ||
Zeile 346: | Zeile 341: | ||
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen. | |colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen. | ||
|- | |- | ||
− | |<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe h | + | |<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm. |
|} | |} | ||
− | |||
==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ==== | ==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ==== | ||
− | < | + | [[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q3"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]] |
+ | |||
:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm </math> | :: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm </math> | ||
<br /> | <br /> | ||
Zeile 362: | Zeile 357: | ||
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm</math> | :: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm</math> | ||
<br /> | <br /> | ||
− | :: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. | + | :: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt |
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{32mm} </math>. | :: <math> \varnothing_S^* = \underline{32mm} </math>. | ||
− | |||
==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ==== | ==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ==== | ||
− | |||
::{| | ::{| | ||
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math> | | <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math> | ||
Zeile 374: | Zeile 367: | ||
|} | |} | ||
<br /> | <br /> | ||
− | :: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180, | + | :: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180,62 N/mm^2} </math> |
− | < | + | Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden. |
==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ==== | ==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ==== | ||
− | + | ::{| | |
− | :: {| | + | | <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> |
− | |<math> a_{ | ||
|- | |- | ||
− | | || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180, | + | | || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180,62} </math> |
|- | |- | ||
| || <math> = 14,62 cm^2/m </math> | | || <math> = 14,62 cm^2/m </math> | ||
Zeile 388: | Zeile 380: | ||
<br /> | <br /> | ||
::{| | ::{| | ||
− | | <math> a_{ | + | | <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math> |
|- | |- | ||
− | | || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180, | + | | || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180,62} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{500} </math> |
|- | |- | ||
| || <math> = 14,86 cm^2/m </math> || <math> > 5,28 cm^2/m </math> | | || <math> = 14,86 cm^2/m </math> || <math> > 5,28 cm^2/m </math> | ||
|} | |} | ||
<br /> | <br /> | ||
− | Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen | + | Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen |
− | |||
:: <math> \underline{14,62 cm^2/m} </math> | :: <math> \underline{14,62 cm^2/m} </math> | ||
eingelegt werden. | eingelegt werden. | ||
Zeile 406: | Zeile 397: | ||
Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. <br/> | Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. <br/> | ||
− | :: <math> a_{ | + | :: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{14,62}{2} = 7,31 cm^2/m \approx 7,30 cm^2/m</math> |
− | Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer | + | Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden. |
− | :: <math> a_{ | + | :: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 7,31 cm^2/m < 7,54 cm^2/m</math> |
== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" == | == Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" == | ||
Zeile 416: | Zeile 407: | ||
Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer. | Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer. | ||
− | :: <math> a_{S,min} = 14,62cm^2/m < | + | :: <math> a_{S,min} = 14,62cm^2/m < 17,86 cm^2/m </math> |
− | = Quellen = | + | == Quellen == |
− | + | :''Fachliteratur / Normen'' | |
− | + | <references/> | |
− | |||
− | :''Fachliteratur'' | ||
− | <references | ||
<br /> | <br /> | ||
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Aktuelle Version vom 3. April 2019, 10:43 Uhr
Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung
Aufgabenstellung
Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden.
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1[1] und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" [2] empfohlen.
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann.
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" durchgeführt.
Vorgaben
Wandabmessungen L / H / h: 4,70 / 2,50 / 0,30 m Expositionsklasse: XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung Betonfestigkeitsklasse: C25/30 Betonzugfestigkeit: fctm = 2,6 N/mm2 Bewehrung aus der Statik: ø = 12 , s = 15 cm aS,1 = aS,2 = 7,54 cm2/m Betondeckung: cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm Elastizitätsmodul des Betons: Ecm = 31.000 N/mm2 Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons: αT = 10 ∙ 10-6 1/K Wärmekapazität des Betons: Cc0 = 2.500 kJ/(m3K) Temperatur der Sohlplatte: TF = 15°C Frischbetontemperatur: Tc0 = 18°C Zementmenge: z = 350 kg/m3 Hydratationswärme des Zementes: QH = 175 kJ/kg
Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden.
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.
Lösung
Ermittlung der zulässigen Rissbreite
Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben.
Somit beträgt die zulässige Rissbreite
- .
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
Expositionsklasse | Konstruktion | ||||
---|---|---|---|---|---|
Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund | Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund | Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund | |||
Einwirkungskombination | |||||
quasi-ständig | häufig | häufig | selten | ||
1 | X0, XC1 | 0,4a) | 0,2 | 0,2 | - |
2 | XC2, XC3, XC4 | 0,3 | 0,2b),c) | 0,2b) | |
3 | XS1, XS2, XS3 XD1, XD2, XD3d) |
Dekompression | 0,2 | ||
a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein. |
Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung
Ermittlung des Beiwertes k
Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.
Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls
Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmoduln wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.
1 | 2 | |
Betonalter | Verhältniswert αE = Ec,t / Ecm | |
---|---|---|
1 | 12 Stunden | 0,25 |
2 | 16 Stunden | 0,45 |
3 | 24 Stunden | 0,65 |
4 | 48 Stunden | 0,85 |
5 | 14 Tage | 1 |
Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu
- .
Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu
- .
Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte
Der Verhältniswert αb ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu
1 | 2 | |
Bauteildicke h [m] | Verhältniswert αb = ΔTb,H / ΔTth | |
---|---|---|
1 | 0,25 | 0,65 |
2 | 0,40 | 0,75 |
3 | 0,60 | 0,80 |
4 | 0,80 | 0,85 |
5 | 1,00 | 0,90 |
6 | 2,00 | 1,00 |
- .
Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um
- .
Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit
- für h < 0,5 m
zu
- .
Die Temperaturdifferenz beträgt somit
- .
Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung
Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen
Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von
ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von
- .
1 | 2 | |
Verhältnis L/H a) | Beiwert kct,d | |
---|---|---|
1 | ≤ 1 | ≈ 0,35 |
2 | ≤ 2 | ≈ 0,50 |
3 | ≤ 3 | ≈ 0,60 |
4 | ≤ 4 | ≈ 0,70 |
5 | ≤ 6 | ≈ 0,85 |
6 | ≤ 8 | ≈ 0,95 |
7 | ≤ 10 | ≈ 1,00 |
8 | > 10 | = 1,00 |
a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H |
Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu
- .
Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.
Abschätzen der erforderlichen Bewehrung
Festigkeits-Zeitbeiwert
Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm
Bewehrung aus dem Diagramm: mit
Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung
Betondeckung und statische Nutzhöhe
- (aus der Statik)
-
- (aus der Statik)
Wirkungsbereich der Bewehrung
mit
Ermittlung der Beiwerte
für reinen Zug Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen. Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
Ermittlung des Grenzdurchmessers
mit und
- Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
- .
Ermittlung der Stahlspannung
mit und
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1[1] angegebenen Tabelle abgelesen werden.
Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
eingelegt werden.
Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung
Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet.
Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.
Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)"
Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.
Quellen
- Fachliteratur / Normen
- ↑ 1,0 1,1 1,2 DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017
- ↑ Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016
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