Momenten-Krümmungs-Beziehungen

Die Momenten Krümmungs-Beziehungen beschreiben den Zusammenhang zwischen dem einwirkenden Moment und der dadurch auftretenden Krümmung.

trilineare Momenten-Krümmungs-Beziehungen

Allgemeines

Im Zustand I ist der Zusammenhang zwischen Momenten und Krümmungen linear. Durch die Rissbildung kommt es zu einer schlagarteigen Zunahme der Krümmungen. Im Zustand II sind die Krümmungen wieder annähernd linear. Die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen hat maßgeblich Einfluss auf die Größe der Krümmungen; durch diese nimmt die Stahldehnung zwischen den Rissen und somit auch die mittlere Krümmung deutlich ab .

Nach Überschreitung der Streckgrenze nimmt das Moment kaum noch, die Krümmungen allerdings noch deutlich zu bevor schlussendlich das Versagen des Bauteils eintritt und die Momenten-Krümmungs-Linie endet. Die maximal erreichbare Krümmung ist abhängig vom Grenzbewehrungsgrad. Dies ist der Punkt, an dem das Versagen vom Stahl- zum Betonversagen wechselt. Die maximale erreichbare Krümmung tritt direkt beim Grenzbewehrungsgrad auf, darüber bzw. darunter nehmen die Krümmungen ab, da nicht die maximal mögliche Betonstauchung bzw. Stahldehnung aktiviert wird. Der Grenzbewehrungsgrad ist abhängig von der Querschnittsgeometrie und der Betonfestigkeit.

Die Momenten-Krümmungs-Beziehungen lassen sich vereinfachend durch einen trilinearen Verlauf darstellen . Die kennzeichnenden Punkte sind dabei das Rissmoment, das Biegemoment bei Erreichen der Fließgrenze und das Bruchmoment. Für jeden Querschnitt mit abweichender Geometrie oder Bewehrungsmenge sind eigene Momenten-Krümmungs-Beziehungen zu berechnen.

In der Regel erfordern Nachweise im Zusammenhang mit den Momenten-Krümmungs-Beziehungen realitätsnahe Ergebnisse. Aufgrund dessen werden in der Regel die rechnerischen Mittelwerte der Festigkeiten für die Ermittlung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen verwendet.

$f_{cR}=0,85\cdot \alpha _{cc}\cdot f_{ck}$

$f_{yR}=1,1\cdot f_{yk}$

$f_{tR}=1,05\cdot f_{yR}$ (für B500A)

$f_{tR}=1,08\cdot f_{yR}$ (für B500B)

wobei:

$f_{cR}$ …	rechnerischer Mittelwert der Betondruckfestigkeit
$f_{ck}$ …	charakteristische Betondruckfestigkeit
$f_{yR}$ …	rechnerischer Mittelwert der Festigkeit an der Streckgrenze des Stahls
$f_{yk}$ …	charakteristischer Wert der Festigkeit an der Streckgrenze des Stahls
$f_{tR}$ …	rechnerischer Mittelwert Zugfestigkeit des Stahls
$\alpha _{cc}=0,85$ …	Faktor zur Berücksichtigung von Langzeiteinwirkungen

Berechnung

Erstrissbildung

Das Rissbildungsmoment kann mit der gewohnten Gleichung ermittelt werden

$M_{cr}={\frac {f_{ctm}\cdot I_{I}}{z_{I,c1}}}$

wobei:

$M_{cr}$ …	Rissbildungsmoment
$f_{ctm}$ …	mittlere Zugfestigkeit
$I_{I}$ …	Flächenträgheitsmoment im Zustand I
$z_{I,c1}$ …	Schwerachsenabstand bis zum Zugrand

Die erforderlichen Dehnungen lassen sich mit den folgenden Gleichungen ermitteln:

$\varepsilon _{c1,cr1}={\frac {f_{ctm}}{E_{cm}}}$

$\varepsilon _{c2,cr1}=-\varepsilon _{c1,cr1}\cdot {\frac {z_{I,c2}}{z_{I,c1}}}$

$\varepsilon _{s,cr1}=\varepsilon _{c1,cr1}\cdot {\frac {d-z_{I,c2}}{z_{I,c1}}}$

wobei:

$\varepsilon _{c1,cr1}$ …	Betondehnung am Zugrand im ungerissenen Zustand unter Rissschnittgrößen bei Erreichen von fctm
$\varepsilon _{c2,cr1}$ …	Betondehnung am Druckrand im ungerissenen Zustand unter Rissschnittgrößen bei Erreichen von fctm
$\varepsilon _{s,cr1}$ …	Stahldehnung im ungerissenen Zustand unter Rissschnittgrößen bei Erreichen von fctm
$E_{cm}$ …	mittleres Elastizitätsmodul
$z_{I,c2}$ …	Schwerachsenabstand bis zum Druckrand
$d$ …	statische Nutzhöhe

Die Krümmung am Punnkt der Erstrissbildung kann mithilfe der folgenden Gleichung berechnet werden:

$\kappa _{I}={\frac {\mid \varepsilon _{s,cr1}\mid +\mid \varepsilon _{c2,cr1}\mid }{d}}={\frac {\mid \varepsilon _{c1,cr1}\mid +\mid \varepsilon _{c2,cr1}\mid }{h}}$

wobei:

$\kappa _{I}$ …	Krümmung unter dem Rissbildungsmoment im ungerissenen Zustand
$h$ …	Bauteilhöhe

Krümmung im gerissenen Zustand bei Erreichen der Streckgrenze des Betonstahls

Das Streckgrenzenmoment ergibt sich, wenn bei der Biegebemessung die Stahldehnung der Dehnung an der Streckgrenze entspricht. Da den gewöhnlichen Bemessungshilfsmitteln (vgl. Biegebemessung) nicht die Dehnung an der Streckgrenze zugrunde liegt, sondern die bei Erreichen der Zugfestigkeit, sind diese Hilfsmittel für die Ermittlung des Streckgrenzenmoments nicht geeignet. Entweder ist eine iterative Berechnung ohne Bemessungshilfsmittel durchzuführen (vgl. Biegebemessung) oder es sind spezielle Bemessungstafeln zu verwenden z.B. die von Schmitz.

Ermittlung des Streckgrenzenmoments nach Schmitz

Die Gleichungen für die Ermittlung des Moments an der Streckgrenze und die Betonstauchung sind der beigefügten Tafel zu entnehmen. Die Stahldehnung ergibt sich mithilfe der folgenden Gleichungen:

$\varepsilon _{sy}={\frac {f_{yR}}{E_{s}}}$

wobei:

$\varepsilon _{sy}$ …	Stahldehung bei Erreichend der Streckgrenze
$E_{s}$ …	Elastizitätsmodul des Stahls

Die Krümmung kann mithilfe der folgenden Gleichung ermitelt werden:

$\kappa _{y}={\frac {\mid \varepsilon _{sy}\mid +\mid \varepsilon _{cy}\mid }{d}}$

wobei:

$\kappa _{y}$ …	Krümmung an der Streckgrenze
$\varepsilon _{cy}$ …	Betonstauchung bei Erreichend der Streckgrenze

Soll die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen berücksichtigt werden ergibt sich die Kümmung mithilfe der folgenden Gleichung.

$\kappa _{y}={\frac {\mid \varepsilon _{sm}\mid +\mid \varepsilon _{cy}\mid }{d}}$

wobei:

$\varepsilon _{sm}$ …

mittlere Stahldehnung unter Berücksichtigung der Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

Die Gleichungen für die Ermittlung von ε_sm sind der Seite zur Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen zu entnehmen.

Krümmung im gerissenen Zustand unter den Bruchschnittgrößen

Das Bruchmoment und die dazugehörige Dehnung können mithilfe der ω-Tafeln oder iterativ ermittelt werden. Als Festigkeit für die Bewehrung ist die Zugfestigkeit zu verwenden.

$\kappa _{t}={\frac {\mid \varepsilon _{st}\mid +\mid \varepsilon _{ct}\mid }{d}}$

wobei:

$\kappa _{t}$ …	Krümmung unter den Bruchschnittgrößen
$\varepsilon _{st}$ …	Stahldehnung unter den Bruchschnittgrößen
$\varepsilon _{ct}$ …	Betonstauchung unter den Bruchschnittgrößen

Bzw. bei Berücksichtigung der Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen:

$\kappa _{y}={\frac {\mid \varepsilon _{sm}\mid +\mid \varepsilon _{ct}\mid }{d}}$

Aufstellen der Momenten-Krümmungs-Beziehungen

Im letzten Schritt werden nun die zuvor ermittelten Wertepaare aus Krümmung und Moment in ein Diagramm eingezeichnet und anschließend linear miteinander verbunden. Aus diesem Diagramm lässt sich nun für den betrachteten Querschnitt die Krümmung für jedes beliebige Moment ablesen.

Beispiel zu den Momenten-Krümmungs-Beziehungen

Quellen

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